高考解答题专项五　第1课时　圆锥曲线中的最值(或范围)问题.docx

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1、 高考解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题1.(2021全国乙,理21)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求PAB面积的最大值.解:(1)点F0,p2到圆M上的点的距离的最小值为|FM|-1=p2+4-1=4,解得p=2.(2)由(1)知,抛物线的方程为x2=4y,即y=14x2,则y=12x.设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得直线lPA:y=x12x-x124,直线lPB:y=x22x-x224,从而得到Px1

2、+x22,x1x24,设直线lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2-4kx-4b=0,=16k2+16b0,即k2+b0,且x1+x2=4k,x1x2=-4b,P(2k,-b).|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k216k2+16b,点P到直线AB的距离d=|2k2+2b|k2+1,SPAB=12|AB|d=4(k2+b)32,又点P(2k,-b)在圆M:x2+(y+4)2=1上,故k2=1-(b-4)24,代入得,SPAB=4-b2+12b-15432,而yP=-b-5,-3,当b=5时,(SPAB)max=205.2.(2021浙江温州模拟,21)已知

3、抛物线E:x2=4y与椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)具有相同的焦点,且椭圆的离心率为12,过椭圆C上顶点的直线l交抛物线E于A,B两点,分别以A,B为切点作抛物线E的切线l1,l2相交于点M.(1)求椭圆C的方程;(2)求MAB面积的最小值.解:(1)由抛物线E:x2=4y,得其焦点坐标为(0,1),故椭圆的焦点也为(0,1),c=1,由椭圆的离心率为e=ca=12,得a=2,b=3,椭圆C的方程为y24+x23=1.(2)由(1)可知,椭圆的上顶点的坐标为(0,2),设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因为抛物线E:x2=4y,所以y=x2,所以kAM=x12,

4、kBM=x22,得lAM:y-y1=x12(x-x1),lBM:y-y2=x22(x-x2),M(x0,y0)同时在直线lAM,lBM上,所以y0-y1=x12(x0-x1),y0-y2=x22(x0-x2),所以直线AB的方程为y0-y=x2(x0-x),化简可得x0x=2(y+y0),又直线AB经过椭圆的上顶点,所以y0=-2,所以直线AB的方程为x0x=2(y-2),联立方程x0x=2(y-2),x2=4y,可得x0x=2x24-2,x2-2x0x-8=0,=4x02+320恒成立.|AB|=1+x0244x02+32,M到直线AB的距离d=|x02-2y0+4|x02+4=x02+8x

5、02+4,S=121+x0244x02+32x02+8x02+4=12(x02+8)382,故MAB面积的最小值为82.3.(2021河南郑州三模,理20)已知抛物线C:x2=4y和圆E:x2+(y+1)2=1,过抛物线上一点P(x0,y0)作圆E的两条切线,分别与x轴交于A,B两点.(1)若切线PB与抛物线C也相切,求直线PB的斜率;(2)若y02,求PAB面积的最小值.解:(1)设切线PB的方程为y=kx+m,代入抛物线的方程得x2-4kx-4m=0,由相切的条件可得=16k2+16m=0,即k2+m=0,由直线与圆相切可得圆心到直线的距离d=|m+1|1+k2=1,即k2=m2+2m,所

6、以m2+3m=0,m=-3或m=0(舍去),k2=3,k=3.(2)因为y02,所以切线PA,PB的斜率一定存在.设圆E的切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,圆心到直线的距离d=|1+y0-kx0|1+k2=1,整理得(x02-1)k2-(2x0y0+2x0)k+y02+2y0=0,设PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=2x0y0+2x0x02-1,k1k2=y02+2y0x02-1,令y=0,得xA=x0-y0k1,xB=x0-y0k2,|AB|=x0-y0k1-x0-y0k2=k1-k2k1k2y0=4(y02+6y0)y02+2y0y0=2y02

7、+6y0y0+2,SPAB=12|AB|y0=122y02+6y0y0+2y0=(y02+6y0)y02(y0+2)2,令f(y)=(y2+6y)y2(y+2)2,因为y2,所以f(y)=2y2(y2+7y+18)(y+2)30,f(y)在2,+)上单调递增,所以f(y)min=f(2)=4.所以SPAB的最小值为2.4.(2021黑龙江哈尔滨三中一模,理20)已知平面内的两个定点F1,F2,|F1F2|=23,平面内的动点M满足|MF1|+|MF2|=4.记M的轨迹为曲线E.(1)请建立适当的平面直角坐标系,求E的方程;(2)过F2作直线l交曲线E于A,B两点,若点O是线段F1F2的中点,点

8、C满足OC=-32OA,求ABC面积的最大值,并求出此时直线l的方程.解:(1)M满足|MF1|+|MF2|=4|F1F2|,由椭圆的定义知动点M的轨迹为椭圆,以F1F2的中点为原点,直线F1F2为x轴,以过F1F2的中点且垂直于F1F2的直线为y轴建立平面直角坐标系,由题意,得2c=23,2a=4,所以b2=a2-c2=1,故E的方程为x24+y2=1.(2)因为F2(3,0),设直线l:x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x24+y2=1,x=my+3,消去x,整理得(m2+4)y2+23my-1=0,由于=16(m2+1)0恒成立,则有y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4,|AB|=1+m2|y1-y2|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=4(m2+1)m2+4,点O到直线l的距离d=31+m2.则SAOB=12|AB|d=231+m2m2+4=231+m2+31+m21,当且仅当1+m2=31+m2,即m=2时取等号,又由于OC=-32OA,知SABC=52SAOB52,此时直线l的方程为x=2y+3,即x+2y-3=0,或x-2y-3=0.