2023年山西省高考数学总复习：立体几何（附答案解析）.pdf

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1、2023年 山 西 省 高 考 数 学 总 复 习：立 体 几 何 1.如 图，在 直 四 棱 柱/B C D-/1 3 1 c b e 1中，底 面/8 C D 为 等 腰 梯 形，AB=CD,AA=AD=2BC,/M 8=6 0,M,N 分 别 为 小。，CZ)|的 中 点.(1)证 明：M N 平 面 4BCD；(2)求 直 线 M N与 平 面 M C C所 成 角 的 正 弦 值.第 1 页 共 1 1 5页2.如 图，在 四 棱 锥 S-48C。中，底 面 为 矩 形，S4。为 等 腰 直 角 三 角 形，SA=SD=2V2,A B=2,尸 是 8 c 的 中 点，二 面 角 S-

2、N。-B 的 大 小 等 于 120.(1)在 4。上 是 否 存 在 点 E,使 得 平 面 SEFL平 面 4 8 8,若 存 在，求 出 点 E 的 位 置;若 不 存 在，请 说 明 理 由；(2)求 直 线”与 平 面 S8C所 成 角 的 正 弦 值.第 2 页 共 1 1 5页3.如 图，三 棱 锥 E-8CD中，A E C D 为 正 三 角 形，平 面 ECD_L平 面 BCD,B C=D C=专 BD=2,M,N分 别 是 线 段 和 8。的 中 点.(I)求 点。到 平 面 B D E 的 距 离；(I I)求 直 线 EN与 平 面 MC8所 成 角 的 正 弦 值.第

3、 3 页 共 1 1 5页4.如 图，在 三 棱 柱/8 C-/1 8 1 C 1中，平 面/M C Ci_L平 面/8 C,Z U B C和 3/C 都 是 正 三 角 形，。是 4 5 的 中 点(1)求 证：8 c l 平 面/1D C；(2)求 直 线 与 平 面。C C i所 成 角 的 正 切 值.第 4 页 共 1 1 5页5.如 图，在 等 腰 直 角 三 角 形 中，已 知 N=*,AD=3,B,C 分 别 是 NP,。尸 上 的 点，E 是 C D 的 中 点，BC/AD.现 将 PBC沿 8C 折 起，使 得 点 P 在 平 面/8CO上 的 射 影 为 点 4(1)若

4、B,C 分 别 是/P、。尸 的 中 点，求 证：平 面 以 CJ_平 面 尸 CD(2)请 判 断 是 否 存 在 一 种 折 法，使 得 直 线 P B 与 平 面 A B C D 所 成 角 的 余 弦 值 是 直 线 PB与 平 面 以 E 所 成 角 的 正 弦 值 的?倍？若 存 在，求 出 的 长；若 不 存 在，请 说 明 理 由.第 5 页 共 1 1 5页6.在 直 三 棱 柱 NBC-小 与。中，NR4c=90，A C=A B=AA=2,设 点 Af,N,P 分 别 是 AB,BC,BC 的 中 点.(I)证 明：441 平 面 PMN；(I D 若。为/小 上 的 动

5、点，试 判 断 三 棱 锥 P-Q M N 的 体 积 是 否 为 定 值？并 说 明 理 由.第 6 页 共 1 1 5页17.在 多 面 体 N 8C C i48i 中，四 边 形 Z881 小 为 菱 形，BC/BC,BC=BC,ACAA,ABVBC,ZBBA=60,平 面 _L平 面/8C.(1)在 棱 N 8上 是 否 存 在 点。，使 得 平 面 B iO C?若 存 在，请 给 予 证 明；若 不 存 在,请 说 明 理 由.(2)求 二 面 角 Ci-4C-8 的 正 弦 值.第 7 页 共 1 1 5页8.在 四 棱 锥 P-/S C O 中，侧 面 为。，底 面 PA=AD

6、=D C=6,A C=6&,AB=3,CD 平 面 R48,ZPAD=60.(I)求 证：平 面 PC。，平 面 PBC；(II)求 二 面 角 P-B C-D 的 余 弦 值.第 8 页 共 1 1 5页9.如 图，已 知 四 棱 锥 S-48CD的 底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形，且 平 面 平 面/8CD,M,N 分 别 为 棱/。，8 c 的 中 点，SA=SD,SA LSD,P,。为 侧 棱 S O 上 的 三 等 分 点(点 尸 靠 近 点 S).(1)求 证：PN 平 面 MQC；(2)求 多 面 体 MPQCN 的 体 积.第 9 页 共 1 1 5页10.如 图，

7、四 边 形 M48c 中，48C是 等 腰 直 角 三 角 形，ACBC,4c是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，以 4C 为 折 痕，将 4c向 上 折 叠 到 D4C的 位 置，使 点。在 平 面 NBC 内 的 射 影 在 N 3 上，再 将 4c向 下 折 叠 到 瓦 4c的 位 置，使 平 面 平 面 Z8C,形 成 几 何 体 DABCE.(1)点/在 8c 上，若。尸 平 面 屈 4C,求 点 尸 的 位 置;(2)求 直 线 与 平 面 E8C所 成 角 的 余 弦 值.第 1 0 页 共 1 1 5页11.如 图，直 三 棱 柱 8CF-/H5中，。为 E”的 中 点，A

8、B=BF,BFLCF,A B=B F=C F=2.(I)求 证：AF工 B H；(II)求 平 面/O C 与 平 面 N 8 C 所 成 角 的 余 弦 值.第 1 1 页 共 1 1 5页12.在 如 图 所 示 的 几 何 体 中，四 边 形 是 菱 形，Z B A D=120,平 面/8C),AE/C F.(1)求 证：D F/平 面 4BE；(2)若 A D=A E=2 C F=2,求 该 几 何 体 的 表 面 积.第 1 2 页 共 1 1 5页13.如 图，在 四 棱 锥 P-/8C。中，以。是 等 边 三 角 形，平 面 平 面 底 面 N8CD 是 直 角 梯 形，AD/B

9、C,已 知 28c=4,N 砌。=60.(I)若 E 为 应 的 中 点，求 证：2E 平 面 PCD；(II)求 二 面 角 B-P C-D 的 正 弦 值.第 1 3 页 共 1 1 5页14.已 知 在 平 行 四 边 形/BC D 中，AD=2,AB=V3,AADC=o如 图，D E/C F,且 DE=3,CF=4,ZDCF=J,且 平 面 48co_L平 面 CZMF.(I)求 证：/C_L平 面 CDEF；(II)求 二 面 角 D-A E-C 的 余 弦 值.第 1 4 页 共 115页15.如 图，已 知 四 棱 锥 P-/8C。中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2PC

10、=2,PD=V3,N4DC=60.(1)求 证：8尸 _LCD；(2)若 8P=V L 求 直 线 P C 与 平 面 RIO所 成 角 的 正 弦 值.第 1 5 页 共 1 1 5页16.如 图，在 四 棱 锥 P-A B C D 中，以。是 等 边 三 角 形，平 面 以 _!_平 面 A B C D,底 面/BCQ 是 直 角 梯 形，AD/BC,已 知 4=2BC=4,/比 10=60.(I)若 E 为 R1的 中 点，求 证：平 面 PCD；(II)求 四 棱 锥 P-A B C D 的 体 积.第 1 6 页 共 1 1 5页17.如 图，在 直 三 棱 柱/8C-m BiCi中

11、，AB=BC=AAi,A B L B C,。为 的 中 点，E 为 B C 上 一 点,满 足 CE=2砧.(1)求 证：4 C 平 面 8 O E；(2)求 二 面 角 Bi-AC-C的 余 弦 值.第 1 7 页 共 1 1 5页1 8.已 知 在 平 行 四 边 形/B C D 中，AD=2,AB=V3,AADC=如 图，D E/C F,且 DEo=3,CF=4,ZDCF=J,且 平 面 4 8 c o _L平 面 CZMF.(I)求 证：/C_L平 面 CDEF；(II)求 四 棱 锥 F-ABCD的 体 积.第 1 8 页 共 115页19.如 图 所 示，在 四 棱 锥 E-4 8

12、 8 中，四 边 形 48CZ)是 直 角 梯 形，/8=/E=8C=%D=l,BC/AD,ABCD,ZBAD=90a,N 为。E 的 中 点.(1)求 证：NC 平 面 以 8；(2)求 二 面 角 4-CN-。的 余 弦 值.第 1 9 页 共 1 1 5页20.如 图，在 多 面 体/BCOEZ：中，四 边 形 48C。、四 边 形/C7芯 均 为 菱 形，Z B A D=Z E A C=120.(1)求 证：平 面 2D凡 L平 面 4CFE；(2)若 B E=D E,求 二 面 角 C-8尸-E 的 余 弦 值.第 2 0 页 共 1 1 5页2 1.如 图 所 示，在 三 棱 锥/

13、BCD 中，A B=B C=B D=2,A D=2/C B A=N C B D=,点、E,尸 分 别 为 8。的 中 点.(I)求 证：平 面 NCD_L平 面 5CE；(II)求 四 面 体 CD EF的 体 积.第 2 1 页 共 1 1 5页2 2.如 图，在 棱 长 为 3 的 正 方 体 中，过 顶 点 功 作 平 面 a 交 力 由 于 E 点，交 B B i于 F 点,使 得 Z lE=l,B F=.(I)求 证：NC 平 面 a；(I I)求 点。到 平 面 a 的 距 离.第 2 2 页 共 1 1 5页23.已 知/8C,AB=BC,ZCBA=60,沿 着 边 C8 把 4

14、8C进 行 翻 折，使 平 面 Z8C与 平 面。B C 垂 直，O8C可 由 43C翻 折 得 到.回 答 下 列 问 题.(I)直 线 N C 与 平 面 48。所 成 角 的 余 弦 值；(II)二 面 角 A-B D-C 的 余 弦 值.第 2 3 页 共 1 1 5页24.如 图，四 棱 锥 尸-/8 C O,底 面 四 边 形/8 C。为 梯 形，且 满 足 4 0=1,AB=CD=3,BC=4 且 NQ 8C,POJ_底 面 NBCD 设 平 面 以 D 与 平 面 P 8C的 交 线 为/.(I)求/与 平 面 P 0 C所 成 的 角；(I I)已 知 P D=1,求 平 面

15、 处 8 与 平 面 P 0C所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值.第 2 4 页 共 1 1 5页2 5.如 图，在 三 棱 台/8 C-4 B C 中，已 知 平 面 彳 8夕 A，平 面/8 C,AC1.BC,ZC B A=，四 边 形 4 8 8 A 是 等 腰 梯 形，AB=2A B=2 8 8,E,尸 分 别 为 A6C 的 中 点.(1)求 证：EFVAC-,(2)求 直 线 E/与 平 面/C C A 所 成 角 的 正 弦 值.第 2 5 页 共 1 1 5页26.如 图，48C为 正 三 角 形，半 圆。以 线 段 8c 为 直 径，。是 船 上 的 动 点(不 包

16、括 点 8,C),平 面/BC_L平 面 BCD(1)是 否 存 在 点。，使 得 B D L 4 C?若 存 在，求 出 点。的 位 置：若 不 存 在，请 说 明 理 由.(2)若 NCBD=30,求 二 面 角 0-4。-C 的 余 弦 值.第 2 6 页 共 1 1 5页27.如 图，/8C是 正 三 角 形，D,E,厂 分 别 是 线 段 Z8,BC,N C 的 中 点，现 将 尸 和 CE尸 分 别 沿 着。F,EF折 起，使 得/,C 两 点 在 P 点 重 合，得 到 四 棱 锥 P-BEFD.(1)证 明：平 面 尸 8尺 L平 面 8EFZ)；(2)设 正 三 角 形/8C

17、的 边 长 为 4,求 三 棱 锥 尸-P8E的 体 积.第 2 7 页 共 1 1 5页28.如 图，在 四 棱 锥 P-4 8 C D中，底 面 4 8 8 为 正 方 形，为 等 边 三 角 形，平 面 必。_L平 面 PCD.(I)证 明：直 线 CD_L平 面 为。；(I I)若 A B=2,。为 线 段 尸 8 的 中 点，求 三 棱 锥。-P 8 的 体 积.第 2 8 页 共 1 1 5页29.如 图，在 四 棱 锥 P-/8CD 中，/8C,ADA.AB,并 且 8c=2/。=2/8=2,PM=点 P 在 平 面 内 的 投 影 恰 为 B D 的 中 点 M.(I)证 明：

18、8尸 平 面 尸 C D；(II)求 点 A 到 平 面 P C D 的 距 离.第 29页 共 115页3 0.如 图，在 四 棱 锥 P-/B C D 中，已 知%J_平 面 C),且 四 边 形 4 8 8 为 直 角 梯 形，ZABC=NBAD=,AD=2,A B=B C.(1)当 四 棱 锥 尸-Z8C 的 体 积 为 1时，求 异 面 直 线 N C与 尸。所 成 角 的 大 小;(2)求 证：CDJ_平 面 以 C.第 3 0 页 共 1 1 5页31.如 图 所 示，在 三 棱 锥 4-8 8 中，AB=BC=BD=2,AD=2 痘,NCBA=NCBD=,点、E,尸 分 别 为

19、/,8 0 的 中 点.(I)求 证：EF 平 面/8C；(II)求 平 面 8CE与 平 面/CF所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值.第 3 1 页 共 1 1 5页32.如 图，在 四 棱 锥 P-48C。中，AD/BC,AD1.AB,并 且 8c=2/。=2/8,点。在 平 面 A B C D 内 的 投 影 恰 为 B D 的 中 点 M.(I)证 明：C0_L平 面 尸 8Z)；(II)若 P M=A D,求 直 线 以 与 8 所 成 角 的 余 弦 值.第 3 2 页 共 1 1 5页33.如 图，在 三 棱 锥 P-/8C 中，底 面 Z5C,4BC是 边 长 为 2 的

20、正 三 角 形，侧 棱 P871与 底 面 所 成 的 角 为 4(1)求 三 棱 锥 P-A B C 的 体 积 V-,(2)若。为 尸 8 的 中 点，求 异 面 直 线 Rf与 C。所 成 角 的 大 小.笫 3 3 页 共 1 1 5页3 4.如 图 1,在 三 棱 柱/8 C-4 囱。中，已 知 NB_L4C,AB=AC=,AA=2,且 441，平 面/8 C,过 小，。，8 三 点 作 平 面 截 此 三 棱 柱，截 得 一 个 三 棱 锥 和 一 个 四 棱 锥（如 图 2）.（1）求 异 面 直 线 8。与 Z/i所 成 角 的 大 小（结 果 用 反 三 角 函 数 表 示）

21、；（2）求 四 棱 锥 8-/C C M i的 体 积 和 表 面 积.第 3 4 页 共 1 1 5页35.如 图，在 矩 形/8C。中，将 ICO沿 对 角 线 4 c 折 起，使 点。到 达 点 E 的 位 置，且 4E工 BE.(1)求 证：平 面，平 面/8C；(2)若 8c=3,三 棱 锥 8-4EC的 体 积 为 S，求 点 E 到 平 面/8C的 距 离.第 3 5 页 共 1 1 5页36.如 图，在 直 三 棱 柱 NBC-NiBi。中，NBC是 正 三 角 形，点。在 棱 881上，且 881=381。，点 王 为 81cl的 中 点.(1)证 明:平 面 4 LDEJ_

22、平 面 BCCjBi；(2)若 B8i=3&,A B=2,求 点 C 到 平 面 4 D E 的 距 离.第 3 6 页 共 1 1 5页3 7.如 图 所 示，在 直 三 棱 柱 4 B C-小 B i。中，底 面 是 等 腰 直 角 三 角 形，ZACB=90,CA=C B=C C i=2.点。，O i分 别 是 棱 AC,4 c l的 中 点.(1)求 证：D,B,Bi，四 点 共 面；(2)求 直 线 BC与 平 面 DBBD所 成 角 的 大 小.第 3 7 页 共 1 1 5页38.如 图，在 四 棱 锥 S-A B C D 中，底 面 A B C D 是 等 腰 梯 形,4 8

23、8,8=2/8=4,/。=V5,SC)是 等 腰 直 角 三 角 形，SC=SD,SA=3.(I)证 明：平 面 SCQ_L平 面 48CZ)：(II)若 平 面 SAD与 平 面 SCB的 交 线 为 I,求 二 面 角 C-I-D 的 余 弦 值.第 3 8 页 共 1 1 5页39.如 图，在 矩 形/8CO中，将 4C。沿 对 角 线/C 折 起，使 点。到 达 点 E 的 位 置，且 4EVBE.(1)求 证：平 面 平 面”C；(2)若 EB=小,三 棱 锥 8-NEC的 体 积 为 学，求 二 面 角 E-4C-8 的 余 弦 值.第 3 9 页 共 1 1 5页40.如 图，在

24、 三 棱 柱 中，P,。分 别 是 4 4，C B 上 一 点,且 NP=2刈 i，CQ=208.(1)证 明：/0 平 面 CPBi；(2)若 三 棱 柱/8C-/181cl为 直 三 棱 柱，且 N4=3,BCBA=V15,/C=2百，求 点 B 到 平 面 CPBi的 距 离.笫 4 0 页 共 1 1 5页41.如 图，在 四 棱 锥 P-/8 C。中，底 面 Z 8 C D是 正 方 形，AB=2,平 面 18C。，PB与 底 面/B C D 所 成 的 角 为 45,过 4。的 平 面 分 别 与 PB,P C交 于 点 E,F.(I)求 证：EFVDC-,第 4 1 页 共 1

25、1 5页4 2.在 四 棱 柱 中，四 边 形 是 平 行 四 边 形，AA=AC=,Z A B C=30,B C=2,平 面 平 面/BCD,M,N 分 别 为 小 C,的 中 点.(I)求 证：肱 V 平 面 4 8 C i；(II)若 c o s/4 C 8=4，求 二 面 角 C-M V-。的 余 弦 值.4第 4 2 页 共 1 1 5页4 3.如 图 所 示，三 棱 柱 N B C-小 8 c l 中，平 面 ZCCim _L平 面/8 C,A A L A C,A A i=4 B=BC=2,D,i 分 别 为/C,4。的 中 点，且/3/C=3 0.(I)求 证：D D IB C；

26、(II)求 二 面 角 B-D A-C i的 余 弦 值.笫 4 3 页 共 1 1 5页44.如 图，四 棱 锥 尸-/8 C。的 底 面 为 正 方 形，PC=PA=P D=5AD.E,尸 分 别 是 以,的 中 点.(I)证 明：平 面 尸 C C；(II)求 二 面 角 A-C E-F 的 余 弦 值.第 4 4 页 共 115页45.如 图，在 四 棱 锥 P-48CD中，等 边 三 角 形 以。所 在 平 面 与 梯 形 48c。所 在 平 面 垂 直,且 CD/AB,AD=BD=2,DC=AB=VL 点 G 为 以。的 重 心，AC 与 BD 交 于 点 M.(1)求 证：G M

27、 平 面 PCD；(2)求 点 C 到 平 面 尸 8。的 距 离.第 4 5 页 共 1 1 5页46.如 图，直 三 棱 柱 4向 Ci-N8C中，A B=A C=1,48力。=今，a=4,点/为 线 段 小 4的 中 点.（1）求 直 三 棱 柱 小 囱 Ci-N8C的 体 积；（2）求 异 面 直 线 8/与 81cl所 成 的 角 的 大 小.（结 果 用 反 三 角 表 示）第 4 6 页 共 1 1 5页47.如 图，己 知 直 角 梯 形/BCD,BC/AD,BC=CD=2,AD=4,N BCD=90,点、E 为 的 中 点，现 将 三 角 形 力 8 E 沿 8 E 折 叠，

28、得 到 四 棱 锥 H-8 C Q E,其 中 NHE=120,点、M 为 AD的 中 点.(1)求 证：4 8 平 面 E M C：(2)若 点 N 为 8 c 的 中 点，求 四 面 体 4A/NB的 体 积.第 4 7 页 共 1 1 5页48.如 图，在 三 棱 锥 尸-48C中，48C为 正 三 角 形，点。，E 分 别 为/C,我 的 中 点，其 中 刃=PB=4或，PC=AC=4.(1)证 明：平 面 以 出，平 面 Z8C；V6(2)若 点 F 是 线 段 A C 上 异 于 点 D 的 一 点，直 线 A E 与 平 面 B EF所 成 角 的 正 弦 值 为 二，4Ap求:

29、7的 值.第 4 8 页 共 1 1 5页4 9.如 图，在 四 棱 锥 P-18。中，四 边 形/8 C。是 梯 形，AB/CD,A B V B C,且 以=尸。=BC=CD=1,AB=2,PC=y/3.(1)证 明：8。，平 面 必。：(2)求 直 线 与 平 面 P8C所 成 角 的 正 弦 值.第 4 9 页 共 1 1 5页5 0.在 四 棱 锥 P-4 5 C。中，P A=P C=2,底 面/8CO 是 菱 形，A B=2 ZABC=6Q.(I)求 证：A C U B；(II)求 四 棱 锥 P-ABCD的 体 积.第 5 0 页 共 1 1 5页2023年 山 西 省 高 考 数

30、 学 总 复 习：立 体 几 何 参 考 答 案 与 试 题 解 析 1.如 图，在 直 四 棱 柱/8CZ)-/i8iCbDi中，底 面 NBCZ)为 等 腰 梯 形，AB=CD,AAi=4D=2BC,/。/8=60,M,N 分 别 为 小。，CDi 的 中 点.(1)证 明：M N 平 面 48CD；(2)求 直 线 M N 与 平 面 C D 所 成 角 的 正 弦 值.【解 答】解：(1)证 明：连 接 4)i，AC,由 题 意 知 侧 面 小 是 正 方 形，为 小。的 中 点，为 4 5 的 中 点,N 为 CDi 的 中 点,；.MN/AC,V ABCD,/Cu平 面 力 88,

31、：.MN/nABCD.(2)过 点 8 作 08 于 点 O,过 点。作 OE/4，交 小。1于 点 E,则。E_L 平 面/8C),OELAD,OEA,OB,以。为 原 点，OB,OD,OE 所 在 直 线 分 别 为 x,y,z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图，设 44i=4D=28C=4,则/1(0,-1,4),C(V3,2,0),D(0,3,0),D(0,3,4),V3 5则 M(0,1,2),N(,2),2 2T V3 3 T T：.MN=(，0),MC=(V3,1,-2),MD=(0,2,-2),2 2设 平 面 M C D 的 法 向 量 为 薪=(a,b,c),则

32、 丝？=B a+b 2c=0,取 c=i,得 益=(，i,1)是 平 面 C O 的 一 个 法 向-m=2b-2c=0 3量,第 5 1 页 共 1 1 5页设 直 线 M N 与 平 面 M C D 所 成 角 为 0,则 sin8=品 丽 _ 2V7-7 直 线 M N 与 平 面 M C D 所 成 角 的 正 弦 值 为 斗.2.如 图，在 四 棱 锥 S-N 8 C D 中，底 面/5C。为 矩 形，为 等 腰 直 角 三 角 形，SA=SD=2近，A B=2,尸 是 8 c 的 中 点，二 面 角 S-/。-8 的 大 小 等 于 120.（1）在 上 是 否 存 在 点 E,使

33、 得 平 面 SEF，平 面/8 C D,若 存 在，求 出 点 E 的 位 置；若 不 存 在，请 说 明 理 由；（2）求 直 线”与 平 面 S8C所 成 角 的 正 弦 值.【解 答】解：（1）在 线 段 X。上 存 在 点 E 满 足 题 意，且 为/。的 中 点.如 图，连 接 W,SE,SF,；四 边 形 4 8 C D 是 矩 形，又 E、F 分 别 是 8 c 的 中 点，：.EF/AB,ADYEF,第 5 2 页 共 1 1 5页.S/O 为 等 腰 直 角 三 角 形，SA=SD,E 为 的 中 点,：.SEAD,；SEClEF=E,SE、EFu平 面 SE/，；.ZO_

34、L平 面 SEF,.【O u平 面/8 C D,平 面$7口 _平 面 48CD,故 A D 上 存 在 中 点 E,使 得 平 面 S E F,平 面 ABCD.2久+3y V3z=02x+3y V3z=0(2)由(1)知，SE1AD,EFL4D,.2577为 二 面 角 5-/。-8 的 平 面 角，即/S E产=120.以 E 为 原 点，EA、E/所 在 的 直 线 分 别 为 x、y 轴，作 Ez_L平 面/8 C D,建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，在 等 腰 R tZ S4)中，SASD=2A/2,：.AD=4,SE=2,：.S(0,-1,V3),A(2,

35、0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),：.SA=(2,I,-V 3),SB=(2,3,一 6),SC=(-2,3,-V 3),设 平 面 SBC的 法 向 量 为 1=(x,y,z),贝 1“丁 回=,即 丘 SC=0令 y=l,则 x=0,z=V3,：.n=(0,1,V3),设 直 线 SA与 平 面 SBC所 成 角 为 9,T 则 e sin0=|cos|=|SAn=|r,1,-3,J27 y 9l=/，|S/4|-|n|V4+1+3X2 4y2故 直 线 SA与 平 面 5 8 c所 成 角 的 正 弦 值 为 匚.43.如 图，三 棱 锥 E-8 8 中，EC。为 正 三

36、角 形，平 面 EC。，平 面 8C。，B C=D C=-BD=2,M,N分 别 是 线 段 和 8。的 中 点.(I)求 点 C 到 平 面 B D E 的 距 离；(I I)求 直 线 EN与 平 面 MC8所 成 角 的 正 弦 值.第 5 3 页 共 1 1 5页【解 答】解：（I）；平 面 ECD_L平 面 8CD,且 ECC为 正 三 角 形，CD=2,点 E 到 平 面 B C D 的 距 离 为 百，：8C=）C=8D=2,.88 是 等 腰 直 角 三 角 形，1:S BCD=咿 C DC=2.在 中，BE=BD=2V2,DE=2,*SBDE=2 x2x V7 二 夕.设 C

37、 到 平 面 的 距 离 为，VE BCD=VC BDEx y/3 x2=i xdx V7,解 得 d=3 3 72x/21故 点 C 到 平 面 B D E 的 距 离 为 一（II）以 C 为 原 点，C D、C8 所 在 的 直 线 分 别 为 x、歹 轴，作 Cz,平 面 5 8,建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系,3 V3/_则 8(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(1,0,),E(1,0,V3),N(1,2 21,0),：.EN=(0,L T 3 V3 1,-V3),CM=(-,0,),CB=(0,2 22,0),设 平 面 A C 的 法

38、向 量 为=（x,yfz),则？5=0,BP 2X+Tz=o镇.CB=0 2y=0令 x=l,则 y=0,z=-V3,An(1,0,-V3),设 直 线 E N 与 平 面 M B C 所 成 角 为 0,第 54页 共 115页r,-EN-n 3 3贝 I sin。=|cos V E N,n|=|1=亍 75=1，EN-n zxz 43故 直 线 E N 与 平 面 M B C 所 成 角 的 正 弦 值 为 一.44.如 图，在 三 棱 柱/8C-4181C 1中，平 面/i/C C i_ L平 面/8 C,ZBC和 3/C 都 是 正 三 角 形，。是 N 8的 中 点(1)求 证：5

39、c l 平 面 4 LDC；(2)求 直 线 N 8与 平 面 DC。所 成 角 的 正 切 值.【解 答】(1)证 明：连 接 交 Z C 于 E,连 接 DE,.四 边 形 小 4CC1是 平 行 四 边 形，二 是/C 的 中 点，。是 Z8 的 中 点，：.DE/BC,.,。瓦:平 面 4。(?，8 c le平 面/13C,平 面 41QC.(2)解：取 N C的 中 点。，连 接 小。，BO,.Z8C 和 小 ZC 都 是 正 三 角 形，：.AOLAC,BOA.AC,:平 面 AiACCil.平 面 A B C,平 面 AiACCiH 平 面 ABC=AC,；.NiO_L平 面/B

40、 C,：.AOVBO,第 5 5 页 共 1 1 5页以。为 原 点，OB、OC,0 4 所 在 直 线 分 别 为 x、y、z 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系,l V 3 1设 4。=2,则 4(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(,一 卷，0),Ci(0,2 22,V3),T/T V3 3 T J3 5 B=(V3,1,0),CD=(,5，0),DC1=(一,曲),2 2 2 2设 平 面 Q C G 的 法 向 量 为 蓝=p-(2=0(x,y,z),则 二(2=,即 三；一 1：一，n,DC1=0-%+利+V3z=0令 x=3,则 y=

41、V 5,z=-1,：.n=(3,V3,-1),-t XR tT l 3y33设 直 线 4 8 与 平 面 D CC所 成 的 角 为。，则 sin0=|cos=|=|/|=|/1B|n|2x49+3+12/3TH，tan0=2V3,故 直 线 A B与 平 面 D C C i所 成 角 的 正 切 值 为 2国.5.如 图，在 等 腰 直 角 三 角 形 中，已 知 4=冬 4)=3,B,C 分 别 是 NP,O P上 的 点，E 是 C。的 中 点，.B C/A D.现 将 P 8 C沿 8 C 折 起，使 得 点 P 在 平 面/8 C O 上 的 射 影(1)若 B,C 分 别 是/P

42、、D P的 中 点，求 证：平 面 RiC_L平 面 尸 C D(2)请 判 断 是 否 存 在 一 种 折 法，使 得 直 线 P B与 平 面 A B C D所 成 角 的 余 弦 值 是 直 线 PB与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 的 等 倍？若 存 在，求 出 4 8 的 长；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【解 答】(1)证 明：二 点 P 在 平 面/8 C C 上 的 射 影 为 点 力,；.以 _L平 面；CZ)u平 面 N8CD,：.R 41C D,/等 腰 心/尸，且 C 为。P 的 中 点，J.ACVCD,第 5 6 页 共 1 1 5页,：PACAC=A,P

43、A,J C c T ffi PAC,.CZ_L平 面 RIC,又 CZ)u平 面 P C Q,平 面 为 C_L平 面 PC DN A B P 为 直 线 P B 与 平 面 A B C D 所 成 的 角，设 其 大 小 为 a,则 cosa=磊 过 点 8 作 交 A E 于 点 M,连 接 PM,平 面 N 8 8,J.PALBM,AEQPA=A,AE、%u 平 面 以 E,平 面 PAE,.N8PA/为 直 线 P 8与 平 面 R IE所 成 的 角，设 其 大 小 为 仇 则 sin 0=%，V 直 线 P B 与 平 面 N8CD所 成 角 的 余 弦 值 是 直 线 P B 与

44、 平 面 为 E所 成 角 的 正 弦 值 的；.cosa=#s in B，B|J AB=设(0 f 3),贝 18加=盒/,D E=*D=P D=冬,设 乙/=N D 4 E=。，倍,在 NO E中，由 正 弦 定 理 知,DE ADsinZ.DAE sinz.AED.2sind3s i n(-0),4得 sin0=7-rcos0,Vsin20+cos20=l,且(0,),2J2t2-12t+36：.BM=1 t g o,J2t2-i2t+36又 B M=第 5 7 页 共 1 1 5页：（6二）=2,化 简 整 理 得，2尸+3=0,解 得/=1 或 一，（舍 负），V2t2-1 2 t+

45、3 6 V26 2故 当/8=1 时，直 线 P 8 与 平 面 4 8。所 成 角 的 余 弦 值 是 直 线 P 8 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 的、V2-6倍.6.在 直 三 棱 柱 NBC-小 2 1 c l中，N A 4 c=90,AC=4 B=4 A i=2,设 点 M,N,尸 分 别 是 AB,BC,5 iCi 的 中 点.（I）证 明：4 4 平 面 PMM（I D 若。为 4 4 1上 的 动 点，试 判 断 三 棱 锥 P-0 M N 的 体 积 是 否 为 定 值？并 说 明 理 由.【解 答】（I）证 明：；点 M,N,尸 分 别 是 BC,8 1 c l的

46、 中 点，.PN CC”又*4 CCi，：.AA/PN,.441C平 面 PA/N,PMz平 面 尸 MV,.小 平 面 P M N；（II）解：如 图，连 接 4N,AP,根 据 等 体 积 法 可 知，Vp-QMN=VQ-PMN由（I）可 知，441 平 面 尸 AW,又。为 力 4 上 的 动 点，嚏.PMN=V A-PMN=Vp-AMN，_ 1 _ 1SAA M N=2 X 1 X 1=2，1 1 1即 Vp-QMN=VQ-PMN=V A-PMN=Vp-AMN=X 2 X 2=3,1 若。为 4小 上 的 动 点，则 三 棱 锥 尸-QVW的 体 积 定 值 3第 5 8 页 共 1

47、1 5页17.在 多 面 体 48CCM81 中，四 边 形 Z881 小 为 菱 形，BC/BC,BC=BC,ACAA,ABLBiC,ZBBA=60,平 面 N881/1 _L平 面 43c.（1）在 棱 上 是 否 存 在 点 O,使 得/8_L平 面 以 O C?若 存 在，请 给 予 证 明：若 不 存 在,请 说 明 理 由.（2）求 二 面 角 Ci-4C-8 的 正 弦 值.【解 答】解：（1）在 棱 45 上 存 在 点。（O 为 棱 的 中 点），使 得 平 面 810c.理 由 如 下：连 接/以，.四 边 形 工 88弘 1为 菱 形，且/518/=60,./8由 是 等

48、 边 三 角 形，又。为）8 的 中 点，.5iO_L4B,：ABVBC,BiOCBiC=Bi，8 Q u 平 面 8QC,8iCu平 面：.A B m BiOC.（2）由（1）知，/8L 平 面 8iOC,：.ABLOC,又 平 面“5813_1_平 面 A B C,平 面 1!平 面 ABC=AB,，OC_L平 面/881 3，OCLBO,以。为 坐 标 原 点，OB,0 C,。囱 所 在 直 线 为 x,y,z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，取 81cl的 中 点 E,连 接 NiE.C E,由 题 意 知 几 何 体 是 三 棱 柱，取“向 中 点。，连 接。E,则。C“E*&

49、Ci，第 5 9 页 共 1 1 5页设/1=2,则 0(0,0,0),/(-1,0,0),C(0,1,0),Bi(0,0,6)，A(-2,0,V3),，。心=通+B工 1+4”=丽+2OA+2OC=(0,0,V3)+2(-1,0,0)+2(0,1,0)=(-2,2,V3),：.Ci(-2,2,V3),4C=(1,1,0),ACr=(-1,2,遮)，设 平 面 NCCi的 法 向 量 771=(x,y,z),则 E,汇=+y=,取 X=,得/(1,7,V3),m 4cl=%+2y+V3z=0平 面 48 c 的 一 个 法 向 量=(0,0,1),设 二 面 角 Ci-AC-B 的 平 面 角

50、 为 0,则“S B 黯 嗯，sing Vio5-一 一，Vio二 二 面 角 Ci-4C-B 的 正 弦 值 为 每 一.8.在 四 棱 锥 尸-N8CQ 中，侧 面 底 面 N8CD,P4=AD=DC=6,AC=60,AB=3,8 平 面 以 8,乙 以。=60.(I)求 证：平 面 尸 8 J _ 平 面 P8C；(II)求 二 面 角 P-B C-D 的 余 弦 值.笫 6 0 页 共 1 1 5页p【解 答】解：(I)证 明：AD=DC=6,A C=6 a,：.AD1+DC1=AC1,：.ADDC,;侧 面 底 面 A B C D,侧 面 为。n 底 面 ABCD=AD,.,.8 _