高等数学基础期末考试复习试题及答案.pdf
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1、 高 等 数 学 基 础 期 末 考 试 复 习 试 题 及 答 案 高等数学(1)学习辅导(一)第一章 函数 理解函数的概念;掌握函数)(x f y 中符号 f()的含义;了解函数的两要素;会求函数的定义域及函数值;会判断两个函数是否相等。两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。了解函数的主要性质,即单调性、奇偶性、有界性和周期性。若对任意 x,有)()(x f x f,则)(x f 称为偶函数,偶函数的图形关于 y轴对称。若对任意 x,有)()(x f x f,则)(x f 称为奇函数,奇函数的图形关于原点对称。掌握奇偶函数的判别方法。掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特
2、点。熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。基本初等函数是指以下几种类型:常数函数:c y 幂函数:)(为实数x y 指数函数:)1,0(a a a yx 对数函数:)1,0(log a a x ya 三角函数:x x x x cot,tan,cos,sin 反三角函数:x x x arctan,arccos,arcsin 了解复合函数、初等函数的概念,会把一个复合函数分解成较简单的函数。如函数 可以分解uy e,2v u,w v arctan,x w 1。分解后的函数前三个都是基本初等函数,而第四个函数是常数函数和幂函数的和。会列简单的应用问题的函数关系式。例题选解 一、填
3、空题 设)0(1)1(2 x x xxf,则 f x()。解:设xt1,则tx1,得 故xxx f21 1)(。函数 xxx f 5)2 ln(1)(的定义域是。解:对函数的第一项,要求 0 2 x 且 0)2 ln(x,即 2 x 且 3 x;对函数的第二项,要求 0 5 x,即 5 x。取公共部分,得函数定义域为 5,3()3,2(。函数)(x f 的定义域为 1,0,则)(ln x f 的定义域是。解:要使)(ln x f 有意义,必须使 1 ln 0 x,由此得)(ln x f 定义域为 e,1。函数392xxy 的定义域为。解:要使392xxy 有意义,必须满足 0 92 x 且 0
4、 3 x,即33xx成立,解不等式方程组,得出 33 3xx x 或,故得出函数的定义域为),3(3,(。设2)(x xa ax f,则函数的图形关于 对称。解:)(x f 的定义域为),(,且有 即)(x f 是偶函数,故图形关于 y轴对称。二、单项选择题 下列各对函数中,()是相同的。A.x x g x x f)(,)(2;B.f x x g x x()ln,()ln 22;C.f x x g x x()ln,()ln 33;D.f xxxg x x(),()2111 解:A中两函数的对应关系不同,x x x 2,B,D三个选项中的每对函数的定义域都不同,所以 A B,D都不是正确的选项;
5、而选项 C中的函数定义域相等,且对应关系相同,故选项 C正确。设函数 f x()的定义域为(,),则函数 f x f x()()的图形关于()对称。x;轴;轴;D.坐标原点 解:设)()()(x f x f x F,则对任意 x有 即)(x F 是奇函数,故图形关于原点对称。选项 D 正确。3设函数 的定义域是全体实数,则函数)()(x f x f 是()A.单调减函数;B.有界函数;C.偶函数;D.周期函数 解:A,B,D 三个选项都不一定满足。设)()()(x f x f x F,则对任意 x有 即)(x F 是偶函数,故选项 C 正确。函数)1,0(11)(a aaax x fxx()A
6、.是奇函数;B.是偶函数;C.既奇函数又是偶函数;D.是非奇非偶函数。解:利用奇偶函数的定义进行验证。所以 B 正确。若函数221)1(xxxx f,则)(x f()A.2x;B.22 x;C.2)1(x;D.12 x。解:因为 2)1(212122222 xxxxxx 所以 2)1()1(2 xxxx f 则 2)(2 x x f,故选项 B正确。第二章 极限与连续 知道数列极限的“N”定义;了解函数极限的描述性定义。理解无穷小量的概念;了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系;知道 无穷小量的比较。无穷小量的运算性质主要有:有限个无穷小量的代数和是无穷小量;有限个无穷小量的乘积是无穷小量
7、;无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。熟练掌握极限的计算方法:包括极限的四则运算法则,消去极限式中的不定因 子,利用无穷小量的运算性质,有理化根式,两个重要极限,函数的连续性等方法。求极限有几种典型的类型(1)aa x a xa x a a x axa x ak kk kxkkx21)()(lim lim22 2020(2)1 001 002)(lim lim0 0 x xx xx x x xx xb ax xx x x x(3)m nm nbam nb x b x b x ba x a x a x am mm mn nn nx x00111 0111 00lim0 熟练掌握两个重要极限:li
8、m()xxx 11e(或 lim()xx x 011 e)重要极限的一般形式:lim()()()f xf xf x 11e(或 lim()()()g xg xg x 011 e)利用两个重要极限求极限,往往需要作适当的变换,将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式,再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则,如 理解函数连续性的定义;会判断函数在一点的连续性;会求函数的连续区间;了解函数间断点的概念;会对函数的间断点进行分类。间断点的分类:已知点0 x x 是的间断点,若)(x f 在点0 x x 的左、右极限都存在,则0 x x 称为)(x f 的第一类间断点;若)(x f 在点0
9、x x 的左、右极限有一个不存在,则0 x x 称为)(x f 的第二类间断点。理解连续函数的和、差、积、商(分母不为 0)及复合仍是连续函数,初等函数在其定义域内连续的结论,知道闭区间上连续函数的几个结论。典型例题解析 一、填空题 极限 limsinsinxxxx021。解:0 1 0sinlim1sin lim)sin1sin(limsin1sinlim0 0 020 xxxxxxxxxxxx x x x 注意:01sin lim0 xxx(无穷小量乘以有界变量等于无穷小量)111sinlim1sin1limsinlim00 0 xxxxxxxx x,其中xxxsinlim0=1 是第一个
10、重要极限。函数 0 101sin)(x xxxxx f 的间断点是 x。解:由)(x f 是分段函数,0 x 是)(x f 的分段点,考虑函数在 0 x 处的连续性。因为 1)0(1)1(lim 01sin lim0 0 f xxxx x 所以函数)(x f 在 0 x 处是间断的,又)(x f 在)0,(和),0(都是连续的,故函数)(x f 的间断点是 0 x。设 2 3)(2 x x x f,则 f f x()。解:3 2)(x x f,故 函数)1 ln(2x y 的单调增加区间是。二、单项选择题 函数 在点 处()A.有定义且有极限;B.无定义但有极限;C.有定义但无极限;D.无定义
11、且无极限 解:)(x f 在点 处没有定义,但 01sin lim0 xxx(无穷小量 有界变量=无穷小量)故选项 B 正确。下列函数在指定的变化过程中,()是无穷小量。A.e1x x,();B.sin,()xxx;C.ln(),()1 1 x x;D.xxx 1 10,()解:无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量,所以 而 A,C,D 三个选项中的极限都不为 0,故选项 B 正确。三、计算应用题 计算下列极限:12 42 3lim222 x xx xx xxxx)13(lim 155 10)2(12)3 2()1(lim)3(xx xx(4)xxx3 sin1 1lim0 解:61)6)(2()
12、2)(1(12 42 322 xxx xx xx xx x 12 42 3lim222 x xx xx=8161lim2xxx 4 31331e1ee)31(lim)11(lim)31()11(lim)31(lim)13(lim xnxnxxnxnxnxxxxxxxx 题目所给极限式分子的最高次项为 分母的最高次项为1512x,由此得(4)当 0 x 时,分子、分母的极限均为 0,所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。=6121311 11lim3 sin3lim31)1 1(3 sinlim0 0 0 xxxx xxx x x 2.设函数 问(1)b
13、 a,为何值时,)(x f 在 0 x 处有极限存在?(2)b a,为何值时,)(x f 在 0 x 处连续?解:(1)要)(x f 在 0 x 处有极限存在,即要)(lim)(lim0 0 x f x fx x 成立。因为 b bxx x fx x)1sin(lim)(lim0 0 所以,当 1 b 时,有)(lim)(lim0 0 x f x fx x 成立,即 1 b 时,函数在 0 x 处有极限存在,又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关,所以此时 a 可以取任意值。(2)依函数连续的定义知,函数在某点处连续的充要条件是 于是有 a f b)0(1,即 1 b a 时函数在
14、0 x 处连续。第三章 导数与微分 导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点:理解导数的概念;了解导数的几何意义;会求曲线的切线和法线;会用定义计算简单函数的导数;知道可导与连续的关系。)(x f 在点0 x x 处可导是指极限 存在,且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限 函数)(x f 在点0 x x 处的导数)(0 x f的几何意义是曲线)(x f y 上点)(,(0 0 x f x处切线的斜率。曲线)(x f y 在点)(,(0 0 x f x 处的切线方程为 函数)(x f y 在0 x 点可导,则在0 x 点连续。反之则不然,函数)(x
15、 f y 在0 x 点连续,在0 x 点不一定可导。了解微分的概念;知道一阶微分形式不变性。1sinlim)(lim0 0 xxx fx x 熟记导数基本公式,熟练掌握下列求导方法(1)导数的四则运算法则(2)复合函数求导法则(3)隐函数求导方法(4)对数求导方法(5)参数表示的函数的求导法 正确的采用求导方法有助于我们的导数计算,如 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时,求导时采用取对数求导法,例如函数 xxy2)1(,求 y。在求导时直接用导数的除法法则是可以的,但是计算时会麻烦一些,而且容易出 错。如果我们把函数先进行变形,即 再用导数的加法法则计算其导数,于是有 这样计算不但简单而且不
16、易出错。又例如函数 3 21 xxy,求 y。显然直接求导比较麻烦,可采用取对数求导法,将上式两端取对数得 两端求导得 整理后便可得 若函数由参数方程 的形式给出,则有导数公式 能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算 函数的导数,能够利用隐函数求导法,取对数求导法,参数表示的函数的求函数的导 数。熟练掌握微分运算法则 微分四则运算法则与导数四则运算法则类似 一阶微分形式的不变性 微分的计算可以归结为导数的计算,但要注意它们之间的不同之处,即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。了解高阶导数的概念;会求显函数的二阶导数。函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由
17、此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。要求函数的 n阶导数就要先求函数的 1 n 阶导数。第三章 导数与微分典型例题选解 一、填空题 设函数)(x f 在 0 x 邻近有定义,且 1)0(,0)0(f f,则xx fx)(lim0。解:1)0(0)0()(lim)(lim0 0 fxf x fxx fx x 故应填 1。曲线xy1 在点(1,1)处切线的斜率是。解:由导数的几何意义知,曲线)(x f 在 0 x x 处切线的斜率是)(0 x f,即为函数 在该点处的导数,于是 2121)1(,2112323 xx y x y 故应填 21。设 f x x x()24 5,则 f f x(
18、)。解:4 2)(x x f,故 故应填 37 24 42 x x 二、单项选择题 设函数2)(x x f,则 2)2()(lim2xf x fx()。A.x 2;D 不存在 解:因为)2(2)2()(lim2fxf x fx,且2)(x x f,所以 4 2)2(2 xx f,即 C 正确。设 xxf)1(,则)(x f()。A.x1;B.x1;C.21x;D.21x 解:先要求出)(x f,再求)(x f。因为xxxf11)1(,由此得xx f1)(,所以21)1()(x xx f 即选项 D 正确。3 设函数)2)(1()1()(x x x x x f,则)0(f();D.2 解:因为)
19、1()1()2()1()2)(1)(1()2)(1()(x x x x x x x x x x x x x f,其中的三项当 0 x 时为 0,所以 故选项 C正确。4曲线 y xx e 在点()处的切线斜率等于 0。A.(,)0 1;B.(,)1 0;C.(,)0 1;D.(,)1 0 解:xy e 1,令 0 y 得 0 x。而 1)0(y,故选项 C正确。5 y x sin2,则 y()。A.cos x2;B.cos x2;C.22x x cos;D.22x x cos 解:2 2 2cos 2)(cos x x x x y 故选项 C正确。三、计算应用题 设xx ysin2 2 tan
20、,求2d xy 解:由导数四则运算法则和复合函数求导法则 由此得 设)(e)e(x f xf y,其中)(x f 为可微函数,求 y。解 e)e(e)e()()(x f x x f xf f y=)(e)e(e e)e()()(x f f fx f x x f x x=)(e)e(e e)e()()(x f f fx f x x f x x=)()e(e)e(e)(x f f fx x x x f 求复合函数的导数时,要先搞清函数的复合构成,即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的,特别要分清复合函数的复合层次,然后由外层开始,逐层使用复合函数求导公式,一层一层求导,关键是不要遗漏,最后化简。
21、3.设函数 y y x()由方程 xyxyy e ln 确定,求ddyx。解:方法一:等式两端对 x求导得 整理得 方法二:由一阶微分形式不变性和微分法则,原式两端求微分得 左端 y y x x y xy xyy y yd e d d)e(d)(d)e(d 右端2d d)(d)(ln dyy x x yxyyxxyyx 由此得 整理得 4.设函数 y y x()由参数方程 确定,求ddyx。解:由参数求导法 5设 x x y arctan)1(2,求 y。解 1 arctan 211)1(arctan 222 x xxx x x y 第四章 导数的应用典型例题 一、填空题 1.函数)1 ln(
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