解三角形大题数学.pdf

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1、解三角形大题专练 1(2018北京)在 ABC中，a 7，b 8，cos B17.(1)求 A；(2)求 AC边上的高 解(1)在 ABC中，因为 cos B17，所以 sin B 1 cos2B4 37.由正弦定理得 sin Aasin Bb32.由题设知2 B，所以 0 A2，所以 A3.(2)在 ABC中，因为 sin C sin(A B)sin Acos B cos Asin B3 314，所以 AC边上的高为 asin C 73 3143 32.2.在 ABC中，A 60，c37a.求 sinC的值；若 a 7，求 ABC的面积 解析(2)(文)在 ABC中，因为 A 60，c37a

2、，所以由正弦定理得 sinCcsinAa37323 314.因为 a 7，所以 c37 7 3.由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA得 72 b2 32 2b 312，解得 b 8 或 b 5(舍)所以 ABC的面积 S12bcsinA12 8 332 6 3.3.ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin(A C)8sin2B2.求 cosB；若 a c 6，ABC的面积为 2，求 b.(理)解法一：sin(A C)8sin2B2，sinB 8sin2B2，即 2sinB2cosB2 8sin2B2，sinB20，cosB2 4sinB2，cos2B2 1 sin

3、2B2 16sin2B2，sin2B2117 cosB 1 2sin2B21517.解法二：由题设及 A B C得 sinB 8sin2B2，故 sinB 4(1 cosB)上式两边平方，整理得 17cos2B 32cosB 15 0，解得 cosB 1(舍去)，cosB1517.由 cosB1517得 sinB817，故 S ABC12acsinB417ac.又 S ABC 2，则 ac172.由余弦定理及 a c 6 得，b2 a2 c2 2accosB(a c)2 2ac(1 cosB)36 173217 4，b 2.4.在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知

4、.（1）求 tanC 的值；（2）若 ABC的面积为 3，求 b的值。【答案】（1）2；（2）3.【思路分析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得 sinB 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.2 2 21,4 2A b a c【解析】（1）由2 2 212b a c 及正弦定理得2 21 1sin sin2 2B C，cos2B=sin2C，又由4A，即34B C，得 cos2B=sin2C=2sinCcosC，解得 tanC=2；（2）由 tanC=2，C（0，）得2 5 5sin,cos

5、5 5C C，又3 10sin sin()sin(),sin4 10B A C C B，由正弦定理得2 23c b，又1,sin 3,6 24 2A bc A bc，故 b=3.5.在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 bcos A acos B 2c.(1)证明：tan B 3tan A；(2)若 b2 c2 a2 3bc，且 ABC的面积为 3，求 a.(1)证明 根据正弦定理，由已知得 sin Bcos A cos Bsin A 2sin C 2sin(A B)，展开得 sin Bcos A cos Bsin A 2(sin Bcos A cos Bsin A)，

6、整理得 sin Bcos A 3cos Bsin A，所以 tan B 3tan A.(2)解 由已知得 b2 c2 a2 3bc，所以 cos Ab2 c2 a22bc3bc2bc32，由 0A，得 A6，tan A33，tan B 3，由 0B，得 B23，所以 C6，a c，由 S12acsin 231232a2 3，得 a 2.6.ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知2cos(cos cos).C a B+b A c（I）求 C；（II）若7,c ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长【答案】（I）由已知及正余弦定理得，2cos(sin cos sin cos)

7、C A B B A c 2cosCsin sinC 故2sinCcosC sinC 可得1cosC2，所以C3（II）由已知，1 3 3sin2 2ab C 又3C，所以6.ab 由已知及余弦定理得，2 22 cos 7 a b ab C 故2 213,a b 从而2()25 a b 所以ABC 的周长为5 7。7.在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，已知1cos24C（1）求 sinC 的值；（2）当 a 2，2sinA sinC 时，求 b 及 c 的长【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得 sinC 的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求

8、得边 c，要求边 b，考虑用余弦定理，即先求出 cosC 的值.【解析】（1）因为21cos2 1 2sin4C C，及0 C，所以10sin4C（2）当 a 2，2sinA sinC 时，由正弦定理sin sina cA C，得 c 4 由21cos2 2cos 14C C，及0 C 得 6cos4C 由余弦定理得2 2 22 cos c a b ab C，得26 12 0 b b 解得6 b 或2 6 所以 6,4bc 或2 64.bc 8.ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 asinB 3bcosA 3c.求 B；若 ABC的面积为3 32，b 7，ac，求 a，c

9、.解析(2)利用正弦定理和三角形中角的关系将边角关系化为角的关系求 B；或用余弦定理将 cosA用边表示后求解；利用 S ABC12acsinB求出 ac，再结合余弦定理即可求出a，c.(2)解法一：由已知 asinB 3bcosA 3c，结合正弦定理得 sinAsinB 3sinBcosA 3sinC，所以 sinAsinB 3sinBcosA 3sin(A B)3(sinAcosB sinBcosA)，即 sinAsinB 3sinAcosB，亦即 tanB 3，因为 B(0，)，所以 B3.解法二：asinB 3bcosA 3c，asinB 3b2 c2 a22c 3c，sinB 3c2

10、 a2 b22ac，sinB 3cosB，即 tanB 3，又 0Bc，a 3c 2.9.设 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a btan A.(1)证明：sin B cos A；(2)若 sin C sin Acos B34，且 B为钝角，求 A，B，C.(1)证明 由正弦定理知asin Absin Bcsin C 2R，a 2Rsin A，b 2Rsin B，代入 a btan A得 sin A sin Bsin Acos A，又 A(0，)，sin A0，1sin Bcos A，即 sin B cos A.(2)解 由 sin C sin Acos B34知，sin(A

11、 B)sin Acos B34，cos Asin B34.由(1)知，sin B cos A，cos2A34，由于 B是钝角，故 A0，2，cos A32，A6.sin B32，B23，C(A B)6.10在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2(b c)2(2 3)bc，且 sin B 1 cos C，BC边上的中线 AM的长为 7.(1)求角 A和角 B的大小；(2)求 ABC的面积 解(1)由 a2(b c)2(2 3)bc，得 a2 b2 c2 3bc，即 b2 c2 a2 3bc，cos Ab2 c2 a22bc32，又 0A，A6.又 sin B 1 cos

12、C,0sin B1，cos C0，即 C为钝角，B为锐角，且 B C56，则 sin56 C 1 cos C，化简得 cosC3 1，解得 C23，B6.(2)由(1)知，a b，sin C32，cos C12，在 ACM中，由余弦定理得 AM2 b2a22 2ba2cos C b2b24b22(7)2，解得 b 2，故 S ABC12absin C12 2 232 3.11.已知，分别为 ABC三个内角 A，B，C的对边，（1）求 A；（2）若，ABC的面积为，求，解析：（1）根据正弦定理，得，因为，所以，即，（1）由三角形内角和定理，得，代入（1）式得，化简得，因为，所以，即，而，从而，解

13、得（2）若，ABC的面积为，又由（1）得，则，化简得，从而解得，a b ccos 3 sin 0 a C a C b c 2 a3b cRCcBbAa2sin sin sin A R a sin 2 B R b sin 2 C R c sin 2 cos 3 sin 0 a C a C b c 0 sin 2 sin 2 sin)sin 2(3 cos)sin 2(C R B R C A R C A R0 sin sin sin sin 3 cos sin C B C A C AC A C A C A B sin cos cos sin)sin(sin 0 sin sin cos cos si

14、n sin sin 3 cos sin C C A C A C A C AC C A C A sin sin cos sin sin 3 0 sin C1 cos sin 3 A A21)6sin(A A 0656 6 A6 6 A3 A2 a33 A 43cos 233sin212 2 2a bc c bbc 842 2c bbc2 b 2 c12.设锐角三角形ABC的内角A B C，的对边分别为a b c，2 sin a b A（1）求B的大小；（2）求cos sin A C 的取值范围【思路点拨】（1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得 B 的正弦值，进而求 B；（2）利用三角形中的内角

15、和定理，利用三角函数的知识进行求解.【解析】（1）由2 sin a b A，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A，所以1sin2B，由ABC 为锐角三角形得6B（2）cos sin cos sin A C A A cos sin6A A 1 3cos cos sin2 2A A A 3sin3A 由ABC 为锐角三角形知，2 2A B，2 2 6 3B 23 3 6A，所以1 3sin2 3 2A 由此有3 33sin 32 3 2A，所以cos sin A C 的取值范围为3 32 2，13.在 ABC内角 A、B、C的对边分别为 a，b，c，已知 a=bcosC+csinB.

16、（）求 B；（）若 b=2，求 ABC面积的最大值.解析：（）由已知及正弦定理得 sin A sin Bcos C sin Csin B，又 A-(B+C)，故 sin A sin(B+C)sin Bcos C+cos Bsin C，由，和 C(0，)得 sin Bcos B，又 B(0，)，所以4B.（）ABC 的面积1 2sin2 4S ac B ac.由已知及余弦定理得2 24=+2 cos4a c ac.又 a2 c2 2ac，故42 2ac，当且仅当 a c 时，等号成立因此 ABC面积的最大值为 2+1.14.如图，在 ABC 中，B3，AB 8，点 D 在边 BC 上，且 CD

17、2，cos ADC71(1)求 sin BAD；(2)求 BD，AC 的长【答案】(1)143 3;(2)7【思路点拨】（1）在三角形 ADC 中，由已知条件和外角定理可求得 sin BAD；（2）利用正弦定理和余弦定理分别求得 BD，AC 的长。【解析】(1)在 ABC 中，cos ADC71，sin ADC73 4，则 sin BAD sin(ADC B)sin ADC cosB cos ADC sinB 143 323712173 4(2)在 ABD 中，由正弦定理得373 4143 38ADB sinBAD sin ABBD，在 ABC 中，由余弦定理得 AC2 AB2 CB2 2AB

18、 BCcosB 82 52 2 8 521 49，即 AC 7 15.(2018云南 11 校跨区调研)如图，在四边形 ABCD中，DAB3，AD AB 2 3，BD 7，AB BC.(1)求 sin ABD的值；(2)若 BCD23，求 CD的长 解(1)因为 AD AB 2 3，所以可设 AD 2k，AB 3k.又 BD 7，DAB3，所以由余弦定理，得(7)2(3k)2(2k)2 2 3k 2kcos 3，解得 k 1，所以 AD 2，AB 3，sin ABDADsin DABBD2327217.(2)因为 AB BC，所以 cos DBC sin ABD217，所以 sin DBC2

19、77，所以BDsin BCDCDsin DBC，所以 CD72 77324 33.16.A，B 两地间隔着一个水塘（如图），现选择另一点 C，测得10 7 CA km，CB=10 km，CBA=60。（1）求 A，B 两地之间的距离；（2）若点 C在移动过程中，始终保持 ACB=60不变，问当 CAB 何值时，ABC 的面积最大？并求出面积的最大值。【答案】（1）30 km（2）60 225 3【思路点拨】（1）过 C作 CD AB于 D，使用勾股定理依次解出 BD，CD，AD，则 AB=AD+BD；（2）利用余弦定理和基本不等式求出 ACBC的最大值，根据最大值成立的条件得出CAB的度数，代

20、入三角形面积公式得出面积的最大值。【解析】（1）过 C作 CD AB于 D，CBA=60，15km2BD BC，2 25 3km CD BC BD。在 Rt ACD 中，2 225km AD AC CD。AB=AD+BD=30 km。（2）在 ABC中，由余弦定理得2 2 21cos2 2AC BC ABACBAC BC，AC2+BC2=AC BC+AB2=AC BC+900，AC2+BC2 2AC BC，AC BC+900 2AC BC，AC BC 900，当且仅当 AC=BC=30 时取得等号。当 AC=BC=30 时，ABC是等边三角形，故 CAB=60。S ABC的最大值为2330 225 34。