第6节　余弦定理、正弦定理及应用举例.pptx

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1、第四章 第六节余弦定理、正弦定理及应用举例内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破课标解读 衍生考点 核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.利用正弦、余弦定理解三角形2.利用正弦、余弦定理判断三角形形状3.解与三角形面积有关的问题4.解三角形与三角函数的综合问题5.解三角形的实际应用1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算强基础 增分策略1.正弦定理和余弦定理在ABC 中,若角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,R 为ABC 的外接圆

2、半径,则定理 正弦定理 余弦定理可解决的问题(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边微点拨在三角形中大边对大角,大角对大边.微思考在ABC 中,A B 是否可推出sin Asin B?反过来呢?提示:A B sin Asin B.在ABC 中,利用正弦定理,可得A B ab sin Asin B.即A B 是sin Asin B 成立的充要条件.2.ABC 的面积公式 3.测量中的有关术语 常用结论 2.在斜三角形ABC

3、中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.3.三角形中的射影定理:在ABC 中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.4.在ABC 中,sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;增素能 精准突破考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 利用正弦、余弦定理解三角形典例突破例1.(2021 山东青岛模拟)在ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边,2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A).(1)求角C;考点一 考点二 考点三 考点四 考点

4、五解:(1)已知2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A).由余弦定理,得2b2=2bccos A(1-tan A),所以b=c(cos A-sin A).由正弦定理,得sin B=sin C(cos A-sin A),所以sin(A+C)=sin Ccos A-sin Csin A,所以sin Acos C=-sin Csin A.考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五突破技巧用正弦、余弦定理求解三角形基本量的步骤及方法 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五(2)(2021 河北邯郸二模)在四边形ABCD 中,

5、AD BC,AD=6,BC=4,CD=2,CBD=30.求BD 的长;求A.考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点二 利用正弦、余弦定理判断三角形形状典例突破例2.(1)设ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC 的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定(2)在sin A,sin B,sin C 成等差数列;sin B,sin A,sin C 成等比数列;2bcos C=2a-c 三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加

6、以解答.已知ABC 的内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,面积为S.若,且4S=(b2+c2-a2),试判断ABC 的形状.考点一 考点二 考点三 考点四 考点五答案:(1)B解析:(方法1)由bcos C+ccos B=asin A,应用正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,即sin(B+C)=sin Asin A,考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五突破技巧1.判定三角形形状的两种常用途径 2.判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘

7、隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C 的范围对三角函数值的影响,在等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项后提取公因式,以免漏解.考点一 考点二 考点三 考点四 考点五对点训练2(2021 河南名校联盟4月联考)在ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若b2+c2=a2+bc,且cos Bcos C+cos A=sin2A,则ABC 的形状是.答案:等边三角形 cos Bcos C+cos A=sin2A,cos Bcos C+cos-(B+C)=cos Bcos C-cos(B+C)=cos Bcos C-cos Bcos C+sin Bsin C=sin2A.si

8、n Bsin C=sin 2A,利用正弦定理得bc=a2.又b2+c2=a2+bc,b2+c2-2bc=0,故b=c.ABC 为等边三角形.考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点三 解与三角形面积有关的问题典例突破 问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且b=7,c=5,若存在,求该三角形的面积;若不存在,请说明理由.考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五例4.(2021 云南西南名校联考)ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知(

9、-cos A)c=acos C.考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五突破技巧与面积有关的常见问题类型和解题技巧 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五对点训练3(1)(2021 江西南昌二模)如图,平面凹四边形ABCD,其中AB=5,BC=8,ABC=60,ADC=120,则四边形ABCD 面积的最小值为.问题:在ABC 中,内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,已知b=3,ABC 的面积为3,求a.考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考

10、点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点四 解三角形与三角函数的综合问题典例突破 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五解题心得在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=的使用;运用正弦定理、余弦定理能够进行边角互化以及化异角为同角,从而实现消元的目的,为三角变换提供了条件.考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点五 解三

11、角形的实际应用典例突破例6.(1)(2021陕西西安中学模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C 处(点C 在水平地面下方,O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B 两地相距100米,BAC=60,其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米.A 地测得该仪器在C 处的俯角为OAC=15,A 地测得最高点H 的仰角为HAO=30,则该仪器的垂直弹射高度CH 为()考点一 考点二 考点三 考点四 考点五(2)如图所示,位于A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.

12、信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C 处的乙船,现乙船朝北偏东 的方向沿直线CB 前往B 处救援,则cos 的值为.考点一 考点二 考点三 考点四 考点五解析:(1)设AC=x,则BC=x-40,在ABC 中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ACABcos BAC,即(x-40)2=x2+1002-100 x,解得x=420.在ACH中,AC=420,CAH=15+30=45,CHA=90-30=60,考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五突破技巧解三角形应用题的四步骤 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五对点训练5(2021

13、广东汕头二模)随着人们生活水平的不断提高,人们对餐饮服务行业的要求也越来越高,由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食,这样网上外卖订餐应运而生.现有送餐员小李在A 地接到两份外卖单,他须分别到B 地、D 地取餐,再将两份外卖一起送到C 地,运餐过程不返回A 地.A,B,C,D 各地的示意图如图所示,BD=2 km,AD=2 km,ABD=120,DCB=45,CDB=30,假设小李到达B,D 两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计),送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米,请你帮小李设计出所有送餐路径(如:ABBDDBBC),并计算各种送餐路径的路程,然后选择一条最快送达的送餐路径,并计算出最短送餐时间为多少分钟.(结果保留3位小数)(参考数据:1.414,1.732)考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 考点二 考点三 考点四 考点五