第2节　不等式的证明.pptx

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1、第2 节不等式的证明 选修45增素能 精准突破考点证明不等式(多考向探究)考向1 比较法证明不等式例1选用恰当的证明方法,证明下列不等式.(2)已知a,b都是正数,并且ab,求证:a5+b5a2b3+a3b2.(2)证明:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2),因为a,b都是正数,所以a+b0,a2+ab+b20,又因为ab,所以(a-b)20.所以(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)0,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)0,即

2、a5+b5a2b3+a3b2.规律方法 比较法证明不等式的步骤 对点训练1已知f(x)=|x-1|+|x+1|,不等式f(x)4的解集为M.(1)求集合M;(2)当a,bM时,证明:2|a+b|4+ab|.解得-2x-1或-1x1或1x2,所以集合M 为(-2,2).(2)证明:当a,bM 时,即-2a2,-2b2,4(a+b)2-(4+ab)2=4a2+4b2-16-a2b2=(a2-4)(4-b2)0,4(a+b)2(4+ab)2,2|a+b|4+ab|.考向2 综合法证明不等式规律方法 综合法证明不等式的常用技巧:在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加,同向不等

3、式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.对点训练2(2022 河南开封一模)已知正数a,b,c满足a3b3+b3c3+c3a3+abc=4.(1)求证:0abc1;考向3 分析法证明不等式例3设函数f(x)=|x-a|.(1)若关于x的不等式f(x)+f(2-x)3恒成立,求实数a的取值范围;(2)若0a1,|b|f(b).(1)解:由绝对值三角不等式得f(x)+f(2-x)=|x-a|+|2-x-a|x-a+2-x-a|=|2-2a|,当且仅当(x-a)(2-x-a)0时,等号成立.若关于x 的不等式f(x)+f(2-x)3恒成立,则|2a-2|3,即2a-23或2a

4、-2f(b),即证|a2b-a|a|a-b|,即证|ab-1|a-b|.又因为0a1,|b|1,所以a21,b20,所以|ab-1|a-b|,故所证不等式成立.规律方法 用分析法证明不等式时应注意:(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;(3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.对点训练3已知a+b+c=1,证明:因为a+b+c=1,所以(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2=a2+b2+c

5、2+4(a+b+c)+12=a2+b2+c2+16,因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)(a+b+c)2-2(a2+b2+c2),所以3(a2+b2+c2)(a+b+c)2.(1)解:由a=1,b=,可得f(x)=|x+4|,则f(x)2即|x+4|2,所以x+42或x+4-2或x2的解集为x|x-2或x2的解集(2)求证:f(x)+|x-a2|4.规律方法 利用绝对值三角不等式证明不等式时,一般需要利用绝对值的意义,对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式做正负号的调整,使之对消变量,得到常数.考向5 利用放缩法证明不等式例5已知f(x)=|x-a+1|+|x+b-

6、1|的最小值是c.(其中a,b都是0到1之间的正数)(1)求a+b+c的值;(2)证明:a2+2ab+4bc+2ac4.(1)解:f(x)=|x-a+1|+|x+b-1|x-a+1-(x+b-1)|=|a+b-2|,当且仅当(x-a+1)(x+b-1)0时,等号成立,因为a,b(0,1),所以f(x)2-a-b,所以c=2-a-b,即a+b+c=2.(2)证明:因为a+b+c=2,所以(a+b+c)2=4,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4,因为b2+c22bc,所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2aca2+2bc+2ab+2bc+2ac,即a2+2ab+4bc+2ac4,当且

7、仅当b=c 时,等号成立.规律方法 放缩法证明不等式的技巧放缩法证明不等式,常常利用基本不等式,绝对值三角不等式等大家熟知的数学结论进行放缩,有时也对要证明结论的一端进行适当地放或缩来证明不等式.对点训练5已知a,b,c均大于0,函数f(x)=|a-x|+|x+b|+c.(1)当a=b=c=2时,求不等式f(x)8的解集;(2)若函数f(x)的最小值为1,证明:a2+b2+c2.(1)解:当a=b=c=2时,f(x)=|x-2|+|x+2|+2,解得-3x-2或-2x2或2x3,所以不等式的解集为x|-3x3.(2)证明:因为a0,b0,c0,所以f(x)=|a-x|+|x+b|+c|a-x+

8、x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c,当且仅当(x-a)(x+b)0时,等号成立,因为f(x)的最小值为1,所以a+b+c=1,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1,因为2aba2+b2,2bcb2+c2,2aca2+c2,所以1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc3(a2+b2+c2),所以a2+b2+c2,当且仅当a=b=c 时,等号成立.考向6 利用柯西不等式证明不等式例6(2022 全国甲,理23)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:(1)a+b+2c3;证明:(1)由柯西不等式知(a2+b2+4c2)(12+12+12)(a+b+2c)2,即(a+b+2c)233,又因为a,b,c 是正实数,所以a+b+2c3,规律方法 1.利用柯西不等式证明不等式的技巧:利用柯西不等式证明不等式时,一定要满足柯西不等式的形式,这往往需要对要证明的不等式的一端的代数进行变形,以满足柯西不等式的形式.2.要理解并记住等号成立的条件:对点训练6(2022 陕西榆林二模)已知正数a,b,c,d满足a2+b2+c2+d2=1,证明: