高中数学必修4平面向量知识点总结.docx

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1、高中数学必修4平面向量知识点总结中学数学必修4平面对量学问点总结 本文关键词：向量，学问点，必修，中学数学，平面中学数学必修4平面对量学问点总结 本文简介：中学数学必修4学问点总结平面对量学问点归纳一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作向量不能比较大小，但向量的模可以比较大中学数学必修4平面对量学问点总结 本文内容：中学数学必修4学问点总结平面对量学问点归纳一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向

2、量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是随意的，与随意向量平行零向量0由于的方向是随意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清晰是否有“非零向量”这个条件（留意与0的区分）单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量随意一组平行向量都可以移到同始终线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作由于向量可以进行随意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平

3、移到同始终线上，故平行向量也称为共线向量数学中探讨的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以随意选取，现在必需区分清晰共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设，则+=（1）；（2）向量加法满意交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减

4、向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必需“首尾相连”3向量的减法相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的终点指向的终

5、点的向量（、有共同起点）4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是随意的数乘向量满意交换律、结合律与安排律5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6平面对量的基本定理：假如是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内全部向量的一组基底7特殊留意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区分，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区分，直线平行不包括共线（即重合），而

6、向量平行则包括共线（重合）的状况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特殊是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面对量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，推断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是学问的交汇点例1给出下列命题：若|，则=；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=，=的充要条件是|=|且/；若/，/，则/，其中正确的序号

7、是解：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不肯定相同正确，且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此，正确=，的长度相等且方向相同；又，的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同，故不正确当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑=这种特别状况综上所述，正确命题的序号是点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而简单遗忘为此，复习一方面要构建良好的学问结构，另一方面要擅长与物理中、生活中的模型进行类比和联想例2设A、B、C、D、O是平面上的随意五点，试

8、化简：，解：原式=原式=原式=例3设非零向量、不共线，=k+，=+k(k?R)，若，试求k解：由向量共线的充要条件得：=(?R)即k+=(+k)(k-)+(1-k)=又、不共线由平面对量的基本定理二.平面对量的坐标表示1平面对量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面对量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细位置无

9、关，只与其相对位置有关2平面对量的坐标运算：(1)若，则(2)若，则(3)若=(x,y)，则=(x,y)(4)若，则(5)若，则若，则3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法是一个向量,满意:0时,与同向;0时,与异向;=0时,=向量的数量积是一个数或时,=0且时,例1已知向量，且，求实数的值解：因为，所以，又因为所以，即解得例2已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标解：设，则因为是与的交点所以在直线上，也在直线上即得由点得，得方程组解

10、之得故直线与的交点的坐标为三平面对量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积）规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的肯定值称为射影3数量积的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立：；6平面对量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：安排律成立：特殊留意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则AOB=（）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量

11、与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：假如与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：O平面对量数量积的性质例1推断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；若，则当且仅当时成立；（5）对随意向量都成立；（6）对随意向量，有解：错；对；错；错；错；对例2已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角解：由题意，且与的夹角为，所以，同理可得而，设为与的夹角，则点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3已知，按下列条件求实数的值（1）；（2）；解：（1）；（2）；点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页