2023年全国I卷理科数学高考真题.pdf

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1、2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 理 科 数 学 注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号 等 填 写 在 答 题 卡 和 试 卷 指 定 位 置 上。2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写 在 本 试 卷 上 无 效。3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并

2、交 回。一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 6()分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.已 知 集 合 知=|7 2,=则 M N=A.x|-4x3 B.x|-4x-2 C.x|-2x2 D.x|2x32.设 复 数 z满 足|z-i|=l,z在 复 平 面 内 对 应 的 点 为(x,y),则 A.(x+1)2+y2=B.(x-1)2+/=1 C.x2+(y-l)2=1 D.x2+(y+1)2=13.已 知 a=log2().2,b=202,c=O.20 3,则 A.a h c B.ach C.c

3、ab D.h ca4.古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是 避 二 1(避 二！0.618,2 2称 为 黄 金 分 割 比 例)，著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此.此 外，最 美 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 也 是 二 L 若 某 人 满 足 上 述 两 个 黄 金 分 割 比 例，且 腿 长 为 105 cm,头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 2度 为 26 cm,则 其 身 高 可 能 是 A.165 cm B.17

4、5 cm C.185 cm D.190 cmcin r+x5.函 数 y u）=A _ r 在-兀，汨 的 图 像 大 致 为 COSX+X6.我 国 古 代 典 籍 周 易 用“卦”描 述 万 物 的 变 化.阳 爻“”和 阴 爻“，如 图 就 是 一 重 圭 卜.的 概 率 是 每 一“重 卦”由 从 下 到 上 排 列 的 6 个 爻 组 成，爻 分 为 在 所 有 重 卦 中 随 机 取 一 重 卦，则 该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 A-5B-D.11167.已 知 非 零 向 量 a,5 满 足|。|=2|。|,且（。一。），儿 则 a 与 分 的 夹 角 为 兀 A.6-2

5、无 C.3D.5无 68.如 图 是 求 L j2+-T2+-2的 程 序 框 图,图 中 空 白 框 中 应 填 入 1A.A二 一 2+A A 1+2A,1D.A=l+2A9.记 S“为 等 差 数 列 a,J的 前 项 和.已 知 S4=0,%=5,则 91 9A.an 2n 5 B.an=3n-10 C.Sn 2n D.=3 6-2相 10.己 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 耳(一 1,0),5(1,0),过 尸 2 的 直 线 与 c 交 于 4 B 两 点.若|AKI=2|KB|,|45|=|8片|,则 C 的 方 程 为 X2 2A.+y=12 2x y B.F-=13 22

6、2x y 1C.+=14 32 2x y 1D.+=15 411.关 于 函 数/(x)=sin|x|+|sin x|有 下 述 四 个 结 论：TT Ax)是 偶 函 数/(x)在 区 间(巴，兀)单 调 递 增 2/(x)在-71,兀 有 4 个 零 点 Z W 的 最 大 值 为 2其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是 A.B.C.D.12.已 知 三 棱 锥 尸-A B C 的 四 个 顶 点 在 球。的 球 面 上，PA=PB=PC,ABC是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，E,F分 别 是 南，A 8 的 中 点，ZCEF=90,则 球 0 的 体 积 为 A.8庭

7、兀 B.4指 兀 C.2遍 兀 D.遍 兀 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。13.曲 线 y=3(/+x)e*在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为.14.记 S”为 等 比 数 列 的 前 项 和.若 4=%，则$5=.15.甲、乙 两 队 进 行 篮 球 决 赛，采 取 七 场 四 胜 制(当 一 队 赢 得 四 场 胜 利 时，该 队 获 胜，决 赛 结 束).根 据 前 期 比 赛 成 绩，甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为“主 主 客 客 主 客 主 设 甲 队 主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6,客 场 取 胜 的 概 率 为

8、 0.5,且 各 场 比 赛 结 果 相 互 独 立，则 甲 队 以 4：1获 胜 的 概 率 是.2 216.已 知 双 曲 线 C：二=1(。0/0)的 左、右 焦 点 分 别 为 Q,尸 2,过 Q 的 直 线 与 C 的 两 条 渐 近 线 a b分 别 交 于 A,B 两 点.若 耳 A=AB,FB F2B=Q,则 C 的 离 心 率 为.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1721题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。(-)

9、必 考 题：共 60分。17.（12 分）A B C的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,&设 118$抽。）2=511124 5m80111。.（1）求 A；（2）若+6=2c,求 sinC.18.（12 分）如 图，直 四 棱 柱 A 8 C-4B iG O i的 底 面 是 菱 形，AAi=4,AB=2,ZBAD=60Q,E,M,N 分 别 是 8C,BB,Ai。的 中 点.（1）证 明：MN 平 面 Ci DE；（2）求 二 面 角 A-A M|-N的 正 弦 值.19.（12 分）3已 知 抛 物 线 C：y2=3x的 焦 点 为 足 斜 率 为|的 直 线/与 c

10、 的 交 点 为 4,B,与 x 轴 的 交 点 为 P.（1）若|Afl+|80=4,求/的 方 程；（2）若 AP=3 P 8,求|A8.20.（12 分）已 知 函 数/（x）=sin x-ln（l+x）,/（x）为/（x）的 导 数.证 明：T T（1）（X）在 区 间（一 1,一）存 在 唯 一 极 大 值 点；2（2）/（x）有 且 仅 有 2 个 零 点.21.（12 分）为 治 疗 某 种 疾 病，研 制 了 甲、乙 两 种 新 药，希 望 知 道 哪 种 新 药 更 有 效，为 此 进 行 动 物 试 验.试 验 方 案 如 下：每 一 轮 选 取 两 只 白 鼠 对 药 效

11、 进 行 对 比 试 验.对 于 两 只 白 鼠，随 机 选 一 只 施 以 甲 药，另 一 只 施 以 乙 药.一 轮 的 治 疗 结 果 得 出 后，再 安 排 下 一 轮 试 验.当 其 中 一 种 药 治 愈 的 白 鼠 比 另 一 种 药 治 愈 的 白 鼠 多 4 只 时，就 停 止 试 验，并 认 为 治 愈 只 数 多 的 药 更 有 效.为 了 方 便 描 述 问 题，约 定：对 于 每 轮 试 验，若 施 以 甲 药 的 白 鼠 治 愈 且 施 以 乙 药 的 白 鼠 未 治 愈 则 甲 药 得 1分，乙 药 得 1分；若 施 以 乙 药 的 白 鼠 治 愈 且 施 以 甲

12、 药 的 白 鼠 未 治 愈 则 乙 药 得 1 分，甲 药 得-1分；若 都 治 愈 或 都 未 治 愈 则 两 种 药 均 得 0 分.甲、乙 两 种 药 的 治 愈 率 分 别 记 为 a 和/?,一 轮 试 验 中 甲 药 的 得 分 记 为 X.(1)求 X 的 分 布 列；(2)若 甲 药、乙 药 在 试 验 开 始 时 都 赋 予 4 分，p,(i=O,l,8)表 示“甲 药 的 累 计 得 分 为，时，最 终 认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效”的 概 率，则，o=O,，8=1,Pi=ap+hp,+cpM(z=1,2,7),其 中 a=p(X=-l),8=P(X=0),c=

13、P(X=l).假 设 a=0.5,，=0.8.证 明：P m,=0,1,2,7)为 等 比 数 列；(ii)求 P4.并 根 据 P.的 值 解 释 这 种 试 验 方 案 的 合 理 性.(-)选 考 题：共 10分。请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。22.选 修 4一 4：坐 标 系 与 参 数 方 程(10分)1-rX=,在 直 角 坐 标 系 xOy中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为 1+厂(f为 参 数).以 坐 标 原 点 O 为 极 点，x 轴 的 卜=备 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极

14、坐 标 系，直 线 I的 极 坐 标 方 程 为 2pcos 6+舟 sin。+11=().(1)求 C 和/的 直 角 坐 标 方 程；(2)求 C 上 的 点 到/距 离 的 最 小 值.23.选 修 4一 5：不 等 式 选 讲(10分)已 知 4 c 为 正 数，且 满 足 abc=l.证 明：1 1 1 2,2 1(1)+。+力+C-;a b c(2)(a+b)+S+c)3+(c+a)3 N 24.2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 理 科 数 学 参 考 答 案 一、选 择 题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A

15、10.B 11.C 12.D二、填 空 题 12113.y=3x 1 4.15.0.18 16.23三、解 答 题 17.解：(1)由 已 知 得 sin?B+sin?C-sin?A=sin3sinC,故 由 正 弦 定 理 得 人？=b c.,2 2 2 1由 余 弦 定 理 得 cos A=+C a=12bc 2因 为 0,A 180，所 以 A=60.(2)由(1)知 3=120-C,由 题 设 及 正 弦 定 理 得 0sinA+sin(12O C)=2sinC,即 迈+且 cosC+sinC=2 s i n C,可 得 cos(C+60)=走.2 2 2 V 2由 于 0 C 1 2

16、 0,所 以 sin(C+60)=半，故 sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60_ V 6+V|一 418.解：(1)连 结 BC,ME.因 为 M,E分 别 为 BBi,BC的 中 点，所 以 ME B C,且 ME U L B C.2又 因 为 N为 4。的 中 点，所 以 N)=LA。.2由 题 设 知 金 力 C,可 得 BiC Ai。，故 M E R ND,因 此 四 边 形 MNDE为 平 行 四 边 形，MN/ED.又 MN(Z平 面 E D C i,所 以 MN 平 面 CiOE.(2)由 已 知 可 得 QEJ_D4

17、.以。为 坐 标 原 点，%的 方 向 为 x轴 正 方 向，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 Q-x y z,则 A(2,0,0),4(2,0,4),M(l,6,2),N(l,0,2),A=(0,0,),4=(一 1,百,2),A N=(1,0,-2),M N=3,-瓜。).设 m=(x,y,z)为 平 面 AiMA的 法 向 量，则 m-=0“AA=O设”=(p,q,r)为 平 面 4M N的 法 向 量，则 n,MN=6所 以”4 N=0.所 以:;?2寸。可 取=(2,0一).所 以 二 面 角 A-N 的 正 弦 值 为 瞿.319.解：设 直 线=+(1)由

18、题 设 得 故|4/|+|89|=玉+%+|,由 题 设 可 得 石+九 2=-,3由)2+,可 得 9f+12(，-l)x+4/=0,则%+工 2=-.y2=3x-9,.12(1)5 四 7从 而-,得 r=.9 2 83 7所 以/的 方 程 为=彳-石.2 8(2)由 4P=3PB可 得 y=-3%.3y=x+t,由 1 2,可 得 y2-2y+2/=0.y2=3x所 以+%=2.从 而-3%+%=2，故=-1，1=3.代 入。的 方 程 得=3,x,=.-3故 1明=4 1.20.解：(1)设 g(%)=/(%)，则 g(x)=cosx-,gr(x)=-sinx+-1+x(1+x)当

19、xe-1,时，g(x)单 调 递 减，而 g0,g()0；当 x(a,1)时,g，(x)0.所 以 g(x)在 单 调 递 增，在 单 调 递 减，故 g(x)在,1,存 在 唯 一 极 大 值 点,即 广(X)在 存 在 唯 一 极 大 值 点.(2)/(x)的 定 义 域 为(T+oo).(i)当 X(-1,O 时,由(1)知，尸(x)在(-1,0)单 调 递 增,而 尸(0)=0,所 以 当 X G(-1,0)时，f(x)0,故 在(-1,0)单 调 递 减，又/(0)=0,从 而 x=0是 尤)在(-1,0 的 唯 一 零 q 占八、一(i i)当 T o g 时，由(1)知，尸 在(

20、0 单 调 递 增，在(a,5 单 调 递 减，而:(0)=0,V 0；当 x e 夕 看 时，/(x)0，所 以 当 x e(o g 时，/(x)0.从 而，/(%)在(呜 没 有 零 点.(i i i)当 兀 时，/(x)0,/(n)l,所 以/(x)0,从 而/(x)在(兀,+8)没 有 零 点.综 上，/(x)有 且 仅 有 2个 零 点.2 1.解:X的 所 有 可 能 取 值 为-1,0,1.p(X=_ l)=(l a)夕，P(X=0)=3+(1)(1-),p(X=l),所 以 X 的 分 布 列 为X-I 0 1P(-a)p a(-fi)(2)(i)由(1)得 a=0.4,0=0

21、.5,c=0.1.因 此 p,.=0.4p”1+0.5 p,+0.Ip,”，故 0.1(p,+l-p,)=0.4(p,-J,即,+i 一,=4(又 因 为 Pi Po=Pi N O,所 以 用 一 J(i=0,l,2,7)为 公 比 为 4,首 项 为 Pl的 等 比 数 列.(ii)由 可 得 48-1A=P&-P1+P1-P(,+P-Po+Po=(。8 一 口)+(。7 一。6)+(PL O)=Pl 3由 于 口 8=1,故。=不-所 以 44-1 1P4=(P 4-P 3)+(3 一 2)+(P 2-p J+(P|o)=Pl=砺.P4表 示 最 终 认 为 甲 药 更 有 效 的 概 率

22、，由 计 算 结 果 可 以 看 出，在 甲 药 治 愈 率 为 0.5,乙 药 治 愈 率 为 0.8时，认 为 甲 药 更 有 效 的 概 率 为。4=2”0.()()39,此 时 得 出 错 误 结 论 的 概 率 非 常 小，说 明 这 种 试 验 方 案 合 理.i-t2,rvV fi-r2?4t222.解：(1)因 为 1 一,且/+2=+_ J=l,所 以 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 1+广 U+,(1+/)2x2+-=l(x-l)./的 直 角 坐 标 方 程 为 2x+6 y+ll=O.,x=cos a.(2)由(1)可 设 C的 参 数 方 程 为.(a 为 参 数

23、，一 兀。兀).y 2sin6z厂.4cos|a-工 1+11一 小，-u 12cosa+2,3sma+ll I 3)。上 的 点 到/的 距 蜀 为-%-=-.当 a=-时，4 cos|a 一 二7 11+3 311取 得 最 小 值 7,故 C上 的 点 到/距 离 的 最 小 值 为 6.23.解：(1)因 为。2+/之 2。,从+C?2 2a?,/+/2 2。，又 abc=L 故 有 a1+b2+c2 ah+he+ca=ab+be+ca 1 1 1abc+-+一.a b c所 以 a2+M.a b c(2)因 为 a,Z?,c 为 正 数 且 出?c=l,故 有(a+)3+(力+cP+(c+a)3(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+/?)S+c)(a+c)3x(2y/ab)x(2bc)x(2/ac)=24.所 以(a+价 3+s+c)3+(0+a)3 24.