高考解答题专项三 数列.docx
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1、 高考解答题专项三数列1.(2021山东滨州一模)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=2,b2=4,an=2log2bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列an中不在数列bn中的项按从小到大的顺序构成数列cn,记数列cn的前n项和为Sn,求S100.解:(1)设等差数列an的公差为d,因为b2=4,所以a2=2log2b2=4,所以d=a2-a1=2.所以an=2+(n-1)2=2n.又an=2log2bn,即2n=2log2bn,所以n=log2bn,所以bn=2n.(2)由(1)得bn=2n=22n-1=a2n-1,即bn是数列an中的第2n-1项.设数列an的前n项和为P
2、n,数列bn的前n项和为Qn,因为b7=a26=a64,b8=a27=a128,所以数列cn的前100项是由数列an的前107项去掉数列bn的前7项后构成的,所以S100=P107-Q7=107(2+214)22-281-2=11 302.2.(2021广东汕头三模)已知数列an的前n项和为Sn,数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,若x表示不超过x的最大整数,如0.5=0,lg 499=2.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=lg an,求数列bn的前2 021项的和.解:(1)数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,所以Snn=12+(n-1)14=n+14,得Sn=n
3、2+n4,当n=1时,a1=S1=12,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n4(n-1)2+n-14=n2,又a1=12也适合上式,所以an=n2.(2)由(1)得bn=lg an=lgn2,当n=1时,-1lg a10;当n=2,3,4,19时,0lg an1;当n=20,21,22,199时,1lg an2;当n=200,201,202,1 999时,2lg an3;当n=2 000,2 001,2 021时,3lg an4.故数列bn的前2 021项和为lg a1+lg a2+lg a3+lg a2 021=-1+018+1180+21 800+322=3 845.3.(2021四川
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