2023年高三数学寒假作业15（含答案解析）.pdf

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1、2023年 高 三 数 学 寒 假 作 业 15一、单 选 题(每 题 5 分，共 3 0分)1.AA B C中，a,h,C分 别 为 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边，若。=4,8=6()。，4=45。，则。=()A.2&B.2也 C.2屈 D.3显 2.已 知 S,为 等 比 数 列 a,的 前 项 和，54=1 0,5 1 2=7 0,则 S g=().A.30 B.-20 C.-30 D.30 或 203.角 a 终 边 经 过 点 网 2+6,1),若 把 a 逆 时 针 方 向 旋 转(后 得 到 夕，则 tan”()A.3 B.y/3 C.3 D./34.已 知 等 差 数

2、 列 4,的 前 项 和 分 别 为 S“和 且 卜 白 三，则 合()/z.n D-JA 6 12-18 n 16A.-B.C.D.7 11 25 215.已 知 空 间 四 边 形 ABC。中，E,F 分 别 是 A C,BO的 中 点，若 AB=2,CD=4,E F A B,则 E尸 与 CD所 成 的 角 为()A.30 B.45 C.60 D.906.胡 夫 金 字 塔 的 形 状 为 四 棱 锥，1859年，英 国 作 家 约 翰 泰 勒(John Taylor,7 8 1-1 8 6 4)在 其 大 金 字 塔 一 书 中 提 出：古 埃 及 人 在 建 造 胡 夫 金 字 塔

3、时 利 用 了 黄 金 比 例(土 5 引.6 1 8),泰 勒 还 引 用 了 古 希 腊 2历 史 学 家 希 罗 多 德 的 记 载：胡 夫 金 字 塔 的 每 一 个 侧 面 的 面 积 都 等 于 金 字 塔 高 的 平 方.如 图，若 犷=a s,则由 勾 股 定 理，as=s2-a2,即 2-金 一 1=0,因 此 可 求 得 士 为 黄 Viz；a a金 数.已 知 四 棱 锥 底 面 是 边 长 约 为 756英 尺 的 正 方 形（2a=756）,顶 点 户 的 投 影 在 底 面 中 心 O，H 为 B C 中 点.根 据 以 上 信 息，PH长 度（单 位：英 尺）约

4、为（）A.233.6 B.481.4 C.512.4 D.611.6二、多 选 题（每 题 5 分，共 10分）7.己 知 向 量 4=（5吊 了,-6）4=（：0$占 802），则 函 数 X）=2a*+G+l（）A.最 小 正 周 期 为 乃 B.图 像 关 于 直 线 x=对 称 C.在 区 间（0,胃）单 调 递 增 D.图 像 关 于 点（g,l）中 心 对 称 2 68.已 知 f（x）是 定 义 域 为 R 的 函 数，满 足/（x）=.f（x+4）,/（l+x）=/（3-x）,当 0 4 x 4 2 时,f（x）=x2-x,则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.函 数 Ax

5、）在 2,4 的 解 析 式 为/（力=（工-3）（*-4）B.函 数 f（x）的 图 象 关 于 直 线 x=2对 称 C.当 0 4 x 4 4 时，Ax）的 最 大 值 为 2 D.当 6 4 x 4 8 时，/5）的 最 小 值 为 三、填 空 题（每 题 5 分，共 20分）9.在 AM C 中，角 4,B,C 的 对 边 分 别 刀 a,b,c 若 角 A=(,sin8=3sinC,a=2 j 7,则 A/W C的 面 积 为 10.已 知 平 面 向 量:，己 满 足=匕=1,a L a-l b y 贝 l J a+6=.11.一 个 正 四 棱 锥 的 顶 点 都 在 同 一

6、球 面 上，若 该 棱 锥 的 高 为 2,底 面 边 长 为 2,则 该 球 的 表 面 积 为.12.若 函 数/（力=1。氏 俨 _冰+3力 在 区 间 2,+8）上 是 增 函 数，则 实 数 的 取 值 范 围 是.试 卷 第 2 页，共 3页四、解 答 题(共 4 0分)13.已 知 等 差 数 列 4 的 公 差 d*0,其 前 项 和 为 S.，若 包+4=22,且,%,小 成 等 比 数 列.(1)求 数 列 也,的 通 项 公 式;（2）若（=J+/+，求，14.如 图，四 棱 锥 P-ABC。中，AR4D 为 正 三 角 形，AB/CD,AB=2CD,ABAD=9（）,P

7、A V C D,E,尸 分 别 为 棱 尸 3,的 中 点.(1)求 证：FD/平 面 P8C；(2)若 4)=2,直 线 P C 与 平 面 PAO所 成 的 角 为 45。，求 四 棱 锥。-钻 8的 体 积.15.在 正 三 角 形 ABC 中，E、P 分 别 是 AB、AC、BC 边 上 的 点，满 足 A:B=CF：ai=CP:P8=l:2(如 图 1).将 AAEF沿 EF折 起 到“了 尸 的 位 置，使 二 面 角 A-E F-B 成 直 二 面 角，连 接 4 民 4 P(如 图 2)(1)求 证：4 后，平 面 8：尸；(2)求 直 线 AiE与 平 面 4 8 尸 所 成

8、 角 的 大 小;(3)求 二 面 角 B-AiP-F 的 余 弦 值.图 1 图 2参 考 答 案 1.c【解 析】60。A 5。，4,由 正 弦 定 理 可 得 诉=病 解 得 b=+-=2#,故 选：C.J2T2.A【解 析】由 几=70,S4=I0得 几 工 3$4,则 等 比 数 列 q 的 公 比#1,1 一 卢 T 尸 7,令/。则 即=7,解 得，=2 或-3（舍 去），q=2,则 S8=S4+/S 4=3 0.故 选：A.3.B【解 析】角 a 终 边 经 过 点 尸（2+6,1）,则 tan a=*万=2-百 T T rr把 a 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 人 所

9、以 a+z所 以 tan/=tan1+tan a 1+2-V3 r-=-7-讣=3,故 选：B1-tana l-（2-V3）4.C【解 析】因 为 等 差 数 列 叫，也 的 前 项 和 分 别 为 S“和 Z,，且 卷=才 三,13（q+13）所 以 生=2%_ 4+3 _2_ _ 13_ _ 13+5b2b b.+b3 7-2x13-121 Q不，故 选：C答 案 第 4 页，共 9 页5.A【解 析】解：设 G 为 A O的 中 点，连 接 GF,G E,则 G R G E分 别 为 AAB。，ZkAC。的 中 线 GF/AB,且 G尸=g A 8=l,GE/CD,且 GE=gcD=2,

10、则 E/与 C O所 成 角 的 度 数 等 于 E F与 G E所 成 角 的 度 数，X EFL AB,GF/AB,：.EF G F,则 A G E尸 为 直 角 三 角 形，GF=1,GE=2,ZGFE=90,：.在 直 角 AG EF 中，sinNGE/二 NGEF=30。.故 选：A.6.D【解 析】依 题 意 仕 T-l=0,利 用 二 次 方 程 求 根 公 式 有 士=3 1.6 1 8,a）a a 2所 以 P=s e l.6 1 8 a=611.604,故 选：D.7.ABD【解 析】由 题 意，向 量。=（$足 工,一 6）4=（8$K 8$2元），可 得 2。/?=2

11、sin%cos x-26 cos2 x=sin 2%G cos 2x-乖,所 以 f（x）=2a-b+/3+=s in 2 x-V 3 c o s 2 x-V3+l=2sin（2 x-y）+l,可 得 函 数/（X）的 最 小 正 周 期 为 T=4=不，所 以 A 正 确；2 x-=-+k,k&Z,解 得 犬=至+包 入 Z,令&=-1,可 得 x=互,3 2 12 2 12答 案 第 5 页，共 9 页即 X=-是 函 数/(X)的 一 条 对 称 轴，所 以 B 正 确；由 x e(O,5),可 得(-土 等)，在 此 区 间 上 函 数/(x)先 增 后 减，所 以 C 错 误;令 2

12、 x-工=A;r,A e Z,解 得=工+文,Z e Z,令 左=0,可 得 x=工，3 6 2 6所 以 函 数 x)的 图 象 关 于 点(J,1)对 称，所 以 D正 确.6故 选：ABD.8.ABC【解 析】f(x)=f(x+4)n/(x)是 周 期 为 4 的 周 期 函 数，/(l+x)=/(3 x)=/(2+x)=/(2 x)=/(x)的 对 称 轴 为 x=2,B 正 确.f(2+x)=/(2 _ x)=4+x)=x),则 x)=/(-x),/(x)为 偶 函 数.2 4 x 4 4时，x e-4,2,x+4 e0,2,f(x)=/(-x)=_/(-%+4)=(-x+4)2-(

13、-x+4)=x2-l x+12=(x-3)(x-4),A 正 确.由 此 画 出 x)在 区 间 0,8的 图 象 如 下 图 所 示，当 0 V x 4 2时，=_ x=-;e-：,2.结 合 图 象 可 知 C 正 确，D错 误.故 选：ABC答 案 第 6 页，共 9 页9.3 6c h【解 析】,*sinB=3sinC,又 一.0=二 一 三，A b=3c,sin C sin B由 余 弦 定 理 可 得：a2=b2+c2-2bccosAA=5，=2近，；.28=9/+。2-3c2*c=2,b=6,，ABC的 面 积 S=L/?csin A=x6x2x=3 G,2 2 210.y/3【

14、解 析】因 为 2-4 1t所 以 a-(a2b)=a-2a b=-2a h=0,:.a h=.2/2 _2 T T 所 以 a+b=Va+b+2fl-Z=Vl+l+l-v3-11.9兀【解 析】如 图 所 示，正 四 棱 锥 P-A8CD P E 为 正 四 棱 锥 的 高，因 为 正 四 棱 锥 的 顶 点 都 在 同 一 球 面 上，所 以 外 接 球 球 心 一 定 在 该 棱 锥 的 高 上，设 球 心 为。，半 径 为 广，连 接 EB,OB,则 E B 为 正 方 形 A B C D 对 角 线 的 一 半，PO=OB=r.因 为 棱 锥 的 高 为 2,底 面 边 长 为 2,

15、所 以 PE=2,BE=近,设 OE=，则 QP=|2-/?|,答 案 第 7页，共 9 页,1由 勾 股 定 理 得：0夕=。炉+82=/+2,所 以/+2=|2-好，解 得：h=-,r=2-h=,所 以 该 球 的 表 面 积 为 4万 厂=4万*0=9万 所 以 12.(14【解 析】由 题 设，令 f=/-如+3。，而 y=log2,为 增 函 数，要 使 f(x)在 2,可 上 是 增 函 数，即 1在 2,一)上 为 增 函 数,2 22 或，A=6Z2-120-04+a0可 得 0“44或-4a?0,的 取 值 范 围 是(Y,4.故 答 案 为：(T,413.(1)a=2n+l

16、；(2)-2，?+34 2/+6+4解：(1)对 于 等 差 数 列%,因 为 出+“6=22,且%，%，%成 等 比 数 列,q+3(/+4+5d=22 fa=3 fa.=11所 以/a八/“八/A 八 2,解 得：。或，n-(%+33)(%+1 Id)=(4+6d)a=2 a=0因 为 公 差 所 以 舍 去，所 以 q=q+(_l)d=3+2(“-l)=2“+l.答 案 第 8页，共 9 页(2)因 为 q 为 等 差 数 列，4=2+1,所 以 s=幽 詈)=业 誓 D=S+2)所 以 不=(孑-二 bSn nn+2)2 n n+2 J=-1+-=-2_ 2+1+2 4 2n2+6n+

17、414.(1)证 明：因 为 E,尸 分 别 为 棱 尸 8,R 4的 中 点，所 以 E E/A 8且 2又 因 为 CD AB且 CO=g A8,所 以 即 C D且 砂=CO,所 以 四 边 形 E Q C 为 平 行 四 边 形，所 以 FD/CE,又 因 C E u平 面 P 3 C,五。0 平 面 P 8 C,所 以 尸 平 面 P 8 C；(2)解：-.AB/ICD,PA1C D,:.P A YA B,又 A?_LA,PA(AD=A,PAD,C D 八 平 面 B 4),则 NCPD为 尸 C 与 平 面 与 平 面 PAD所 成 角，即 NCPD=45。，则 CD=AD=2,5

18、L-.-AB=2CD,:.AB=4,S四 边 彩 ABCD=5*AD x(CD+AB)=x2x(2+4)=6.Q A 3 L 平 面 PAO,AB 平 面 ABC。，平 面 PA)_L平 面 A B C,过 P作 P O J.A D,垂 直 为。，又 平 面 PA。Cl平 面 ABCD=AD,答 案 第 9页，共 9页得 PO_L平 面 ABC。,Q V/W)为 等 边 三 角 形，:70=与 D=冬 2=后,P-ABCD=*P O x S 四 以 L C D=x 6 x#=2#.15.(1)证 明：不 妨 设 正 三 角 形 ABC的 边 长 为 3.在 图 1中，取 B E的 中 点。，连

19、 接 OE由 AE：EB=CF：胡=1：2,贝 ljA F=4=2,而 NA=60。，又 AA D F是 正 三 角 形，又 AE=DE=1,所 以 E F,AD.在 图 2 中，AiELEF,B E 1 E F,所 以/AiEB为 二 面 角 Ai-EF-B 的 平 面 角.由 题 设 条 件 知 此 二 面 角 为 直 二 面 角，则 AiE_LBE.又 BEHEF=E,所 以 4|E_L平 面 B E F,即 AiE_L平 面 BEP.(2)建 立 分 别 以 EB、EF、EA为 x 轴、),轴、z 轴 的 空 间 直 角 坐 标 系，答 案 第 1()页，共 9 页则 E(0,0,0)

20、,A(0,0,l),B(2,0,0),尸(0,6,0)，P(l,6,0),L,-U U ll _ _则 A E=(0,0,-D，5=(2,0,-1),BP=Gl,50).设 平 面 A S P的 法 向 量 为/=&j,zj,一 u uuu _-2xt-由 勺，平 面 A8 P 知，勺 J _ A 3,飞 上 B P,即，x令=6,得 y=i,4=2 石，即 n1=（6,1,2百）设 直 线 M E 与 平 面 A1BP所 成 角 a的 xO+lxO+2 后 x(-l)|I A E 卜 W 7()2+12+(2/3)2.Jo2+O2+(-l)2 2所 以 c=60。，故 直 线 4 E 与 平 面 4 B P 所 成 的 角 为 60。.-(3)4 尸=(0,3-1),PF=(-1,0,0),设 平 面 AFP的 法 向 量 为%=(x2,y2,z2).由 均 _L平 面 AiFP知，2X2=0Jiy2-z2=0.令*=I,得 当=0,Z2=百，&=(0,1,6).-”,石 x0+lxl+2 百 x 6 7cos=二=,“：=同 网 J(G)2+(26)2.版 2+俨+(石)2 87所 以 二 面 角 8 A.P尸 的 余 弦 值 是 O答 案 第 I I 页，共 9页答 案 第 1 2页，共 9 页