2023届高考数学（理）大一轮复习知识讲义_第九章解析几何.pdf

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1、第 九 章 解 析 几 何 第 一 节 直 线 与 方 程 本 节 主 要 包 括 3 个 知 识 点：1.直 线 的 倾 斜 角 与 斜 率、两 直 线 的 位 置 关 系；2.直 线 的 方 程；3.直 线 的 交 点、距 离 与 对 称 问 题.突 破 点(一)直 线 的 倾 斜 角 与 斜 率、两 直 线 的 位 置 关 系 基 础 联 通 抓 主 干 知 识 的“源”与“流”_1.直 线 的 倾 斜 角(1)定 义：当 直 线/与 x 轴 相 交 时，取 x 轴 作 为 基 准，x 轴 正 向 与 直 线/向 上 方 向 之 间 所 成 的 角 叫 做 直 线/的 倾 斜 角.当 直

2、 线/与 x 轴 平 行 或 重 合 时,规 定 它 的 倾 斜 角 为 0.(2)范 围：直 线/倾 斜 角 的 范 围 是 0,n).2.斜 率 公 式 定 义 式：直 线/的 倾 斜 角 为 a专，则 斜 率 Q tan a.(2)两 点 式：Pl(Xu J 1),尸 2(*2,)2)在 直 线/上，且 X 1 W X 2,则/的 斜 率 兀 2*13.两 条 直 线 平 行 与 垂 直 的 判 定(1)两 条 直 线 平 行：对 于 两 条 不 重 合 的 直 线 A,h,若 其 斜 率 分 别 为 生，k2,则 有 1 1丑=后 当 直 线/2不 重 合 且 斜 率 都 不 存 在

3、时，h/h.(2)两 条 直 线 垂 直：如 果 两 条 直 线，2的 斜 率 存 在，设 为 k2,则 有 I山 2Okrk2=l.当 其 中 一 条 直 线 的 斜 率 不 存 在，而 另 一 条 直 线 的 斜 率 为 0 时，A1/2.考 点 贯 通 _ 抓 高 考 命 题 的“形”与“故 _考 点 一 直 线 的 倾 斜 角 与 斜 率 1.直 线 都 有 倾 斜 角，但 不 一 定 都 有 斜 率，二 者 的 关 系 具 体 如 下:斜 率 北 A r=tan a0*=0 fc=tan a0 不 存 在 倾 斜 角 a 锐 角 0 钝 角 902.在 分 析 直 线 的 倾 斜 角

4、 和 斜 率 的 关 系 时，要 根 据 正 切 函 数 k=tan a 的 单 调 性，如 图 所 示：当 a 取 值 在 o,习 内，由 0 增 大 到 如。!)时，k 由 0 增 大 并 趋 向 于 正 无 穷 大；当 a 取 值 在 住 内，由 如 词 增 大 到 71(:)时，k由 负 无 穷 大 增 大 并 趋 近 于 0.解 决 此 类 问 题，常 采 用 数 形 结 合 思 想.例 1(1)直 线 x s in a+y+2=0的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是()加 3加、A.0,7 T)B 0,n Jc(),T D.0,J U(J,J(2)已 知 线 段 尸。两 端 点

5、的 坐 标 分 别 为 P(1,1)和。(2,2),若 直 线/：X+,町+机=0 与 线 段 P Q 有 交 点，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 解 析(1)因 为 直 线 xsin a+y+2=0 的 斜 率 A=sin a,又 一 iWsin a W l,所 以 一 1WAW1.设 直 线 xsin(z+y+2=0的 倾 斜 角 为，所 以 一 i W t a n 而 夕 0,n),故 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 o,时 序。(2)如 图 所 示，直 线 x+2 y+/n=0过 定 点 A(0,-1),当 初 金。3 1 1 1 3 1时，4 2 4=5,无 以=2,k=

6、一 7 一 二 一 2 或 一 二 解 得 OvmW孑 乙 H l l i t 111 4 4.2 一 八 或 一 当,=o 时，直 线/的 方 程 为 x=0,与 线 段 尸。有 交 点.2 r.实 数 m 的 取 值 范 围 为-3,2 f g 2 1 答 案(1)B(2(一 丞 2 易 错 提 醒 直 线 倾 斜 角 的 范 围 是 10,7 T),而 这 个 区 间 不 是 正 切 函 数 的 单 调 区 间，因 此 根 据 斜 率 求 倾 斜 角 的 范 围 时，要 分 o,加 住 J 两 种 情 况 讨 论.由 正 切 函 数 图 象 可 以 看 出，当 a e o,力 时，斜 率

7、 AG O,+8)；当 时，斜 率 不 存 在；当 J 时，斜 率 AG(8,0).考 点 二 两 直 线 的 位 置 关 系 两 直 线 平 行 或 垂 直 的 判 定 方 法(1)已 知 两 直 线 的 斜 率 存 在 两 直 线 平 行 O 两 直 线 的 斜 率 相 等 且 坐 标 轴 上 的 截 距 不 相 等；两 直 线 垂 直 O 两 直 线 的 斜 率 之 积 为-1.(2)已 知 两 直 线 的 斜 率 不 存 在 若 两 直 线 的 斜 率 不 存 在，当 两 直 线 在 x 轴 上 的 截 距 不 相 等 时，两 直 线 平 行；否 则 两 直 线 重 合.(3)已 知

8、两 直 线 的 一 般 方 程 设 直 线 A：A i x+B i j+C i=O,h：A*+8以+。2=0,则/i,20 A 1 8 2-4 2 8 1=0 且 81c2/i，/2 O 4 A 2+8 l 2=0.该 方 法 可 避 免 对 斜 率 是 否 存 在 进 行 讨 论.例 2(1)若 直 线 好+2/6=0 与*+(4 1)7+/-1=0 平 行，贝！|“=.(2)已 知 经 过 点 4(-2,0)和 点 8(1,3a)的 直 线 h 与 经 过 点 P(0,1)和 点 Q(a,一 2a)的 直 线，2互 相 垂 直，则 实 数 的 值 为.解 析(1)因 为 两 直 线 平 行

9、，所 以 有。伍 1)-2=0,且 2(a 2-l)+6(a-l)W 0,即 小 一”2=0,且“2+3”-4 W 0,解 得 a=2 或 a=1.，*3。0(2)/的 斜 率 ki=7 八=a.1一(一 2)当.aW,O时,，L的，斜 率 e=-一-2-a-(一 1Z)=1-2.因 为 Zl；2,1-2a所 以 心 A 2=1,即。1=一 1,解 得 4=1.当 a=0 时，尸(0,-1),。(0,0),这 时 直 线，2 为 y 轴，A(-2,0),3(1,0),直 线 1 1 为 x轴，显 然 J综 上 可 知，实 数 a 的 值 为 1 或 0.答 案(1)2 或 一 1(2)1 或

10、0 易 错 提 醒 当 直 线 方 程 中 存 在 字 母 春 薮 时，不 仅 凝 虑 到 斜 晕 存 在 的 一 蕨 薪，也 要 考 虑 到 斜 率 不 存 在 的 特 殊 情 况.同 时 还 要 注 意 x,y 的 系 数 不 能 同 时 为 零 这 一 隐 含 条 件.能 力 练 通 抓 应 用 体 驹 的“得”与“失”1.考 点 一 直 线 2xcos a-j-3=0(a G 缁，切 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是()A(?第 B 信 fn n了 2观 I 不 7 r T2nj 解 析：选 B 直 线 2xcos a y3=0 的 斜 率 4=2cos a,因 l.为 何 冗

11、不 d7 r-|所 以 孑 cos a因 此 G=2 c o sa G l,4.设 直 线 的 倾 斜 角 为，则 有 tan G l,5.又 0,n),所 以 0 不 即 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 信 个.2.考 点 一 直 线/：xsin 30+jco s 150+1=0 的 斜 率 是()C.yj3B#D-乎 解 析：选 A 设 直 线/的 斜 率 为&,则 1 8。=早 L U S U V J3.考 点 二 若 直 线 Z i：/n x-j 2=0 与 直 线 Z i：(2-/n)x j+l=0 互 相 平 行，则 实 数 m的 值 为()A.-1 B.0C.1 D.2解 析

12、：选 C=直 线/:mxy2=Q 与 直 线 h(2 y+l=0 互 相 平 行，m+(2/n)=0,j+2(2 m)W0,解 得 机=1.故 选 C.4.考 点 二 已 知 直 线 Z i：2 a x+(a+l)y+l=0,5(a+l)x+(a l)y=0,若 ZiZi 则 a=()A.2 或 3 B.；或 1C.j D.-1解 析：选 B 因 为 直 线 A：2 a x+(a+l)y+l=0,l2:(a+l)x+(a-l)j=0,h h,所 以 2 a(a+l)+(a+l)(a 1)=0,解 得 a=；或 a=-1.故 选 B.5.考 点 一 直 线/过 点 尸(1,0),且 与 以 A(

13、2,l),3(0,5)为 端 点 的 线 段 有 公 共 点，贝!I直 线/斜 率 的 取 值 范 围 为.解 析：如 图，:k/tp=_=1,小 一 0 kBP=0 T=_勺 3,:.kG(-8,一 小 U 1,+8).答 案：(-8,f U 1,+0)6.考 点 二(2016茅 北 E9市 一 桃)已 知 a,b 为 正 数，且 直 线 ar+Zy6=0 与 直 线 2x+(b-3)y+5=0 平 行，则 2a+3。的 最 小 值 为,解 析：由 两 直 线 平 行 可 得，a(b-3)-2b=0,2 3即 2b+3a=ab,-+=l.又。，方 为 正 数，所 以 2a+3 6=(2+3。

14、)()=1 3+墨+邛,13+2 1 牛 华=2 5,当 且 仅 当 a=b=5 时 取 等 号，故 2a+3白 的 最 小 值 为 25.答 案：25突 破 点(二)直 线 的 方 程 基 础 联 通 抓 丰 干 知 识 的“源”与“流”直 线 方 程 的 五 种 形 式 形 式 几 何 条 件 方 程 适 用 范 围 点 斜 式 过 一 点(xo,J o),斜 率 土 1-1 0=必 一 工 0)与 x 轴 不 垂 直 的 直 线 斜 截 式 纵 截 距 力，斜 率 A 尸 fcr+6 与 X轴 不 垂 直 的 直 线 两 点 式 过 两 点(Xl,yi),(X 2,J2)y-yi x-x

15、iJ2-X2-X与 x 轴、y 轴 均 不 垂 直 的 直 线 截 距 式 横 截 距 a,纵 截 距 5 a+b=1不 含 垂 直 于 坐 标 轴 和 过 原 点 的 直 线 一 般 式 A x+B j+C=0,A2+B20平 面 直 角 坐 标 系 内 所 有 直 线 考 点 贯 通 抓 高 考 命 题 的“形”与“神”考 点 一 求 直 线 方 程 例 1(1)求 过 点 A(l,3),斜 率 是 直 线 y=-4 x 的 斜 率 的 3的 直 线 方 程.(2)求 经 过 点 A(-5,2),且 在 x 轴 上 的 截 距 等 于 在 y 轴 上 截 距 的 2 倍 的 直 线 方 程

16、.(3)求 过 4(2,1),8(m,3)两 点 的 直 线/的 方 程.1 4 解(1)设 所 求 直 线 的 斜 率 为 依 题 意 A=4 X=.又 直 线 经 过 点 A(l,3),因 此 所 求 直 线 方 程 为 y3=一：(*-1),即 4 x+3 y-1 3=0.(2)当 直 线 不 过 原 点 时，设 所 求 直 线 方 程 忘+?=1,将(一 5,2)代 入 所 设 方 程，解 得 a=所 以 直 线 方 程 为 x+2 y+l=0；当 直 线 过 原 点 时，设 直 线 方 程 为 y=kx,则 一 5=2,解 得 斤=一 2右 所 以 直 线 方 程 为 2=一 手，即

17、 2x+5y=0.故 所 求 直 线 方 程 为 2 x+5 j=0或 x+2 y+1=0.(3)当 m=2 时，直 线 I的 方 程 为 x=2；当,金 2 时，直 线/的 方 程 为 31 in2即 2x(i2)y+i6=0.因 为 m=2 时，代 入 方 程 2x(M I2)y+/n6=0,即 为 x=2,所 以 直 线 I的 方 程 为 2x一(机-2)y+m 6=0.易 错 提 醒 在 求 直 线 方 程 时，应 连 每 适 当 的 形 式，并 注 意 W 种 形 式 的 适 用 条 件.(2)对 于 点 斜 式、截 距 式 方 程 使 用 时 要 注 意 分 类 讨 论 思 想 的

18、 运 用(若 采 用 点 斜 式，应 先 考 虑 斜 率 不 存 在 的 情 况；若 采 用 截 距 式，应 先 判 断 截 距 是 否 为 零).考 点 二 与 直 线 方 程 有 关 的 最 值 问 题 例 2 过 点 尸(4,1)作 直 线/分 别 交 x,y 轴 正 半 轴 于 A,5 两 点.(1)当 A 0 5面 积 最 小 时，求 直 线/的 方 程.(2)当|。川+|。8|取 最 小 值 时，求 直 线/的 方 程.解 设 直 线:+械=130,/0),因 为 直 线/经 过 点 尸(4,1),所 以 士 4+。1=1.a b4 1 41 47 k 病 所 以 而 2 1 6,

19、当 且 仅 当 Q=8,)=2 时 等 号 成 立,所 以 当。=8,8=2 时，最 小，此 时 直 线/的 方 程 为?+=1,L o L即 x+4 y-8=0.4 1(2)因 为%+1=1,a0,Z0,所 以|O A|+|O B|=a+Z=(a+6)(，+3=5+?2 5+2当 且 仅 当 a=6,5=3 时 等 号 成 立，所 以 当|。4|+|0为 取 最 小 值 时，直 线/的 方 程 为 x+2 y 6=0.方 法 技 巧 工 招 比 泰 褥 i 暖 考 碗 恿 呼(1)考 虑 问 题 的 特 殊 情 况，如 斜 率 不 存 在 的 情 况，截 距 等 于 零 的 情 况.(2)在

20、 一 般 情 况 下 准 确 选 定 直 线 方 程 的 形 式，用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 方 程.(3)重 视 直 线 方 程 一 般 形 式 的 应 用，因 为 它 具 有 广 泛 的 适 用 性.2.与 直 线 有 关 的 最 值 问 题 的 解 题 思 路(1)借 助 直 线 方 程，用 y 表 示 x 或 用 x 表 示 y.(2)将 问 题 转 化 成 关 于 x(或 y)的 函 数.(3)利 用 函 数 的 单 调 性 或 基 本 不 等 式 求 最 值.能 力 练 通 抓 应 用 体 盼 的“得”与“失”_1.考 点 一 倾 斜 角 为 135。，在 y 轴 上

21、的 截 距 为 一 1 的 直 线 方 程 是()A.x y+l=0 B.x j 1=0C.x+j-l=0 D.x+j+l=0解 析：选 D 直 线 的 斜 率 为 A=tan 135=1,所 以 直 线 方 程 为 j=-x 1,即 x+y+1=0.2.考 点 一 已 知 直 线/过 点(1,0),且 倾 斜 角 为 直 线 任 x-2 y-2=0 的 倾 斜 角 的 2 倍，则 直 线/的 方 程 为()A.4x3y3=0 B.3x4 j3=0C.3x4y4=0 D.4x3 j4=0解 析：选 D 由 题 意 可 设 直 线 况/的 倾 斜 角 分 别 为 a,2a,因 为 直 线/o：x

22、 2y2=0 的 斜 率 为：，则 ta n a=；,2 X-所 以 直 线 I的 斜 率 tan 2a=;2黑 号 一.=_=11-tanza J!,34所 以 由 点 斜 式 可 得 直 线/的 方 程 为 j-0=3(x-l),即 4 x-3 j-4=0.3.考 点 二 若 直 线。工+刀=曲(0,方 0)过 点(1,1),则 该 直 线 在 x 轴，y 轴 上 的 截 距 之 和 的 最 小 值 为()A.1 B.2 C.4 D.8解 析：选 C 直 线+切=而 3 0,。0)过 点(1,1),:.a+b=ab,即 1+)=1,a b.,.a+b=(a+/)g+?=2+，+注 2+2、

23、快=4,a b j a b当 且 仅 当 a=b=2 时 上 式 等 号 成 立.直 线 在 x 轴，y 轴 上 的 载 距 之 和 的 最 小 值 为 4.4.考 点 二 若 附 0,且 4 5,0),5(0),C(-2,-2)三 点 共 线，则 ab的 最 小 值 为.解 析：根 据 4 3,0),8(0,加 确 定 直 线 的 方 程 为+方=1,又 C(一 2,2)在 该 直 线 上，故 2 2:所 以-2(a+Z)=a瓦 又“方 0,故。0,6=一 4 时 取 等 号.即 就 的 最 小 值 为 16.答 案：165.考 点 一 ABC的 三 个 顶 点 分 别 为 A(3,0),5

24、(2,1),。(一 2,3),求：(1)8C边 所 在 直 线 的 方 程；(2)5C边 上 中 线 A D 所 在 直 线 的 方 程；(3)BC边 的 垂 直 平 分 线 D E 所 在 直 线 的 方 程.解：因 为 直 线 B C经 过 8(2,1)和 C(一 2,3)两 点，由 两 点 式 得 B C 的 方 程 为 V-三 1 二 x一 2,3 1 22即 x+2 j-4=0.(2)设 8 c 边 的 中 点。的 坐 标 为(x,j),2-2-1+3贝 I x=-2-=0,y=-2-=2 8 c 边 的 中 线 A O过 点 4(-3,0),0(0,2)两 点,由 栈 距 式 得

25、A D 所 在 直 线 的 方 程 为+;=1,即 2 x-3 j+6=0.(3)由 知，直 线 8 c 的 斜 率 A产 一：，则 B C 的 垂 直 平 分 线 D E 的 斜 率*2=2.由(2)知，点。的 坐 标 为(0,2).由 点 斜 式 得 直 线 D E 的 方 程 为 j-2=2(x-0),即 2 x-y+2=0.突 破 点(三)直 线 的 交 点、距 离 与 对 称 问 题 基 础 联 通 _抓 主 干 知 识 的“源”与“流”1.两 条 直 线 的 交 点 2.三 种 距 离 类 型 条 件 距 离 公 式 两 点 间 的 距 离 点 P1(X 1，刈)，尸 2(必，2)

26、之 间 的 距 离 PiP2=yl（X2x）2+（y2yi）2点 到 直 线 的 距 离 点 尸 o(xo,yo)到 直 线 It Ax+3+C=0 的 距 离 lAx（,+g j（）+C|yA2+B2两 平 行 直 线 间 的 距 离 两 条 平 行 线 A x+B j+C i=0与 AX+B J+C2=0 间 的 距 离 IC1-C2IyjA2+B2考 点 贯 通 抓 高 考 命 题 的“形”与“神”考 点 一 直 线 的 交 点 问 题 例 1(1)当 0cA4时，直 线 A：Axy=A-1与 直 线，2：Ayx=2我 的 交 点 在()A.第 一 象 限 C.第 三 象 限 B.第 二

27、 象 限 D.第 四 象 限 已 知 直 线/经 过 点 尸(3,1),且 被 两 条 平 行 直 线 A：x+y+l=0 和，2：x+y+6=0截 得的 线 段 长 为 5,则 直 线/的 方 程 为 kxy=k l9 k-rk 2k一 1 x=E。，尸 不 不。，故 直 线/i：kxy=A 1 与 直 线，2：kyx=2 A 的 交 点 在 第 二 象 限.(2)若 直 线/的 斜 率 不 存 在，则 直 线/的 方 程 为 x=3,此 时 与 A,，2的 交 点 分 别 为 A(3,-4),B(3,-9),截 得 的 线 段 A B 的 长|A|=|-4+9|=5,符 合 题 意.若 直

28、 线 I的 斜 率 存 在，则 设 直 线/的 方 程 为 y=A(x-3)+l.解 万.程 组 jx=+f ty(x+-3l)=+lO,得 C七 3k-行 2-H4*T-1；解 方 程 组，j=fc(x3)+1,x+y+6=0,(3k-2 3 k-7由 皿=5,得 号-4A-1 9k 1Jt+1+k+1P=52.解 得 4=0,即 所 求 的 直 线 方 程 为 y=l.综 上 可 知，所 求 直 线/的 方 程 为 x=3 或 y=l.答 案|(1)B(2)x=3 或 y=l 方 法 技 巧 I.两 直 线 交 点 的 求 法 求 两 直 线 的 交 点 坐 标，就 是 解 由 两 直 线

29、 方 程 联 立 组 成 的 方 程 组，得 到 的 方 程 组 的 解，即 交 点 的 坐 标.2.求 过 两 直 线 交 点 的 直 线 方 程 的 方 法 求 过 两 直 线 交 点 的 直 线 方 程，先 解 方 程 组 求 出 两 直 线 的 交 点 坐 标，再 结 合 其 他 条 件 写 出 直 线 方 程.也 可 借 助 直 线 系 方 程，利 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 方 程，这 样 能 简 化 解 题 过 程.考 点 二 距 离 问 题 例 2 若 P,Q 分 别 为 直 线 3 x+4 j-1 2=0 与 6 x+8 y+5=0上 任 意 一 点，则|尸 0

30、的 最 小 值 为()-2 9D.T(2)已 知 4(4,-3),B(2,一 1)和 直 线 I：4 x+3 y-2=0,若 在 坐 标 平 面 内 存 在 一 点 P,使|%|=|P 3|,且 点 尸 到 直 线/的 距 离 为 2,则 尸 点 坐 标 为.解 桐 4-8=3-6 12T所 以 两 直 线 平 行,将 直 线 3 x+4 j-1 2=0 化 为 6 x+8 y-2 4=0,由 题 意 可 知|PQ|的 最 小 值 为 这 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离,即 1 君 所 以 的 最 小 值 磕.(2)设 点 尸 的 坐 标 为(%b).VA(4,-3),B(2,-1),

31、线 段 4 5 的 中 点 M 的 坐 标 为(3,-2).,.*3+1而 4 B 的 斜 率 底 6=彳 与 线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 y+2=x3,即 x-j-5=0.,点 尸(a,b)在 直 线 x y 5=0 上，b5=0.又 点 P(a,b)到 直 线/:4*+3/2=0 的 距 离 为 2,|4a+3b2|_：.r=2,即 4。+3 6-2=1 0,yj42+32(2 7a=l,0=干 由 联 立 可 得 或。!?=节，所 求 点 尸 的 坐 标 为(1,4)或 停，一 方.答 案(1)C(2)(1,一 4)或 停，1)易 错 提 醒(1)点 P(xo,y

32、o)到 直 线 x=a 的 距 离 d=|xoa|,到 直 线 y=b 的 距 离/=伙 b|；(2)利 用 两 平 行 线 间 的 距 离 公 式 要 先 把 两 直 线 方 程 中 x,y 的 系 数 化 为 相 等.考 点 三 对 称 问 题 1.中 心 对 称 问 题 的 两 种 类 型 及 求 解 方 法(1)点 关 于 点 对 称：x=2axi,若 点 Af(xi,yi)及 N(x,y)关 于 P(a,)对 称，则 由 中 点 坐 标 公 式 得 彳 进 而 求 y=2byu解.(2)直 线 关 于 点 的 对 称，主 要 求 解 方 法 是：在 已 知 直 线 上 取 两 点，利

33、 用 中 点 坐 标 公 式 求 出 它 们 关 于 已 知 点 对 称 的 两 点 坐 标，再 由 两 点 式 求 出 直 线 方 程；求 出 一 个 对 称 点，再 利 用 两 对 称 直 线 平 行，由 点 斜 式 得 到 所 求 直 线 方 程.2.轴 对 称 问 题 的 两 种 类 型 及 求 解 方 法(1)点 关 于 直 线 的 对 称：若 两 点 P 1 3，%)与 P2(x2,%)关 于 直 线 Z：Ax+By+C=O 对 称，由 方 程 组 3)+中)+。=。，,八 可 得 到 点 P l关 于/对 称 的 点 P2的 坐 标(X2,y2)(其 中 8W 0,5 Y)=T，

34、1刈 X 1(2)直 线 关 于 直 线 的 对 称：若 直 线 与 对 称 轴 平 行，则 在 直 线 上 取 一 点，求 出 该 点 关 于 轴 的 对 称 点，然 后 用 点 斜 式 求 解.若 直 线 与 对 称 轴 相 交，则 先 求 出 交 点，然 后 再 取 直 线 上 一 点，求 该 点 关 于 轴 的 对 称 点，最 后 由 两 点 式 求 解.例 3 点 尸(3,2)关 于 点。(1,4)的 对 称 点 M 为()A.(1,6)B.(6,1)C.(1,一 6)D.(-1,6)(2)直 线 2 x-j+3=0 关 于 直 线 x-y+2=0 对 称 的 直 线 方 程 是()

35、A.x 2 y+3=0 B.x 2 j3=0C.x+2 j+l=0 D.x+2 j-l=0(3)已 知 入 射 光 线 经 过 点 M(-3,4),被 直 线/：x-j+3=0 反 射，反 射 光 线 经 过 点 M 2,6),则 反 射 光 线 所 在 直 线 的 方 程 为.3+x 解 析 设 M(x,y),则 4.2+y/；x=-1,y=6,(2)设 所 求 直 线 上 任 意 一 点 P(x,y),则 尸 关 于 x y+2=0 的 对 称 点 为 尸(xo,-r+xo y+yo由.2 212=0,得.X-xo=(y Jo),x0=y 2,y o=x+2,由 点 P(xo,yo)在 直

36、 线 2xy+3=0 上，.2(y-2)-(x+2)4-3=0,即 x-2 y+3=0.(3)设 点 M(3,4)关 于 直 线/:x-y+3=0 的 对 称 点 为 M a,b),则 反 射 光 线 所 在 直 线 过 点 M,b4-T=-1所 以-3+。力+4-2-2卜 3=0,解 得=1,b=0.又 反 射 光 线 经 过 点 N(2,6),所 以 所 求 直 线 的 方 程 为 曰=F 1,60 21即 6xy 6=0.答 案(1)D(2)A(3)6 x-j-6=o 方 法 技 巧 下 海 两 亲 如 丽 面 的 亲 键 点 解 决 中 心 对 称 问 题 的 关 键 在 于 运 用

37、中 点 坐 标 公 式，而 解 决 轴 对 称 问 题，一 般 是 转 化 为 求 对 称 点 的 问 题，在 求 对 称 点 时，关 键 是 抓 住 两 点：一 是 两 对 称 点 的 连 线 与 对 称 轴 垂 直；二 是 两 对 称 点 的 中 心 在 对 称 轴 上，即 抓 住“垂 直 平 分”，由“垂 直”列 出 一 个 方 程，由“平 分”列 出 一 个 方 程，联 立 求 解.能 力 练 通 抓 应 用 体 验 的“得”与“失”_1.考 点 三(2016东 城 期 末)如 果 平 面 直 角 坐 标 系 内 的 两 点 4 伍 一 1,a+1),B(a,a)关 于 直 线/对 称

38、，那 么 直 线/的 方 程 为()A.x-j+l=0 B.x+j+l=0C.x j 1=0 D.x+j 1=0解 析：选 A 因 为 直 线 A 3的 斜 率 为:二：=一 1,所 以 直 线/的 斜 率 为 1,设 直 线/的 方 程 为 y=x+),由 题 意 知 直 线/过 点 2,1),所 以 2=2“2 解 得 力=1,所 以 直 线 I的 方 程 为 j=x+l,即 x y+l=0.选 A.2.考 点 二 若 直 线 6 x 2 y+/n=0（/n0）与 直 线 L：3=0 之 间 的 距 离 是 琳，则 相+=（）A.0 B.1 C.-1 D.2解 析：选 A 丁 直 线，i：

39、x 2 y+6=0（m0）与 直 线，2：x+町-3=0 之 间 的 距 离 为，卜=一 2,/.1|/H+3|r-，=2,机=2（负 值 舍 去）.A/n4-72=0.hr=g3.考 点 一 已 知 定 点 A（l,0）,点 B 在 直 线 x y=0 上 运 动，当 线 段 A 3最 短 时，点 的 坐 标 是（）A 1）B.停,嗡 噌,嗡 D.停 啕 解 析：选 A 因 为 定 点 A（l,0）,点 5 在 直 线 x-y=0 上 运 动，所 以 当 线 段 4 3 最 短 时，直 线 A 3和 直 线 x y=0 垂 直，设 直 线 4 的 方 程 为 x+y+次=0,将 A 点 代

40、入，解 得“=一 1,所 以 直 线 A 5的 方 程 为 x+y 1=0,它 与 xy=0联 立 解 得 x=；,7=；,所 以 5 的 坐 标 4.考 点 三 若 机 0,n 0,点（一 2,）关 于 直 线 x+y 1=0 的 对 称 点 在 直 线 x y+2=0上，那 么 的 最 小 值 等 于-解 析：由 题 意 知（一 切，）关 于 直 线 x+y 1=0 的 对 称 点 为（1,1+帆）.则 1 一（1+2=0,即，+=2.于 是 5+，=品+，碌+，）=9（5+2+空）*X（5+2 X 2）号,2当 且 仅 当 in=y答 案：I4-35.考 点 一 经 过 两 直 线，i：

41、x2 y+4=0和 b：x+y 2=0 的 交 点 尸，且 与 直 线，3：3x4 y+5=0垂 直 的 直 线 I的 方 程 为.解 析:x 2 y+4=0,由 方 程 组 t x+j 2=0,|x=0,得=2 即 02).3 4LL/3,直 线，3的 斜 率 为 不 直 线/的 斜 率 抬=一,.直 线/的 方 程 为 y2=x,即 4 x+3 v-6=0.答 案：4x+3y-6=06.考 点 二 已 知 点 P(2,-1).(1)求 过 点 P 且 与 原 点 的 距 离 为 2 的 直 线 I的 方 程.(2)求 过 点 P 且 与 原 点 的 距 离 最 大 的 直 线/的 方 程，

42、最 大 距 离 是 多 少？(3)是 否 存 在 过 点 P 且 与 原 点 的 距 离 为 6 的 直 线？若 存 在，求 出 方 程；若 不 存 在，请 说 明 理 由.解：(1)过 点 尸 的 直 线/与 原 点 的 距 离 为 2,而 点 尸 的 坐 标 为(2,-1),显 然，过 尸(2,-1)且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 满 足 条 件，此 时/的 斜 率 不 存 在，其 方 程 为 x=2.若 斜 率 存 在，设/的 方 程 为 y+l=A;(x-2),即 kx-y-2kl=Q.由 已 知 得 一=2,解 得&=：3.此 时/的 方 程 为 3 x-4 j-1 0=0.综

43、上，可 得 直 线/的 方 程 为 x=2 或 3*4/-1 0=0.(2)作 图 可 得 过 点 尸 与 原 点。的 距 离 最 大 的 直 线 是 过 点 尸 且 与 尸。垂 直 的 直 线，如 图.由/_L O P,得 kik()p=l,因 为%=所 以 心=一 看=2.由 直 线 方 程 的 点 斜 式 得 y+l=2(x-2),即 2xy5=0.所 以 直 线 2工 一 了 一 5=0 是 过 点 P 且 与 原 点 O 的 距 离 最 大 的 直 线，最 大 距 离 为 胃=4 1(3)由(2)可 知，过 点 尸 不 存 在 到 原 点 的 距 离 超 过 小 的 直 线，因 此

44、不 存 在 过 点 尸 且 到 原 点 的 距 离 为 6 的 直 线.全 国 卷 5 年 真 题 集 中 演 练 明 规 律 1 _1.(2016全 国 甲 卷)圆 炉+炉 一 2x8 y+1 3=0的 圆 心 到 直 线 a x+y 1=0 的 距 离 为 1,则=()A.-T B.一 1 C m D.2解 析：选 A 因 为 圆/+产-2*8了+1 3=0的 圆 心 坐 标 为(1,4),所 以 圆 心 到 直 线 ax+y-1=0 的 距 离 d=|a+4-l|*2+141,解 得 a=j.2.(2013新 课 标 全 国 生 U)已 知 点 4(-1,0),5(1,0),C(0,l)

45、,直 线 y=ax+b(a0)将 A5C分 割 为 面 积 相 等 的 两 部 分，则 方 的 取 值 范 围 是()A.(0,1)C.Q-乎,1解 析：选 B 法 一：(1)当 直 线 y=a x+A 与 A8,8 c 相 交 时，如 图 所 示.易 求 得：xM=,=会?由 已 知 条 件 得：(1+)旺!M-U I u/U I J L力 2 b=1,.。=:二 7.:点 M 在 线 段。4 上，A-K 0,：.0b 0,(2)当 直 线 y=a x+b与 AC,5 c 相 交 时，如 图 所 示.设 MC=m,N C=n,则 SA,WGV=2/n n y.显 第 0nV又 0cm 也 且

46、 mW”.乎 也 且?#1.设 D 到 AC,B C的 距 离 为/DN t DM t t t DN,DM mn.1 1,1 1,一、t，则 而=诉，7=砺，一 而+7=赤+诉=1.=肝 7 7=获+品=京+%而 N.)=机+杀，小 也 且 m W l)的 值 域 为(2,邛 即 2!0 时，直 线 y=a x+万 与 x 轴 交 于 点 y=a x+b 十 1(一 0),结 合 图 形 知 权 噜 x(l+)=；,化 简 得(a+6)2=a(a+l),则 a=/.7/arl w/z 1-Z Oh1 I、历.,T F 0,解 得/彳.考 虑 极 限 位 置，即。=0,此 时 易 得 6=1一

47、1-,故 答 案 为 B.1-2,0 2-L1 课 时 达 标 检 测 1 重 点 保 分 课 时 一 练 小 题 夯 双 基，二 练 题 点 过 高 考 练 基 础 小 题 强 化 运 算 能 力 1.直 线 x+O y+l=0 的 倾 斜 角 是（）解 析：选 D 由 直 线 的 方 程 得 直 线 的 斜 率 为 A=一 等，设 倾 斜 角 为 a,则 tana所 以 a=r.02.若 方 程（2 1/+z3）x+（m2相）/4机+1=0表 示 一 条 直 线，则 参 数/九 满 足 的 条 件 是（）3A.m W 彳 B.mW0C.机#0 且 D.2m2+/n3=0,解 析：选 D 由

48、，解 得“7=1,故 机 工 1 时 方 程 表 示 一 条 直 线.M 旭=0,3.过 点（1,0）且 与 直 线 x-2 j-2=0 平 行 的 直 线 方 程 是（）A.X2 j1=0 B.x 2 y+l=0C.2 x+y-2=0 D.x+2 j-l=0解 析：选 A 依 题 意，设 所 求 的 直 线 方 程 为 x-2 y+a=0,由 于 点（1,0）在 所 求 直 线 上,则 1+=0,即 a=-1,则 所 求 的 直 线 方 程 为 X2 j1=0.4.已 知 直 线 3x+4y3=0 与 直 线 6 x+,町+1 4=0平 行，则 它 们 之 间 的 距 离 是（）17 17A

49、.-B C.8 D.210 5/一 4-6-3析 解 D选,：.m=8,直 线 6 x+8 y+1 4=0 可 化 为 3 x+4 y+7=0,两 平 行 线 之 间 的 距 离 d=432+42=2.5 若 三 条 直 线 y=2 x,x+y=3,m r+2 y+5=0相 交 于 同 一 点，则/的 值 为 解 析：由,得 所 以 点(1,2)满 足 方 程 m x+2 y+5=0,即/n X l+2 X 2x+y=3,y=2.+5=0,所 以 机=9.答 案：一 9【练 常 考 题 点 一 一 检 验 高 考 能 力 一、选 择 题 1.已 知 直 线/：a x+y 2a=0 在 x 轴

50、和 y 轴 上 的 截 距 相 等，则 a 的 值 是（)A.1C.一 2 或 一 1B.-1D.-2 或 1Q+2 Q+2解 析：选 D 由 题 意 可 知 aWO.当 x=0 时，y=a+2.当 j=0 时，x=故=+2,解 得=2 或 0=1.2.直 线 a x+勿+c=0 同 时 要 经 过 第 一、第 二、第 四 象 限，则 以 b,c 应 满 足（）A.。力 0,cVO B.a b 0,bc 0C.a V 0,反 0 D.a*0,bc 0,故 附 0,bc 0.3.两 直 线 一 5=.与?一 弓=4（其 中 a 是 不 为 零 的 常 数）的 图 象 可 能 是（）解 析：选 B