2023年届苏锡常镇四市高三数学模拟试卷及答案.docx

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1、 2023届苏锡常镇四市高三数学模拟试卷及答案 一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置) 1.已知 ，则 . 2.若复数 满意 ，则复数 在复平面上对应的点在第 象限. 3.随着社会的进展，食品（安全）问题慢慢成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参与食品安全学问竞赛，（成绩）的频率分布直方图如下列图所示，数据的分组依次为 ， ， ， ，若该校的学生总人数为3000，则成绩不超过60分的学生人数大约为 . 4.在区间 内任取一个实数 , 则满意 的概率为 . 5.如图是一个算法流程图，则输出 的值为 . 6.函数 的定义域为

2、. 7.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的焦距为 . 8.已知 ，则 . 9.已知圆锥的侧面绽开图是半径为4，圆心角等于 的扇形，则这个圆锥的体积是 10.已知圆 为常数)与直线 相交于 两点，若 ，则实数 . 11、设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， 则 的最小值为 . 12.若动直线 与函数 ， 的图象分别交于 两点，则线段 长度的最大值为 . 13.在 中， 、 分别是 、 的中点， 是直线 上的动点.若 的面积为2，则 的最小值为 . 14.已知函数 有两个不相等的零点 ，则 的最大值为 . 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解同意写出必要的文字说明、证明过程或演算

3、步骤) 15.(本小题总分值14分) 在 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若 ， . 求 的值; 若 ，求 的面积. 16.(本小题总分值14分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，CDAB，AB=2CD， AC交BD于O，锐角 PAD所在平面底面ABCD，PABD，点Q在侧棱PC上，且PQ=2QC. 求证：PA平面QBD; BD AD. 17.(本小题总分值14分) 如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线 和曲线 分别是顶点在路面 、 的抛物线的一局部，曲线 是圆弧，已知它们在接点 、 处的切线一样，若桥的最高点 到水平面的距离 米，圆弧的弓高 米，圆弧所

4、对的弦长 米. (1)求弧 所在圆的半径; (2)求桥底 的长. 18.(本小题总分值16分) 如图，已知椭圆 的左顶点 ，且点 在椭圆上， 、 分别是椭圆的左、右焦点。过点 作斜率为 的直线交椭圆 于另一点 ，直线 交椭圆 于点 . (1)求椭圆 的标准方程; (2)若 为等腰三角形，求点 的坐标; (3)若 ，求 的值. 19.(本小题总分值16分) 已知函数 ，其中 为参数. (1)当 时，求函数 在 处的切线方程; (2)争论函数 极值点的个数，并说明理由; (3)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 20.(本小题总分值16分) 已知各项不为零的数列 的前 项和为 ，且 ， ，

5、 . (1)若 成等比数列，求实数 的值; (2)若 成等差数列， 求数列 的通项公式; 在 与 间插入 个正数，共同组成公比为 的等比数列，若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的最大值. 扬州市2023届高三考前调研测试 数学(附加题 共40分) 21.选修4-2：矩阵与变换(本小题总分值10分) 已知矩阵 ，设曲线C： 在矩阵 对应的变换下得到曲线C，求C的方程. 22.选修4-4：坐标系与参数方程(本小题总分值10分) 在极坐标系中，直线 和圆C的极坐标方程为 ( )和 .若直线 与圆C有且只有一个公共点，求a的值. 23.(本小题总分值10分) 某校举办（校园）科技文化艺术节，在同一时

6、间安排（生活）趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座.已知A、B两（学习）小组各有5位（同学），每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听生活趣味数学，其余4人选听校园舞蹈赏析;B组2人选听生活趣味数学，其余3人选听校园舞蹈赏析. 若从今10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率; 若从A、B两组中各任选2人，设 为选出的4人中选听生活趣味数学的人数，求 的分布列和数学期望 . 24. (本小题总分值10分) 在数列 中， ( ) 试将 表示为 的函数关系式; 若数列 满意 ( )，猜测 与 的大小关系，并证明你的结论. 2023届苏锡常镇四市高三数学模拟试卷答案 一、填空

7、题 1. 2.一 3.900 4. 5. 120 6. 7.10 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 【解析】由 得 ， 又 ，所以 ， 3分 由于 ，且 为钝角，所以 ， 6分 所以 . 8分 由正弦定理得 ，所以 ， 11分 所以 的面积 . 14分 16. 【解析】如图，连接OQ， 由于ABCD，AB =2 CD， 所以AO =2OC，又PQ=2QC， 所以PAOQ， 3分 又OQ 平面QBD，PA 平面QBD， 所以PA平面QBD. 6分 在平面PAD内过 作 于H，由于侧面PAD底面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD， PH 平面PAD，所以PH 平面A

8、BCD， 9分 又BD 平面ABCD，所以PH BD，又PABD， 且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD 平面PAD，12分 又AD 平面PAD，所以BD AD. 14分 17. 解：(1)设弧 所在圆的半径为 ,由题意得 , 即弧 所在圆的半径为13米。 4分 (2)以线段 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立如图的平面直角坐标系。 米， 米，弓高 米， ， ， ，设 所在圆的方程为 则 弧 的方程为 6分 设曲线 所在抛物线的方程为： ， 8分 点 在曲线 上 10分 又弧 与曲线段 在接点 处的切线一样,且弧 在点B处的切线的斜率为 ， 由 得 ， ， 12分 由得

9、， ， 桥底 的长为58米 13分 答：(1)弧 所在圆的半径为13米; (2)桥底 的长 58米。 (答和单位各1分) 14分 18. 解：(1)由题意得 ，解得 椭圆 的标准方程： 4分 (2) 为等腰三角形，且 点 在 轴下方 1 若 ，则 ; 2 若 ，则 ， ; 3 若 ，则 ， 直线 的方程 ，由 得 或 (不争论扣2分) 9分 (3)设直线 的方程 ， 由 得 11分 若 则 ， ， 与 不垂直; ， ， ， 直线 的方程 ，直线 的方程： 由 解得 13分 又点 在椭圆上得 ，即 ，即 ， 16分 19. 解析：(1) 3分 (2) ，定义域为 ，设 ， 当 时， ，故 ， 所

10、以 在 上为增函数，所以无极值点. 4分 当 时， ， 若 时 ， ，故 ，故 在 上递增，所以无极值点. 若 时 ，设 的两个不相等的实数根为 ，且 ， 且 ，而 ，则 ， 所以当 单调递增; 当 单调递减; 当 单调递增. 所以此时函数 有两个极值点; 7分 当 时 ，设 的两个不相等的实数根为 ，且 ， 但 ，所以 ， 所以当 单调递増; 当 单调递减. 所以此时函数 只有一个极值点。 综上得： 当 时 有一个极值点; 当 时 的无极值点; 当 时， 的有两个极值点. 9分 (3)方法一： 当 时，由(2)知 在 上递增， 所以 ，符合题意; 10分 当 时， ， 在 上递增，所以 ，

11、符合题意; 12分 当 时， ，所以函数 在 上递减， 所以 ， 不符合题意; 14分 当 时，由(1)知 ，于是 当 时， ，此时 ，不符合题意. 综上所述， 的取值范围是 . 16分 方法二： ，留意到对称轴为 ， ， 当 时，可得 ，故 在 上递增，所以 ，符合题意; 当 时， ，所以函数 在 上递减， 此时 ， 不符合题意; 当 时，由(1)知 ，于是 当 时， ，此时 ，不符合题意. 综上所述， 的取值范围是 . 16分 20. 解：(1)当 时， ， ，当 时， ， ， 由 得 ，即 ，解得： 。 3分 (2)由 得 ，故 ， ，所以 ， 当 时， ， 由于 ，所以 6分 故数列

12、的全部奇数项组成以 为首项 为公差的等差数列， 其通项公式 ， 7分 同理，数列 的全部偶数项组成以 为首项 为公差的等差数列， 其通项公式是 8分 所以数列 的通项公式是 9分 (3) ，在 与 间插入 个正数，组成公比为 的等比数列，故有 ， 即 ， 10分 所以 ，即 ，两边取对数得 ， 分别参数得 恒成立 11分 令 ， ，则 ， ， 12分 令 ， ，则 ， 下证 ， ， 令 ， 则 ，所以 ， 即 ，用 替代 可得 ， ， 14分 所以 ，所以 在 上递减， 所以 16分 扬州市2023届高三考前调研测试 数学(附加题)参考答案 21.【解析】设 为曲线C上任意一点，点 在矩阵 对

13、应的变换下得到点 ，则： ，即 ，解得 ， 5分 (注：用逆矩阵的方式求解同样给分) 又 ， ，即 ， 曲线C的方程为 . 10分 22. 【解析】将直线 的极坐标方程化为直角坐标方程得 ; 2分 将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程得 . 4分 由于直线与圆有且只有一个公共点，所以 ，即 8分 解得 或 . 10分 23.【解析】设“选出的3人中恰2人选听校园舞蹈赏析”为大事 ， 则 ， 答：选出的3人中恰2人选听校园舞蹈赏析的概率为 . 3分 可能的取值为 ， ， ， ，故 . 所以 的分布列为： X 0 1 2 3 8分 所以 的数学期望 . 10分 24.【解析】(1) = 又 ， ， 3分 当n=1时， ， ， 当n=2时， ， ， 当n=3时， ， ， 4分 猜测：当 时， ， 5分 下面用数学归纳法证明： 证：当n=3时，由上知， ，结论成立。 假设n=k， 时, 成立，即 则当n=k+1， ， 要证 ，即证明 即证明 即证明 即证明 ，明显成立。 时，结论也成立. 综合可知：当 时， 成立。 综上可得：当n=1时， ;当n=2时， 当 ， 时， 10分