2023年高考总复习高三数学大一轮复习资料.pdf

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1、2023斗 方 考 总 要 引 龙 三 核 号 之 一 裕 复 可 精 品 资 科（卷 激）第 27讲 解 三 角 形 一.【课 标 要 求】（1）通 过 对 任 意 三 角 形 边 长 和 角 度 关 系 的 探 索，掌 握 正 弦 定 理、余 弦 定 理，并 能 解 决 一 些 简 单 的 三 角 形 度 量 问 题；（2）能 够 运 用 正 弦 定 理、余 弦 定 理 等 知 识 和 方 法 解 决 一 些 与 测 量 和 几 何 计 算 有 关 的 实 际 问 题。二.【命 题 走 向】对 本 讲 内 容 的 考 察 主 要 涉 及 三 角 形 的 边 角 转 化、三 角 形 形 状

2、的 判 断、三 角 形 内 三 角 函 数 的 求 值 以 及 三 角 恒 等 式 的 证 明 问 题，立 体 几 何 体 的 空 间 角 以 及 解 析 几 何 中 的 有 关 角 等 问 题。今 后 高 考 的 命 题 会 以 正 弦 定 理、余 弦 定 理 为 知 识 框 架，以 三 角 形 为 主 要 依 托，结 合 实 际 应 用 问 题 考 察 正 弦 定 理、余 弦 定 理 及 应 用。题 型 一 般 为 选 择 题、填 空 题，也 可 能 是 中、难 度 的 解 答 题 三.【要 点 精 讲】1.直 角 三 角 形 中 各 元 素 间 的 关 系：如 图，在 A8C 中，C=9

3、0,AB=A C=b,B C=ao（1）三 边 之 间 的 关 系：a2+b2=c20（勾 股 定 理）（2）锐 角 之 间 的 关 系：4+8=90；（3）边 角 之 间 的 关 系：（锐 角 三 角 函 数 定 义）sin八/4=cos门 B=。,cosAA=s.rcB=-b,4ta n/A=a oc c b2.斜 三 角 形 中 各 元 素 间 的 关 系：如 图 6-2 9,在 A B C中，4 8、C 为 其 内 角，a、b、c 分 别 表 示 小 8、C 的 对 边。（1）三 角 形 内 角 和：A+B+C=万。（2）正 弦 定 理：在 一 个 三 角 形 中，各 边 和 它 所

4、对 角 的 正 弦 的 比 相 等,sin A sin B sinC（R 为 外 接 圆 半 径）（3）余 弦 定 理：三 角 形 任 何 一 边 的 平 方 等 于 其 他 两 边 平 方 的 和 减 去 这 两 边 与 它 们 夹 角 的 余 弦 的 积 的 两 倍。a2=b2-c2 2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosCo3.三 角 形 的 面 积 公 式：A=Laha=Lbhb=Lchc（ha、hb、儿 分 别 表 示 a、b、c 上 的 IW J)；(2)(3)(4)(5)(6)(7)=-absinC=-bcsin/=-acsinB；2 2

5、 2 _ a2 sin Bsin C _ b2 sin Csin A _ c2 sin Asin B2sin(6+C)2sin(C+A)2sin(A+B)=2R2sinZlsinesinCo(R 为 外 接 圆 半 径)=组 4R=Js(s-a)(s-b)(s-c);(s=g(a+匕+c)；=r-So4.解 三 角 形：由 三 角 形 的 六 个 元 素（即 三 条 边 和 三 个 内 角）中 的 三 个 元 素（其 中 至 少 有 一 个 是 边）求 其 他 未 知 元 素 的 问 题 叫 做 解 三 角 形.广 义 地，这 里 所 说 的 元 素 还 可 以 包 括 三 角 形 的 高、中

6、 线、角 平 分 线 以 及 内 切 圆 半 径、外 接 圆 半 径、面 积 等 等.解 三 角 形 的 问 题 一 般 可 分 为 下 面 两 种 情 形：若 给 出 的 三 角 形 是 直 角 三 角 形，则 称 为 解 直 角 三 角 形；若 给 出 的 三 角 形 是 斜 三 角 形，则 称 为 解 斜 三 角 形。解 斜 三 角 形 的 主 要 依 据 是：设 48C的 三 边 为 a、b、c,对 应 的 三 个 角 为 4 B、C。（1）角 与 角 关 系:A+B+C=n；（2）边 与 边 关 系：a+b c,b+c a,c+a b,a-b c,b-c b；（3）边 与 角 关 系

7、：正 弦 定 理 上=_ J=2R（R 为 外 接 圆 半 径）；sin A sinB sinC余 弦 定 理 c2=a2+b2 2bccosC,b2=a2+c2 2accosB,a2=b2+c2 2bccosA；它 们 的 变 形 形 式 有：a=2Rsin4 的，8sA=巴 士 式。sinB b 2bc5.三 角 形 中 的 三 角 变 换 三 角 形 中 的 三 角 变 换，除 了 应 用 上 述 公 式 和 上 述 变 换 方 法 外，还 要 注 意 三 角 形 自 身 的 特 点。(1)角 的 变 换 因 为 在 ABC 中，A+B+C=n,所 以 sin(A+B)=sinC；cos

8、(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC o s i n=c o s g,c o s|=sin g；(2)三 角 形 边、角 关 系 定 理 及 面 积 公 式，正 弦 定 理，余 弦 定 理。面 积 公 式；S=a ht=yabsnC=r*p=J p(p-a)(p-b)(p-c).其 中 I 为 三 角 形 内 切 圆 半 径，P为 周 长 之 半。(3)在 4 A B C 中，熟 记 并 会 证 明：N A,N B,N C 成 等 差 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 N B=60；A B C是 正 三 角 形 的 充 分 必 要 条 件 是 N A,Z B,N C 成

9、等 差 数 列 且 a,b,c 成 等 比 数 列。四.【典 例 解 析】题 型 1：正、余 弦 定 理(2 0 0 9岳 阳 一 中 第 四 次 月 考).已 知、5 C中,AB=a,AC=b,a b0,SM B C=时=3,忖=5,则 ZR4C=()A.30 B.-150 C.150 D.30 或 150。答 案 C例 1.(1)在 AABC 中，已 知 4=32.0,B=81.8,a=42.9cm,解 三 角 形；(2)在 AABC中，已 知 a=2 0 c m,人=28cm,A=40,解 三 角 形(角 度 精 确 到 1。，边 长 精 确 到 1cm)。解 析：(1)根 据 三 角

10、形 内 角 和 定 理，C=180-(A+B)=180-(32.00+81.8)=66.2;根 据 正 弦 定 理,6 asinB 42.9sin81.8=sinA=sin 32.080.1(cm);根 据 正 弦 定 理,c=asinC 42.9sin66.2sin 4-sin32.074.1(c/n).（2）根 据 正 弦 定 理,sinB=“sin A 28sin40 200.8999.因 为 0 8+叵,3=60。，求 b 及 A;(2)在 ZkABC 中，已 知 a=134.6cm,b=S7.8cm,c=161.7c机，解 三 角 形 解 析：(1)*.*b2-a2+c2-2acco

11、sB=(2/3)2+(+/2)2-2-273-(76+N/2)COS 45=12+(指+伪 2-4瓜 Q+l)=86=2夜.求 A可 以 利 用 余 弦 定 理，也 可 以 利 用 正 弦 定 理:解 法 一:._ b2+c2-a2_(22)2+(46+/2 尸(20 尸 _1CS A=次=-2 x 2 7 2 x(7 6+7 2)立 A=60.解 法 二：Y s i n A 今 in属 翁/4 5。，又,：瓜+应 2.4+1.4=3.8,2 0 2x1.8=3,6,：.a c,即 0。V A V 90,A=60.（2）由 余 弦 定 理 的 推 论 得:COS A=b2+c2-a2-Ibc-

12、=87.82+161.72-134.62 2x87.8x161.7aO.5543,Ax562(y;c2+a2-b2 _134.62+161.72-87.82”=-2 a i-2x134.6x161.7“0.8398,8“3253;C=1800-(A+5)T 80-(5620+3253)=9Oo47.点 评：应 用 余 弦 定 理 时 解 法 二 应 注 意 确 定 A 的 取 值 范 围。题 型 2：三 角 形 面 积 例 3.在 AABC 中，sinA+cosA=J,A C=2,A B=3,求 tanA 的 值 2和 A A B C的 面 积。解 法 一：先 解 三 角 方 程，求 出 角

13、A 的 值。vsinA+cosA=V2cos(A-45)=y,cos(A-45)=g.又 0A180,.A-45=60,A=105.1*ntan A=tan(45+60)=-产=-2-V3,1-V3sin A=sin 105=sin(450+605)=sin45 cos60c+cos45sin60 二=：ACx A8sinA=g x 2 x 3 x T=q(V+n)。解 法 二：由 sinA+cosA计 算 它 的 对 偶 关 系 式 sinA+cosA的 值。V2,/sin A+cos A=2 2 1/.(sin A+cos A)=/.2sin AcosA=-2v 00 A 0,cosA 8

14、=2。由 正 弦 定 理 得AC BC AC AC 三-=-=1=-=2.sin 2。sin。2 cos 6 cos。由 锐 角 AABC得 0 2夕 90 n O 夕 45，又。180-3 9 0=3 0 060,故 30。45 cos0,2 2AC=2cose(V2,V3).例 5.（2 0 0 9浙 江 理）（此 题 满 分 1 4分）在 ZVIBC中，角 A B,C所 对 的 边 分 别 为 a,c,且 满 足 cos4=a i,AB-AC 3.2 5(I)求 AA6C的 面 积；(I I)若 匕+c=6,求 a 的 值.解(1)因 为 cos4=,:.cosA=2 c o s2 4-

15、l=?,sin A=&,又 由 2 5 2 5 5A B A C=3得 Z?ccosA=3,:.bc=5，SAABC=；*sin A=2(2)对 于 8c=5,又 Z?+c=6,0=5,c=l或 Z?=l,c=5,由 余 弦 定 理 得 a2=b2+c2-2bccos A-2 0,a-275例 6.（2 0 0 9全 国 卷 I 理）在 A钻。中，内 角 A、B、C 的 对 边 长 分 别 为 a、b、c,已 矢 口 a 2-c 2=2 b,J3.sin Acos C=3cos Asin C,求 b分 析：此 题 事 实 上 比 拟 简 单，但 考 生 反 响 不 知 从 何 入 手.对 已

16、知 条 件（1）一/=2。左 侧 是 二 次 的 右 侧 是 一 次 的，学 生 总 感 觉 用 余 弦 定 理 不 好 处 理，而 对 已 知 条 件 sin AcosC=3cosAsinC,过 多 的 关 注 两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式，甚 至 有 的 学 生 还 想 用 现 在 已 经 不 再 考 的 积 化 和 差，导 致 找 不 到 突 破 口 而 失 分.解 法 一,：在 AA8C中 sinAcosC=3cosAsinC,则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 有：3=3匕 士 4.c,化 简 并 整 理 得：2(/-c 2)=.又 由 已 知 2ab 2bca1-

17、c1=2b 4b=。2.解 得/?=4或。=0(舍).解 法 二:由 余 弦 定 理 得：a2 c2=-2bccos A.又 片-c2=2 b,b 0.所 以=2ccosA+2 又 sin AcosC=3cos AsinC,sin Acos C+cos A sin C=4cos A sin Csin(A+C)=4 cos Asin C，P sin 3=4cos Asin C由 正 弦 定 理 得 sin8=2sinC,故。=4ccosA c由，解 得 b=4.评 析:从 0 8年 高 考 考 纲 中 就 明 确 提 出 要 加 强 对 正 余 弦 定 理 的 考 查.在 备 考 中 应 注 意

18、 总 结、提 高 自 己 对 问 题 的 分 析 和 解 决 能 力 及 对 知 识 的 灵 活 运 用 能 力.另 外 提 醒：两 纲 中 明 确 不 再 考 的 知 识 和 方 法 了 解 就 行，不 必 强 化 训 练,题 型 4：三 角 形 中 求 值 问 题 例 7.ZVWC的 三 个 内 角 为 4 6、C,求 当 A 为 何 值 时，cos4+2cos 2 取 得 最 大 值，并 求 出 这 个 最 大 值。2,_,.B+C 兀 A”B+C A解 析：由 A+B+C=n,得 三=万 一 万，所 以 有 c o s-y=sin,。B+C A A A A 1,cosA+2cos-=c

19、osA+2sin=1 2sin+2sin=-2(sing#+32;当 sin令=2 即 A=W 时,cosA+2cosg取 得 最 大 值 为 怖。点 评：运 用 三 角 恒 等 式 简 化 三 角 因 式 最 终 转 化 为 关 于 一 个 角 的 三 角 函 数 的 形 式，通 过 三 角 函 数 的 性 质 求 得 结 果。例 8.（2009浙 江 文）（此 题 满 分 14分）在 AABC中，角 A,8,C所 对 的 边 分 别 为 c,且 满 足 cos=3 叵，AB AC3.2 5（I）求 AABC的 面 积；（II）若 c=l,求 a 的 值.解（I）cos A=2cos2-1=

20、2x（）2-1=2 5 5又 Ac（0,乃），sin A=&-cos2 A 9 而 ABAC=|A.|Xc|.cosA=反=3,所 以 c=5,所 以 AA8C的 面 积 为：/?csinA=x5x=22 2 5（II）由（I）知 be=5,而 c=l,所 以 b=5所 以 h2+c2-2hccosA=J25+1-2x3=2亚 点 评：本 小 题 主 要 考 察 三 角 函 数 概 念、同 角 三 角 函 数 的 关 系、两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 的 公 式 以 及 倍 角 公 式，考 察 应 用、分 析 和 计 算 能 力.题 型 5：三 角 形 中 的 三 角 恒 等 变 换

21、 问 题 例 9.在 A3C中，a、b、c 分 别 是 N A、/B、N C 的 对 边 长，已 知 a、b、c 成 等 比 数 列，且 层 一/=ac历，求 N A 的 大 小 及 3 的 值。C分 析：因 给 出 的 是 a、。、c 之 间 的 等 量 关 系，要 求 N A,需 找 N A与 三 边 的 关 系，故 可 用 余 弦 定 理。由。2=的 可 变 形 为 k=处 再 用 正 弦 C定 理 可 求 史 出 的 值。解 法 一：b、C 成 等 比 数 列，.，.=4(%X a2c2=achc,b2+c2-a2=bco在 A B C 中，由 余 弦 定 理 得：c o s A=_+

22、/,/.Z2bc 2bc 2A=60 o在 ABC 中，由 正 弦 定 理 得 sinB=g,2=3 ZA=60,a.X 尸 in60=sin60=3。c ac 2解 法 二：在 ABC中，由 面 积 公 式 得，Z?csinA=-acsinBo2 2*/b2=ac,NA=60,bcsinA=h2sinBo.丝 i!匹 s i n A=gc 2评 述：解 三 角 形 时，找 三 边 一 角 之 间 的 关 系 常 用 余 弦 定 理，找 两 边 两 角 之 间 的 关 系 常 用 正 弦 定 理。例 10.在 4 8 C 中，已 知 A、B、C 成 等 差 数 列，求 tan+tan+V3 t

23、an tan 的 值。2 2 2 2解 析：因 为 A、B、C 成 等 差 数 列，又 A+B+C=180,所 以 八+C=120,从 而=60,故 tan小=V L 由 两 角 和 的 正 切 公 式，2 2A Ctan+tan得 一-c=A1-tan tan 一 2 2jrltan+tan=V3-V3tan tan,2 2 2 2A C G A C jtan F tan 卜 73 tan tan=73 2 2 2 2点 评：在 三 角 函 数 求 值 问 题 中 的 解 题 思 路，一 般 是 运 用 基 本 公 式,将 未 知 角 变 换 为 已 知 角 求 解，同 时 结 合 三 角

24、变 换 公 式 的 逆 用。题 型 6：正、余 弦 定 理 判 断 三 角 形 形 状 例 1 1.在 A B C中，若 2cosBsinA=s i n C,则 A B C的 形 状 一 定 是()A.等 腰 直 角 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.等 腰 三 角 形 D.等 边 三 角 形 答 案：C解 析：2sinZcosB=sin(八+B)+s in(八 一 8)X V 2sinZlcosB=sinC,/.sin(A 8)=0,.,.A=B点 评：此 题 考 查 了 三 角 形 的 基 本 性 质，要 求 通 过 观 察、分 析、判 断 明 确 解 题 思 路 和 变 形 方 向

25、，通 畅 解 题 途 径,例 12.(2 0 0 9四 川 卷 文)在 AABC中，A 8 为 锐 角，角 A、B、C所 对 的 边 分 别 为 a、b、c,且 sin A=5 10(I)求 4+B 的 值;(I I)若-。=夜-1,求 a、b、c的 值。解(I)A、8 为 锐 角，sinA=,sinB=-cos A=V l-sin2 A-,cos B=Jl-sin?B-5 10i 4 D.D 25 3厢 N/5 V10 V2cos(A+8)=cos A cos B-sm A sin B=-x-x-=.5 10 5 10 20 A+3 T F*._ 7C A+3=4(II)由(I)知。=?，s

26、inC=4 2由 3=上=，得 sin A sin B sin C加 a=VTOZ?=V2c,即=A/2 Z?,C-5h又:a-by2-：.电-8=0-1，b=a=c=5题 型 7：正 余 弦 定 理 的 实 际 应 用 例 13.（2009辽 宁 卷 理）如 图，A,B,C,D,都 在 同 一 个 与 水 平 面 垂 直 的 平 面 内，J 20 B B,D为 两 岛 上 的 两 座 灯 塔 的 塔 顶。测 量 船 于 水 面 A 处 测 得 B 点 和 D 点 的 4 仰 角 分 别 为 75,30,于 水 面 C 处 测 得 B点 和 D 点 的 仰 角 均 为 60。，AC=0.1km

27、。试 探 究 图 中 B,D 间 距 离 与 另 外 哪 两 点 间 距 离 相 等，然 后 求 B,D 的 距 离（计 算 结 果 精 确 到 0.01km,0*1.414,V6 2.449）解:在 4ABC 中，NDAC=30。，ZADC=60-NDAC=30,所 以 CD=AC=0.1 X Z BCD=180-60-60=60,故 C B是 4 C A D底 边 A D的 中 垂 线，所 以 BD=BA,.A,AB AC在 ABC 中，sinZBCA-sinZABCa r,ACsin60 3+尼 即 A B=-因 止 匕，BD=演 了 故 B,D 的 距 离 约 为 0.33km。点 评

28、：解 三 角 形 等 内 容 提 到 高 中 来 学 习，又 近 年 加 强 数 形 结 合 思 想 的 考 查 和 对 三 角 变 换 要 求 的 降 低，对 三 角 的 综 合 考 查 将 向 三 角 形 中 问 题 伸 展，但 也 不 可 太 难，只 要 掌 握 基 本 知 识、概 念，深 刻 理 解 其 中 基 本 的 数 量 关 系 即 可 过 关。（2）（2009宁 夏 海 南 卷 理）（本 小 题 满 分 1 2分）为 了 测 量 两 山 顶 M,N 间 的 距 离，飞 机 沿 水 平 方 向 在 A,B两 点 进 行 测 量，A,B,M,N在 同 一 个 铅 垂 平 面 内（如

29、 示 意 图），飞 机 能 够 测 量 的 数 据 有 俯 角 和 A,B 间 的 距 离，请 设 计 一 个 方 案，包 括：指 出 需 要 测 量 的 数 据（用 字 母 表 示，并 在 图 中 标 出）；用 文 字 和 公 式 写 出 计 算 M,N 间 的 距 离 的 步 骤。+_ 4 _ g _M出,仇 解：方 案 一：需 要 测 量 的 数 据 有：A 点 到 M,N 点 的 俯 角;B 点 到 M,N 的 俯 角%，四；A,B 的 距 离 d（如 下 图）.第 一 步：计 算 A M.由 正 弦 定 理 AM=n%；sin（%+。2）第 二 步：计 算 A N.由 正 弦 定 理

30、 AN=in、；sm（凡 一 男）第 三 步：计 算 M N.由 余 弦 定 理 MN=yAM2+AN2-2AM x A N cos（a,-J 3t）.方 案 二：需 要 测 量 的 数 据 有：A 点 到 M,N 点 的 俯 角 叫,4；B 点 到 M,N 点 的 府 角，A；A,B 的 距 离 d（如 下 图）.第 一 步：计 算 B M.由 正 弦 定 理 二%.sin（1+%）第 二 步：计 算 B N.由 正 弦 定 理 B N=n、.sin（昆-丹）第 三 步：计 算 M N.由 余 弦 定 理 MN=飞 BM?+BN?-2B M X BNcos+a?）21.（2 0 0 9四 川

31、 卷 文）在 A4BC中，A、B为 锐 角，角 A、B、C所 对 的 边 分 别 为 a、b、c,且 sin A=近,sin 8=（I）求 A+3的 值；（II）若 a-b=6,-l,求 a、b、c的 值。解（I）A、B为 锐 角，sin A=亚,sin 8=5 103师 cos A=s/l-sin2 A=,cos B=J l-s in.B=-5 10cos(A+6)=csA csB T inA sin人 迪 x 也-旦 巫=也 5 10 5 10 20 A+B T TA+B=n4(I I)由(I)知 C=2,sinC=4 2由，二 上 二,得 sin A sin B sin C石 a=y/0

32、b-lc，即 a=V2/?,C=亚 b又“:a-b=6-lV 2Z?-Z?=V2-1 b=a=,c yfs点 评：三 角 函 数 有 着 广 泛 的 应 用，此 题 就 是 一 个 典 型 的 范 例。通 过 引 入 角 度，将 图 形 的 语 言 转 化 为 三 角 的 符 号 语 言，再 通 过 局 部 的 换 元，又 将 问 题 转 化 为 我 们 熟 知 的 函 数 加）=/+t 这 些 解 题 思 维 的 拐 点，t你 能 否 很 快 的 想 到 呢？五.【思 维 总 结】1.解 斜 三 角 形 的 常 规 思 维 方 法 是：（1）已 知 两 角 和 一 边（如 A、B、C）,由

33、A+B+C=TT求 C,由 正 弦 定 理 求 a、b；（2）已 知 两 边 和 夹 角（如 a、b、c）,应 用 余 弦 定 理 求 c边；再 应 用 正 弦 定 理 先 求 较 短 边 所 对 的 角，然 后 利 用 A+8+C=TI,求 另 一 角；（3）已 知 两 边 和 其 中 一 边 的 对 角（如 a、b、4）,应 用 正 弦 定 理 求B,由 A+B+C=z r求 C,再 由 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理 求 c 边，要 注 意 解 可 能 有 多 种 情 况；(4)已 知 三 边 a、b、c,应 余 弦 定 理 求 4、B,再 由 A+8+C=71,求 角 C o2.三 角 形 内 切 圆 的 半 径：一 二 特 别 地，*=。+”-包；a+b+c 且 23.三 角 学 中 的 射 影 定 理：在 4 A B C 中，b=a-cosC+c-cos A,4.两 内 角 与 其 正 弦 值：在 A B C 中，A 6 o s i n A sin8,5.解 三 角 形 问 题 可 能 出 现 一 解、两 解 或 无 解 的 情 况，这 时 应 结 合“三 角 形 中 大 边 对 大 角 定 理 及 几 何 作 图 来 帮 助 理 解。