湘豫名校联考2023-2024学年高三上学期8月入学摸底考试数学试题含答案.pdf

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1、书书书数学参考答案?第?页?共?页?湘 豫 名 校 联 考?年?月高三秋季入学摸底考试数学参考答案题号?答案?一?选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?命题意图?本题考查集合的运算?解一元二次不等式及对数函数的定义域?考查了数学运算的核心素养?解析?因为集合?所以?所以?故选?命题意图?本题考查复数的乘?除法运算及复数的相关概念?考查了数学运算的核心素养?解析?由题可得?则?所以?的虚部为?故选?命题意图?本题考查直线与圆的位置关系?考查了数学运算?直观想象的核心素养?解析?依题知圆心?半径为?则?槡?槡?槡?解得?槡?或?槡?故选?命题

2、意图?本题考查三角函数的定义?正切的和角公式?诱导公式?考查了数学运算的核心素养?解析?设?由题可得?所以?解得?所以?故选?命题意图?本题考查向量的几何意义?向量的数量积运算?向量的夹角?考查了数学运算?逻辑推理的核心素养?解析?由题可得?槡?所以?槡?因为?所以?所以?所以?即?槡?所以?故选?命题意图?本题考查异面直线所成的角?余弦定理?考查了直观想象?逻辑推理?数学运算的核心素养?解析?如图?将该几何体补成一个直四棱柱?由题易得底面?为菱形?且?为等边三角形?连接?易得?所以?或其补角?是异面直线?与?所成的角?设?则?槡?槡?槡?所 以?槡?槡?槡?槡?故选?数学参考答案?第?页?共

3、?页?命题意图?本题考查抛物线的概念?直线与抛物线的位置关系?考查了逻辑推理?数学运算等核心素养?解析?因为直线?过点?所以直线?的方程为?由?得?设?则?因为?槡?槡?槡?槡?整理得?解得?所以抛物线?的准线方程是?故选?命题意图?本题考查函数的图象变换?函数的奇偶性?考查了直观想象?数学建模?数学运算的核心素养?解析?因为?又?的定义域关于原点对称?且?所以?是奇函数?所以?的图象关于点?对称?故选?二?选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?有多项符合题目要求?全部选对的得?分?部分选对的得?分?有选错的得?分?命题意图?本题考查二项式展开式及二项式系数问题?

4、排列数?组合数的计算?考查了数学运算的核心素养?解析?由题可得?解得?所以?错误?正确?展开式系数的最大值为?正确?令?则?即?展开式的各项系数之和为?正确?故选?命题意图?本题考查数列的性质?累乘求通项?数列求和?考查了逻辑推理?数学运算?数学抽象的核心素养?解析?令?则?正确?由题可知?因为?所以?所以?所以?即?正确?令?则?所以?累乘可得?所以?错误?令?则?所以?是以?为首项?为公差的等差数列?所以?正确?故选?命题意图?本题考查频率分布直方图?统计数字特征?考查了数据分析?数学运算的核心素养?解析?因为?所以?因为?所以?正确?数据?的众数的估计值为?设中位数为?因为?所以?解得?

5、即数据?的中位数约为?所以数据?的众数小于中位数?错误?因为?所以平均数大于中位数?正确?因为?所以数据?的第?百分位数小于?错误?故选?数学参考答案?第?页?共?页?命题意图?本题考查函数的图象与性质?考查了直观想象?数学抽象?数学运算的核心素养?解析?由?得?所以?是以?为周期的周期函数?由?得?的图象关于直线?对称?因为?时?所以?正确?由题易得?所以?正确?作?的图象如图所示?易得?的单调递减区间为?错误?因为曲线?与?的图象有?个不同的交点?所以?解得?正确?故选?三?填空题?本题共?小题?每小题?分?共?分?答案不唯一?只需?即可?命题意图?本题考查平面向量的坐标运算及平面向量的模

6、?考查了数学运算的核心素养?解析?方法一?因为?所以?又因为?所以?槡?槡?解得?方法二?因为?所以?即?故?解得?所以?的一个可能取值为?答案不唯一?只需?即可?命题意图?本题考查线性回归分析?考查了数学运算?逻辑推理?数据分析等核心素养?解析?因为?所以样本点的中心为?又因为经验回归直线?过样本点的中心?所以?所以?所以经验回归方程为?当?时?所以残差为?命题意图?本题考查导数的应用及解不等式?考查了数学抽象?逻辑推理?数学运算等核心素养?解析?因为?所以?因为?是函数?的两个极值点?所以?有两个正根?即方程?有两个不同的正根?所以?所以?或?又?得?故?因为?又?所以?即?解得?综上所述

7、?实数?的取值范围是?数学参考答案?第?页?共?页?命题意图?本题考查空间几何体的外接球及空间几何体的体积?考查了数学运算?直观想象?逻辑推理等核心素养?解析?如图所示?点?是三棱锥?外接球的球心?设球?的半径为?是?外接圆的圆心?设圆?的半径为?点?到底面?的距离为?由题意?可得?则?因为?是边长为?的正三角形?所以由正弦定理?可得?则?槡?所以三棱锥?的体积为?槡?槡?三棱锥?的体积取最大值则需要?最大?由题意可知?点?在过?且与底面?此处底面?为水平?垂直的截面圆的圆周上运动?当点?运动到该圆的最高点时?最大?如图所示?取?的中点?连接?过点?作?由圆的对称性可知?此时?则?又平面?平面

8、?且平面?平面?平面?所以?平面?因为在?中?又?槡?所以?易得四边形?为矩形?所以?槡?槡?因为在?中?槡?槡?槡?所以?槡?所以?四?解答题?共?分?解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤?命题意图?本题考查三角函数的恒等变换?解三角形?考查了数学运算?数学建模的核心素养?解析?因为?槡?槡?槡?槡?槡?分又?槡?所以?槡?因为?所以?分?由正弦定理得?槡?即?槡?所以?槡?槡?由余弦定理得?当且仅当?时?等号成立?所以?分因为?槡?又?的最大值为?所以?面积的最大值为槡?分?命题意图?本题考查二项分布?互斥事件?独立事件发生的概率?考查数据分析?数学运算的核心素养?解析?由题易得?

9、随机抽取一球?为黑色球或红色球的概率为?分所以?数学参考答案?第?页?共?页?所以?分?甲?乙的得分情况可能为得分情况?概率?分则甲的得分比乙的得分高?且差值大于?分的概率?分?命题意图?本题考查数列的通项?数列求和及不等式?考查了数学运算?逻辑推理的核心素养?解析?若选条件?因为?所以?两式相减?得?因为?所以?又?所以?所以数列?的奇数项?偶数项分别是以?为首项?为公差的等差数列?当?时?当?时?综上所述?所以?分若选条件?设数列?的公比为?因为?是首项为?的等比数列?且满足?成等差数列?所以?且?即?解得?所以?因为数列?的各项均为正数?为其前?项和?且满足?所以当?时?则?因为?所以?

10、两式相减得?即?因为?故?所以?所以数列?为等差数列?故?所以?分若选条件?由?得?令?则?当?时?又?满足上式?所以?即?所以当?时?又?满足上式?所以?所以?分?证明?由?知?则?所以?数学参考答案?第?页?共?页?可得?所以?分因为?所以?又?所以?是递增数列?所以?故?分?命题意图?本题考查空间几何体的线面位置关系?二面角?考查了直观想象?逻辑推理?数学运算的核心素养?解析?证明?方法一?取?的中点?连接?因为四边形?是矩形?分别是?的中点?所以?所以?因为?是等边三角形?所以?因为?所以?平面?因为?平面?所以?分因为槡?所以?槡?槡?槡?所以?是等腰三角形?因为?是?的中点?所以?

11、因为?所以?平面?分方法二?不妨设?槡?则?如图?连接?因为?为?的中点?所以?所以?分又?为?的中点?所以?因为?所以?平面?分?由?方法一易得?两两互相垂直?建立如图所示的空间直角坐标系?不妨设?槡?则?槡?则?槡?槡?槡?槡?槡?槡?设平面?的法向量为?则?即?槡?槡?槡?数学参考答案?第?页?共?页?令?槡?则?所以平面?的一个法向量为?槡?分设平面?的法向量为?则?即?槡?槡?令?则?所以平面?的一个法向量为?分设二面角?的平面角为?则?槡?槡?槡?所以?槡?槡?槡?所以二面角?的正弦值为槡?分?命题意图?本题考查椭圆的方程?直线与椭圆的位置关系及定点问题?考查了直观想象?数学运算?

12、逻辑推理等核心素养?解析?因为?的最大值为?所以?为短轴的顶点时?此时易得?槡?又点?到右焦点?距离的最小值为槡?即?槡?解得?槡?又由?可得?所以椭圆?的标准方程为?分?证明?方法一?当直线?的斜率不存在时?设?联立?解得?槡?所以?槡?槡?或?槡?槡?又?所以?槡?槡?或?槡?槡?因为以?为直径的圆恒过点?所以?所以?解得?或?舍去?此时直线?的方程为?分当直线?的斜率存在时?易知直线?的斜率不为?设?联立?消去?得?由?得?由根与系数的关系?知?分数学参考答案?第?页?共?页?因为?所以?将?代入上式整理得?即?所以?或?当?时?直线?为?此时直线?过点?不符合题意?舍去?当?时?直线?

13、为?此时直线?过定点?分综上所述?直线?恒过定点?分方法二?由题意知?直线?的斜率不为零?设直线?的方程为?联立?得?由?得?所以?分因为?所以?由题易知?所以?即?即?分将?代入上式整理得?解得?或?分由题知直线?不过点?所以?所以直线?的方程为?所以直线?恒过定点?分方法三?平移齐次化?将椭圆向左平移两个单位长度得曲线?即?则平移后右顶点?记平移后?的对应点分别为?分设直线?的方程为?所以?将上式代入?得?分等式两边同时除以?得?由题易知?所以?分即?解得?数学参考答案?第?页?共?页?所以直线?的方程为?所以平移前直线?恒过定点?分?命题意图?本题考查函数?方程及不等式的转化?函数的单调性?最值?极值问题?考查了数学运算?数学抽象?直观想象?逻辑推理的核心素养?解析?由题易得函数?的定义域为?由?不等式两边同除以?得?设?则?分令?得?当?时?当?时?所以?在?上单调递增?在?上单调递减?分所以?依题知?得?所以实数?的取值范围为?分?证明?令?则?令?得?当?时?当?时?所以?在?上单调递增?在?上单调递减?分因为函数?的单调递增区间为?所以?所以?解得?即?又当?时?当?时?当?时?所以?在?上单调递减?在?上单调递增?在?上单调递减?分所以?的极大值?因为?所以?所以?所以函数?的极大值?分