吉林省长春市第十七中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题含解析.pdf

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1、长春市第十七中学长春市第十七中学20222023 学年度下学期期末考试学年度下学期期末考试高二数学试题高二数学试题（满分（满分 150 分，时间分，时间 120 分钟）分钟）一、单选题（本题一、单选题（本题 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1.sin2023 cos73cos43 sin73（）A.1B.32C.12D.222.已知函数 2ln8f xxx，则 0121limxfxfx 的值为（）A.20B.10C.10D.203.已知2sin33，则7cos6的值等于（）A.23B.23C.53D.534.曲线 cosfxxx在点,22f处的切线斜率为（）A

2、.0B.1C.-1D.25.函数()yf x的导函数()yfx的图象如图所示，则函数()yf x的图象可能是（）A.B.C.D.6.已知函数 elnxf xax在区间1,2上单调递增，则 a 的最小值为（）A.2eB.eC.1eD.2e7.已知为锐角，15cos4，则sin2（）A.358B.158 C.354D.154 8.将函数 225sin()sin()1212f xxx的图象向左平移(0)2个单位长度后，得到函数 g x的图象，若 g x满足()()66gxgx，则()g x在0,2上的最大值为（）A.12B.1C.32D.22二、多选题（本题二、多选题（本题 4 小题，每小题小题，每

3、小题 5 分，少选分，少选 2 分，选错分，选错 0 分，满分分，满分 20 分）分）9.下列说法正确的是（）A.轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为2B.若2，则12sinsin sincos2C.已知为锐角，3sin5，角的终边上有一点2,1P，则tan1D.在360360范围内，与410角终边相同的角是310和5010.若函数 2ln0bcfxaxaxx既有极大值也有极小值，则（）A.0bc B.0ab C.280bacD.0ac 11.下列说法不正确的是（）A.存在xR，使得3211 coslog10 xB.函数sin2 cos2yxx的最小正周期为，且图象关于

4、y轴对称C.函数cos23yx的一个对称中心为(),03D.若角的终边经过点cos3,sin3，则角是第三象限角12.已知函数()f x在 R 上满足()()f xfx，且当,0 x 时，()()0f xxfx成立，若0.60.6221122,ln2ln2,loglog88afbfcf，则下列说法正确的有（）A.()f x为奇函数B.()xf x为奇函数C.()xf x在 R 上单调递减D.cba三、填空题（本题三、填空题（本题 4 小题小题，每小题每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13.已知函数()2e(e)lnexf xfx，则函数()f x的最大值为_.14.若角的终边落在直线

5、3yx上，角的终边与单位圆交于点1(,)2m，且sincos0，则cossin _.15.当01x时，2xx_sin x（填,或）16.已知函数()sin()f xx，如图，A，B 是直线12y 与曲线()yf x的两个交点，若6AB，34f_.四四.解答题（本题解答题（本题 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）17.已知 5sin 2cos cos29cos sinsin2xxxf xxxx（1）化简 f x；（2）已知 2f，求sin2的值18.已知函数 e1xfxx.（1）求函数()f x的单调区间和极值；（2）证明：0f x.19.机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过

6、人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份12345违章驾驶人次1251051009080（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y与月份x之间的关系，求y关于x的回归方程ybxa，并预测该路口 7 月份不“礼让行人”违规驾驶人次；（2）交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查 90 人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人驾龄不超过 2 年2416驾龄 2 年以上2624能否据此判断有 90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会

7、.附：1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx，aybx.22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，其中nabcd .20P Kk0.150.100.050.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.63520.已知曲线 1xf xeax在1x 处的切线方程为ybxe.（）求,a b值.（）若函数 3xg xf xem有两个零点，求实数m的取值范围.21.已知函数 23sin2sin10,02xfxx为奇函数，且()f x图象的相邻两对称轴间的距离为2.（1）求()f x的解析式和单调递增区间.（2）将函数(

8、)f x的图象向右平移6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标变），得到函数()yg x的图象，当,12 6x 时，求函数()g x的值域.（3）设()()sincosh xf xxx，若()h xc恒成立，求实数 c的最小值.22.随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分已知某市 2021 年共有 10000 名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取 100 人的笔试成绩（满分视为 100 分）作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩X40,5050,6060,7070,8080,9

9、090,100人数5153530105（1）假定笔试成绩不低于 90 分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于 80 分的考生里随机抽取 2 人，求至少有 1 人笔试成绩为优秀的概率；（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩 X 近似服从正态分布2,N，其中近似为 100 名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），2180，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于 82.4 的人数（结果四舍五入精确到个位）；（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答 3 道题，前两题是哲学知识，每道题答对得 3 分，答错得 0 分；最后一题是心理学知识，答对得

10、4 分，答错得 0 分已知考生甲答对前两题的概率都是12，答对最后一题的概率为23，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分 Y 的分布列及数学期望（参考数据：18013.4；若2,XN，则0.6827PX，220.9545PX，330.9973PX）长春市第十七中学长春市第十七中学20222023 学年度下学期期末考试学年度下学期期末考试高二数学试题高二数学试题（满分（满分 150 分，时间分，时间 120 分钟）分钟）一、单选题（本题一、单选题（本题 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1.sin2023 cos73cos43 sin73（）A.1B.32C

11、.12D.22【答案】C【解析】【分析】结合诱导公式和三角恒等变换公式即可求解.【详解】因为sin2023sin 5 360223sin223sin 18043sin43 所以sin2023 cos73cos43 sin73 1sin73 cos43cos73 sin43sin 7343sin302 故选：C.2.已知函数 2ln8f xxx，则 0121limxfxfx 的值为（）A.20B.10C.10D.20【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义可得 0121lim21xfxffx ，再用求导公式可得 28fxx，代入1x 即可得解.【详解】因为 2ln8f xxx，所以 28fxx，

12、所以 020121121lim2 lim21202xxfxffxffxx .故选：D3.已知2sin33，则7cos6的值等于（）A.23B.23C.53D.53【答案】B【解析】【分析】通过构角73()623，再利用诱导公式即可求出结果.【详解】因为73cos()cos()sin()6233，又2sin33，所以72cos()63，故选：B.4.曲线 cosfxxx在点,22f处的切线斜率为（）A.0B.1C.-1D.2【答案】A【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义求2f，即可得答案.【详解】由 1 sinfxx，则02f，所以点,22f处的切线斜率为0.故选：A5.函数()yf

13、x的导函数()yfx的图象如图所示，则函数()yf x的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题利用导函数的性质，便可以解题.()0fx，函数为增函数，()0fx，函数为减函数，根据导函数图形找到对应区间就可以得出答案.【详解】由()fx图象知，当xa或bxc时，()0fx，函数为增函数，当axb或xc时，()0fx，函数为减函数，对应图象为 A.故选：A6.已知函数 elnxf xax在区间1,2上单调递增，则 a 的最小值为（）A.2eB.eC.1eD.2e【答案】C【解析】【分析】根据 1e0 xfxax在1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出【详解】依题可知，1e

14、0 xfxax在1,2上恒成立，显然0a，所以1exxa，设 e,1,2xg xxx，所以 1 e0 xgxx，所以 g x在1,2上单调递增，1eg xg，故1ea，即11eea，即 a 的最小值为1e故选：C7.已知为锐角，15cos4，则sin2（）A.358B.158 C.354D.154【答案】D【解析】【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出【详解】因为215cos1 2sin24，而为锐角，解得：sin225135518164故选：D8.将函数 225sin()sin()1212f xxx的图象向左平移(0)2个单位长度后，得到函数 g x的图象，若 g x满足()()66

15、gxgx，则()g x在0,2上的最大值为（）A.12B.1C.32D.22【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式化简函数()f x，再利用给定变换及性质求出()g x，利用正弦函数的性质求出最大值作答.【详解】依题意，22()cos()sin()cos(2)12126f xxxx，于是()()cos(22)6g xf xx，由()()66gxgx，知直线6x 是函数()g x图象的对称轴，则22,Z66kk，而02，则1,4k，()cos(2)sin(2)266g xxx，当0,2x时，72,666x，1sin(2)126x，当且仅当2x 时，1sin(2)62x，所以当2x

16、 时，()g x取得最大值12.故选：A二、多选题（本题二、多选题（本题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，少选分，少选 2 分，选错分，选错 0 分，满分分，满分 20 分）分）9.下列说法正确的是（）A.轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为2B.若2，则12sinsin sincos2C.已知为锐角，3sin5，角的终边上有一点2,1P，则tan1D.在360360范围内，与410角终边相同的角是310和50【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，根据扇形相关知识计算即可；对于 B，根据角的范围判断正弦值和余弦值的符号，结合诱导公式和同角三角函数的平方关系化简即

17、可；对于 C，通过同角三角函数关系和三角函数定义求得3tan4，1tan2，再通过两角和的正切公式代入计算即可；对于 D，根据终边相同的角的概念直接判断.【详解】对于 A，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，设其母线长为x，则其底面圆的直径为2x，则圆锥侧面展开图的半径（即圆锥母线长）为x，弧长（即底面周长）为2x，所以其侧面展开图的圆心角的弧度数为22xx，故 A 正确；对于 B，若2，则sin0,cos0，则sincos0，则212sinsin 12cossinsincos2sincossincos，故 B 正确；对于 C，若为锐角，3sin5，则24cos1 sin5，则sin3tancos4

18、，角的终边上有一点2,1P，则1tan2，则31tantan42tan2311tantan142，故 C 错误；对于 D，在360360范围内，与410角终边相同的角是310和50，故 D 正确.故选：ABD10.若函数 2ln0bcfxaxaxx既有极大值也有极小值，则（）A.0bc B.0ab C.280bacD.0ac【答案】BCD【解析】【分析】求出函数()f x的导数()fx，由已知可得()fx在(0,)上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【详解】函数2()lnbcf xaxxx的定义域为(0,)，求导得223322()abcaxbxcfxxxxx，因为函数

19、()f x既有极大值也有极小值，则函数()fx在(0,)上有两个变号零点，而0a，因此方程220axbxc有两个不等的正根12,x x，于是2121280020bacbxxacx xa，即有280bac，0ab，0ac，显然20a bc，即0bc，A 错误，BCD正确.故选：BCD11.下列说法不正确的是（）A.存在xR，使得3211 coslog10 xB.函数sin2 cos2yxx的最小正周期为，且图象关于y轴对称C.函数cos23yx的一个对称中心为(),03D.若角的终边经过点cos3,sin3，则角是第三象限角【答案】ABC【解析】【分析】利用正弦函数、余弦函数的性质逐项分析判断作

20、答.【详解】对于 A，由cos1,1x，知31 cos0 x，而221loglog 1010，因此不存在xR，使得3211 coslog10 x，A 错误；对于 B，函数1sin2 cos2sin42yxxx的最小正周期为2，B 错误；对于 C，当3x 时，cos2()133y，因此点(),03不是函数cos23yx的对称中心，C错误；对于 D，因为cos3cos30,sin3sin30，所以角是第三象限角，D 正确.故选：ABC12.已知函数()f x在 R 上满足()()f xfx，且当,0 x 时，()()0f xxfx成立，若0.60.6221122,ln2ln2,loglog88af

21、bfcf，则下列说法正确的有（）A.()f x为奇函数B.()xf x为奇函数C.()xf x在 R 上单调递减D.cba【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义判断 AB；构造函数()()g xxf x，利用导数探讨单调性推理判断 CD 作答.【详解】因为函数()f x在 R 上满足()()f xfx，则函数()f x是 R 上的偶函数，A 错误；令()()g xxf x，则()()()()gxxfxxf xg x ，则函数()xf x是 R 上的奇函数，B 正确；当,(0 x 时，()()()0g xf xxfx，则函数()g x在(,0上单调递减，且(0)0g，由选

22、项 B 知，函数()g x在0,)上单调递减，因此()xf x在 R 上单调递减，C 正确；显然0.60221221lneln2ln10log 1log8，由选项 C 知，0.621(2)(ln2)(log)8ggg，因此abc，D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.三、填空题（本题三、填空题（本题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13.已知函数()2e(e)lnexf xfx，则函数()f x的最大值为_.【答案】2ln2【解析】【分析】根据给定

23、条件，求出函数()f x，进而求出(e)f，再利用导数求出最大值作答.【详解】函数()2e(e)lnexf xfx定义域为(0,)，求导得2e(e)1()effxx，当ex时，2e(e)1(e)eeff，解得1(e)ef，因此函数()2lnexf xx，21()efxx，当02ex时，()0fx，当2ex 时，()0fx，则函数()f x在(0,2e)上单调递增，在(2e,)上单调递减，所以当2ex 时，max2e2ln2e22ln2f xf.故答案为：2ln214.若角的终边落在直线3yx上，角的终边与单位圆交于点1(,)2m，且sincos0，则cossin _.【答案】34【解析】【分析

24、】由题可得1cos2，sin0，然后利用三角函数的定义可得1cos2，3sin2，即得.【详解】由角的终边与单位圆交于点1(,)2m，得1cos2，又sincos0，sin0，因为角的终边落在直线3yx上，所以角只能是第三象限角记 P 为角的终边与单位圆的交点，设,0,0P x yxy，则1OP，即221xy，又3yx，解得13,22xy ，即1cos2，因为点1(,)2m在单位圆上，所以22112m，解得32m ，即3sin2，所以cossin34.故答案为：34.15.当01x时，2xx_sin x（填,或）【答案】【解析】【分析】根据给定条件，构造函数并探讨该函数的单调性即可判断作答.【

25、详解】当01x时，令22()sin()sinf xxxxxxx，求导得()cos21fxxx，令()cos21,01g xxxx，求导得()sin20g xx，函数()g x，即()fx在(0,1)上单调递增，有()(0)0fxf，则函数()f x在(0,1)上单调递增，即有()(0)0f xf，所以2sin xxx.故答案为：16.已知函数()sin()f xx，如图，A，B 是直线12y 与曲线()yf x的两个交点，若6AB，34f_.【答案】32#132【解析】【分析】设1211,22A xB x，依题可得，216xx，结合1sin2x 的解可得2123xx，从而得到的值，再根据203

26、f以及 00f，即可得2()sin 43f xx，进而求得34f【详解】设1211,22A xB x，由6AB 可得216xx，由1sin2x 可知，2 6xk或52 6xk，Zk，由图可知，2152663xx，即2123xx，4因为28sin033f，所以83k，即83k，Zk所以82()sin 4sin 433f xxkxk，所以 2sin 43f xx或 2sin 43f xx，又因为 00f，所以2()sin 43f xx，2334423sin 4sin33f故答案为：32四四.解答题（本题解答题（本题 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）17.已知 5sin 2cos cos29

27、cos sinsin2xxxf xxxx（1）化简 f x；（2）已知 2f，求sin2的值【答案】（1）tan x（2）45【解析】【分析】（1）根据三角函数的诱导公式结合同角的三角函数关系化简，即可得答案.（2）利用二倍角正弦公式，结合齐次式法求值，可得答案.【小问 1 详解】由题意得 5sin 2cos cos29cos sinsin2xxxf xxxx(sin)(cos)sinsintan(cos)sin coscosxxxxxxxxx .【小问 2 详解】由 2f，可得tan2,tan2，则2222sincos2tan4sin2sincostan15.18.已知函数 e1xfxx.（

28、1）求函数()f x的单调区间和极值；（2）证明：0f x.【答案】（1）递减区间是(,0)，递增区间是(0,)，极小值为0，无极大值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x的导数，利用导数求出单调区间、极值作答.（2）由（1）的结论，求出函数()f x的最小值作答.【小问 1 详解】函数 e1xfxx的定义域为 R，求导得()e1xfx，当0 x 时，()0fx，当0 x 时，()0fx，所以函数()f x的递减区间是(,0)，递增区间是(0,)，在0 x 处取得极小值(0)0f，无极大值.【小问 2 详解】由（1）知，xR，函数()f x在0 x 处取得最小值(0)0f

29、，即Rx，()(0)0f xf，所以 0f x.19.机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份12345违章驾驶人次1251051009080（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y与月份x之间的关系，求y关于x的回归方程ybxa，并预测该路口 7 月份不“礼让行人”违规驾驶人次；（2）交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查 90 人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人驾龄不超过 2 年2416驾龄 2

30、年以上2624能否据此判断有 90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会.附：1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx，aybx.22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，其中nabcd .20P Kk0.150.100.050.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）10.5131.5yx，58；（2）没有 90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关，礼让行人是一种良好的驾驶习惯，无论驾龄多少，都需遵守规章，礼让行人.【解析】【分析】（1）由已知求得,x

31、y，进一步套公式求出b和 a的值，就求出线性回归方程，再令7x 即可故居；（2）补全列联表，根据数据计算2K，并下结论.【详解】解：（1）由表中数据知，1234535x，125 105 10090801005y，所以155050 1040105iiixxyy ，214 10 1410niixx ，所以12110510.510niiiniixxyybxx，10010.53131.5a 所以10.5131.5yx，所以令7x，则10.5 7131.558y 人，故预测该路口 7 月份不“礼让行人”违规驾驶人次为58人次.（2）根据表中的列联表补全得下表：不礼让行人礼让行人合计驾龄不超过 2 年24

32、1640驾龄 2 年以上262450合计504090故2229024 24 16 26()0.582.706()()()()50 40 40 50n adbcKab cd ac bd，所以没有 90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关礼让行人是一种良好的驾驶习惯，无论驾龄多少，都需遵守规章，礼让行人.【点睛】方法点睛：（1）求线性回归方程的步骤：先求 x、y 的平均数,x y；套公式求出b和 a的值：91921iiiiixxyybxx，aybx$；写出回归直线的方程.（2）独立性检验的题目直接根据题意完成完成 22 列联表,直接套公式求出2K,对照参数下结论.20.已知曲线 1xf xeax在

33、1x 处的切线方程为ybxe.（）求,a b值.（）若函数 3xg xf xem有两个零点，求实数m的取值范围.【答案】()1,3abe；()0em【解析】【分析】（）利切点 1,1f为曲线 yf x和直线ybxe的公共点，得出 1fbe，并结合 1fb列方程组求出实数a、b的值；（）解法 1：由 0g x，得出2xmex，将问题转化为直线ym与曲线 u x 2xex的图象有两个交点时，求出实数m的取值范围，然后利用导数研究函数 u x 2xex的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数m的取值范围；解法 2：利用导数得出函数 yg x的极小值为 1g，并利用极限思想得出当x 时，g xm，结合

34、题意得出 100gm，从而得出实数m的取值范围【详解】（）1xf xeax，11xxxfxeaxeaeaxa，12111feabfeabe 1,3abe；（）解法 1：32xxg xf xemexm，函数 2xg xexm有两个零点，相当于曲线 2xu xex与直线ym有两个交点.21xxxuxexeex，当,1x 时，0,ux u x在,1单调递减，当1,x时，0,ux u x在1,单调递增，1x时，u x取得极小值 1ue，又x 时，u x ；2x 时，0u x，0em；解法 2：32xxg xf xemexm，21xxxgxexeex，当,1x 时，0,gx g x在,1上单调递减，当1

35、,x时，0,gx g x在1,上单调递增，1x时，g x取得极小值 1gem ，又x 时，g xm，100gm0em.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率21.已知函数 23sin2sin10,02xfxx为奇函数，且()f x图象的相邻两对称轴间的距离为2.（1）求()f x的解析式和单调递增区间.（2）将函数()f x的图象向右平移6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标变），得到函数()yg x的图象，当,12 6x 时，

36、求函数()g x的值域.（3）设()()sincosh xf xxx，若()h xc恒成立，求实数 c 的最小值.【答案】（1）2sin2f xx，单调递增区间为,44kk，kZ；（2）2,3（3）22【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简条件式，结合三角函数的性质即可得出结果；（2）利用三角函数图象变换结合三角函数的性质即可；（3）化简得出 h x，利用换元法结合三角函数的性质求其最大值即可判断 c 的最小值.【小问 1 详解】化简原函数式 23sin2sin12xf xx3sincos2sin6xxx又 f x为奇函数，且相邻两对称轴距离2，0,0故22,2,266Tk，即

37、2sin2f xx令22,2,Z2244xkkxkkk 所以 2sin2f xx，单调递增区间为,44kkkZ；【小问 2 详解】由（1）知 2sin2f xx，向右平移6个单位长度得2sin 22sin 263yxx，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标变），得到 2sin 43g xx，当,12 6x 时，2 4,333x，所以3sin 41,32x，则2sin 42,33x，故 g x的值域为2,3；【小问 3 详解】结合（1）得 2sin2sincosh xxxx，令sincosxxt，则2sin2,24tx 又22222sincossinsin2cos1 sin2sin21xxtxxx

38、xxt，故 221172122,248h xu ttttt ，由二次函数的性质可知 max222u tu，故 h xc恒成立等价于22c，所以c的最小值为22.22.随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分已知某市 2021 年共有 10000 名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取 100 人的笔试成绩（满分视为 100 分）作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩X40,5050,6060,7070,8080,9090,100人数5153530105（1）假定笔试成绩不低于 90 分为优

39、秀，若从上述样本中笔试成绩不低于 80 分的考生里随机抽取 2 人，求至少有 1 人笔试成绩为优秀的概率；（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩 X 近似服从正态分布2,N，其中近似为 100 名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），2180，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于 82.4 的人数（结果四舍五入精确到个位）；（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答 3 道题，前两题是哲学知识，每道题答对得 3 分，答错得 0 分；最后一题是心理学知识，答对得 4 分，答错得 0 分已知考生甲答对前两题的概率都是12，答对最后一题的概率

40、为23，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分 Y 的分布列及数学期望（参考数据：18013.4；若2,XN，则0.6827PX，220.9545PX，330.9973PX）【答案】（1）47（2）1587 人（3）分布列见解析，173【解析】【分析】（1）根据表格，求出样本中笔试成绩不低于 80 分的考生人数和其中成绩优秀的人数，根据古典概型概率计算即可；（2）根据表中数据求出平均数，根据正太分布曲线的对称性和0.6827PX即可求182.412P XP XPX，从而估计成绩不低于 82.4 的人数；（3）根据题意可知 Y 的所有可能取值为 0，3，4，6，7，10，根据独立事件概率的计

41、算方法即可求出分布列，根据数学期望公式即可求出数学期望.【小问 1 详解】由已知，样本中笔试成绩不低于 80 分的考生共有 15 人，其中成绩优秀的 10 人故至少有 1 人笔试成绩为优秀的概率为1125105215C CC4C7P.【小问 2 详解】由表格中的数据可知，0.05 450.15 550.35 650.3 750.10 850.05 9569，又2180，即13.4，182.410.158652P XP XPX，由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于 82.4 的人数为 100000.158651587 人.【小问 3 详解】考生甲的总得分 Y 的所有可能取值为 0，3，4，6，7，10，则2111(0)2312P Y，2121113C236P Y，2121(4)236P Y，2111(6)2312P Y，2121217C233P Y，2121(10)236P Y，故 Y 的分布列为：Y0346710P1121616112131611111117()0346710126612363E Y