高考解答题专项二　三角函数中的综合问题.docx

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1、 高考解答题专项二三角函数中的综合问题1.(2021福建厦门双十中学高三月考)在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=1,P为ABC内一点,且PBPC.(1)若PB=12,求PA;(2)若APB=150,设PBA=,求tan .解:(1)由已知得BPC=90,又PB=12,BC=1,所以PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理,得PA2=3+14-2312cos 30=74,故PA=72.(2)由已知得PBC=90-,所以PB=sin ,在PBA中,由正弦定理,得3sin150=sinsin(30-),化简得3cos =4sin ,所以tan =34.2.(2021北京海淀模拟

2、)在ABC中,a+b=10,A=60,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)b的值;(2)sin C及ABC的面积.条件:c=5;条件:cos B=1314.解:方案一:选择条件.(1)因为c=5,cos A=cos 60=12,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即a2=b2+52-5b,又由a=10-b,代入可得(10-b)2=b2+25-5b,解得b=5.(2)由(1)可得a=10-5=5,所以a=b=c,即ABC是等边三角形,所以C=60,可得sin C=32,所以SABC=12absin C=125532=2534.方案二:选择条件.(1)因为B(0,),且

3、cos B=1314,可得sin B=1-cos2B=3314,由正弦定理asinA=bsinB,可得ab=sinAsinB,又因为A=60,所以sin A=32,即ab=323314=73.又因为a+b=10,所以a=7,b=3.(2)由sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=321314+123314=437,所以SABC=12absin C=1273437=63.3.(2021广东深圳模拟)已知f(x)=2sinx+2cos x-3cos2 0212+2x.(1)若x(0,),求函数f(x)的值域;(2)在ABC中,角A,B,C的对边

4、分别为a,b,c,若f(A)=2且ABC的面积为23,当a=6时,求ABC的周长.解:(1)由题意,函数f(x)=2sinx+2cos x-3cos2 0212+2x=2cos2x+3sin 2x=2cos2x-1+3sin 2x+1=cos 2x+3sin 2x+1=2sin2x+6+1,当x(0,)时,sin2x+6-1,1,所以f(x)-1,3,所以函数f(x)的值域为-1,3.(2)由(1)可得f(A)=2sin2A+6+1=2,所以sin2A+6=12.因为A(0,),可得2A+66,136,所以2A+6=56,解得A=3.又由SABC=12bcsin A=23,可得bc=8.由余弦

5、定理,得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,因为a=6,所以b+c=215.所以ABC的周长为6+215.4.(2021浙江金华模拟)已知函数f(x)=sinx+6sin3-x+cos2x-3.(1)求函数f(x)的递增区间;(2)若函数g(x)=fx+-24-12,(0,)且tan =34,求函数g(x)在区间0,2上的取值范围.解:(1)由题意可得sinx+6=sinx-3+2=cosx-3,所以f(x)=-sinx-3cosx-3+cos2x-3=-12sin2x-23+12cos2x-23+1=-12sin2x-23+12cos2x-23+12=-12si

6、n2x+3-+12cos2x+3-+12=12sin2x+3-12cos2x+3+12=22sin2x+34+12=22sin2x+12+12,-2+2k2x+122+2k(kZ),解得-724+kx524+k(kZ),所以函数f(x)的递增区间为k-724,k+524(kZ).(2)由题意及(1)可知g(x)=22sin(2x+2),因为0x2,22x+2+2,又(0,),且tan=sincos=34,sin2+cos2=1,sin0,所以sin =35,cos =45,则04,则022,+232,所以sin(+2)=-sin 2=-2sin cos =-2425,所以-2425sin(2x+2)1,则-12225g(x)22,即g(x)在区间0,2上的取值范围为-12225,22.