第3节　二项式定理.pptx

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1、第三节第三节二项式定理二项式定理第十一第十一章章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项展开式中特定项及系数问题2.二项式系数的性质或各项系数和3.多项式展开式中特定项、系数问题1.数学建模2.逻辑推理3.数学运算强强基础基础 增增分策略分策略1.二项式定理 r+1 微点拨1.(a+b)n与(b+a)n虽然结果相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题.2.(a+b)n的二项展开式的特征(1)项数为n+1;(2

2、)各项的次数和都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n;(3)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项增1直到n.微点拨二项式系数与项的系数的区别 常用结论若二项式通项为Tr+1=g(r)xh(r)(r=0,1,2,n),g(r)0,则(1)h(r)=0Tr+1是常数项;(2)h(r)是非负整数Tr+1是整式项;(3)h(r)是负整数Tr+1是分式项;(4)h(r)是整数Tr+1是有理项.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一二二项展开式中的特定展开式中的特定项或特定或特定项系数系数(多考向探

3、究多考向探究)考向考向1.已知二已知二项式求其特定式求其特定项(或系数或系数)典例突破A.3项B.4项C.5项D.6项考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)B(2)240(3)2 考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tr+1项写出并化简.(2)令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出r.(3)代回通项公式得所求.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)-4(2)10(3)1 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.求因式之求因式之

4、积的特定的特定项(或系数或系数)典例突破A.-15B.16C.15D.-16(2)(2021江苏四市联考)(3-2x)(x+1)5的展开式中x3的系数为()A.-15B.-10C.10D.15A.2B.-2C.-3D.3 考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)B(2)C(3)A 考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧求因式之积的特定项或相关的量的方法分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些项相乘得到,把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练2(1)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16

5、C.20D.24A.5B.10C.15D.20 考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)A(2)C(3)15 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向3.已知三已知三项式求其特定式求其特定项(或系数或系数)典例突破(2)(2021江苏淮安二模)(x2-3x+2)5的展开式中x2项的系数为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)(方法1)(x2-3x+2)5可看作5个(x2-3x+2)相乘,5个因式中一个取x2其余取2,或2个因式取-3x其余因式取2,考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破方法 考点一考点一

6、考点二考点二考点三考点三对点训练3(1)(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)(2021江苏南通四校3月联考)已知正整数n7,若 (1-x)n的展开式中不含x4项,则n的值为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)C(2)8 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二二二项式系数的性式系数的性质与各与各项系数的和系数的和(多考向探究多考向探究)考向考向1.二二项式系数的最式系数的最值问题典例突破例4.(2021广东珠海二模)若 (a0)的二项展开式中二项式系数最大的项为5 670 x2,则a=.

7、答案:3 考点一考点一考点二考点二考点三考点三方法总结二项式系数最大项的确定方法 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.项的系数的最的系数的最值问题典例突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:-8 064-15 360 x4 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三方法总结二项展开式系数最大项的求法如求(a+bx)n(a,bR)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练5在 的展开式中,只有第4项的系数最大,则展开式中x3项的系数为.答案:20 考点一考点一考点

8、二考点二考点三考点三考向考向3.求二求二项展开式中系数的和展开式中系数的和典例突破例6.(1)(2021山东潍坊二模)设(x+1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1+a2+a3+a4=.(2)(2021浙江台州二模)已知多项式(m+x2)(m-x)2=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,若a0=8,则实数m=,a3=.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)15(2)2-4解析:(1)令x=0,则有a0=1,令x=1,则有a0+a1+a2+a3+a4=24=16,所以a1+a2+a3+a4=15.(2)多项式(m+x2)(m-x)2=(m+x2)(x2-2m

9、x+m2)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=0,可得a0=m3=8,则实数m=2.故a3=-2m=-4.考点一考点一考点二考点二考点三考点三方法总结求二项展开式系数和的常用方法 式子,求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)的展开式中各项系数之和为考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练6(1)(2021浙江,13)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=;

10、a2+a3+a4=.(2)(2021浙江杭州二模)已知(x+a)3(x+1)4的展开式中所有项的系数之和为16,则a=,x4项的系数为.答案:(1)510(2)04所以a2+a3+a4=10.(2)令x=1,则(x+a)3(x+1)4的展开式中所有项的系数之和为16(1+a)3=16,则a=0.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三二二项式定理的式定理的应用用典例突破例7.(1)设aZ且0a0)为整数,若a和b被m除所得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为ab(mod m).若a=,ab(mod 10),则b的值可以是()A.2 021B.2 020C.2 019D.2 018考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)D(2)B(3)A 所以a被10除所得的余数为1.观察各选项,知2 021被10除所得的余数是1,故选A.考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当n不是很大,|x|比较小时,(1+x)n1+nx.考点一考点一考点二考点二考点三考点三的余数是()A.-1B.1C.-87D.87(2)1.028(小数点后保留三位小数).答案:(1)B(2)1.172