广东省湛江市第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题含答案.pdf

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1、湛江第一中学湛江第一中学 2024 届高三级开学考试届高三级开学考试 数学数学全卷满分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答题前，先将自己的姓名答题前，先将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷草稿纸和答题卡上的非草稿纸和答题卡上的非答题区答题区域均无效域均无效.3.选择题用选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题

2、用黑色签字笔在答题卡上作铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：高考范围本卷主要考查内容：高考范围.一一单单项选择题：本题共项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.已知集合12e1,20 xMxNx xx=的焦点为F，准线为l，点()()00,10P xx 在抛物线C上，过P作l的

3、垂线，垂足为Q，若POPQ=（O为坐标原点），则0 x=（）A.2 2B.3C.3 2D.47.已知为钝角，2cos2sin2cos=，则tan3的值为（）A.43 B.-2 C.83 D.2118.已知函数()2sin(0)3f xx=+且满足236fxfx=，则的最小值为（）A.12B.23C.1D.2二二多项选择题多项选择题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.

4、9.一组数据：0,1,5,6,7,11,12，则（）A.这组数据的平均数为 6B.这组数据的方差为 16C.这组数据的极差为 11D.这组数据的第 70 百分位数为 710.已知函数()2lnf xxxx x=，则（）A.()f x有两个零点 B.()f x有两个极值点C.()0f x 恒成立 D.()0fx恒成立11.已知圆22:(3)(1)1Cxy+=与圆222:()(2)(,0)Mxmymrmr+=R相交于,A B两点，则（）A.圆C的圆心坐标为()3,1B.当2r=时，2 52 51155m的左，右焦点分别为12,F F，右支上有一点M，满足121290,FMFFMF=的内切圆与y轴相

5、切，则双曲线C的离心率为_.四四解答题解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤证明过程及演算步骤.17.（本小题满分 10 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知3cos2A=.（1）若3,2bc=，求a的值；（2）若223abc=，求角,B C的大小.18.（本小题满分 12 分）已知数列 na满足1111,13nnaaan+=+.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列 na的前n项和nS.19.（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC 平面11A

6、BB A.（1）证明：ABBC；（2）若12,AAACBC E=为1BB上一点，且13BEEB=，求二面角1EACB的余弦值.20.（本小题满分 12 分）2023 年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12 个班级每个班随机抽取 10 名同学进行问卷，统计数据如下表：课余学习时间超过两小时课余学习时间不超过两小时200 名以前 40 10 x+200 名以后 310 x40（1）求x的值；（2）依据上表，根据小概率值0.001=的独立性检验，分析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系；（3）学校在成绩 200 名以前的学生中，采用分层抽样

7、，按课余学习时间是否超过两小时抽取 6 人，再从这 6人中随机抽取 3 人，记这 3 人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：参考公式：()()()()22()n adbcabcdacbd=+，其中nabcd=+.a0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 ax2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的右焦点为F，上顶点为,2B BF=，离心率为12.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线():20l yxm m=与椭圆E相交于,A C两点，且点()0,N

8、m，当ACN的面积最大时，求直线l的方程.22.（本小题满分 12 分）已知函数()1elnxf xx=.（1）求函数()f x的最小值；（2）求证：()()1ee1 lne02xxf xxx+.湛江第一中学湛江第一中学 2024 届高三级开学考试届高三级开学考试数学数学 参考答案参考答案提示及评分细则提示及评分细则 1.B 由1e1x得10eex，函数exy=在R上单调递增，则10 x，即1Mx x=，又由220 xx得02x，即 02Nxx=.故选 B.2.A()()()()2i 1 2i2i5i1111 i12i12i 1 2i5z+=+=+=+=+，则2z=.故选 A.3.C()111

9、131311,222444442BMBABDABACABABACmnmn=+=+=+=+=.故选 C.4.A 令231,3uuxxy=+=，又3uy=在R上单调递增，231uxx=+的增区间为3,2+，所以()f x的增区间为3,2+.故选 A.5.D ()454445141411,2.32,22aaaadad adaadd aad=+=+=.()()()199541414929499444aaSadSaaaad+=+.故选 D.6.A 因为POPQPF=，所以1 22p=，即2204,8,8 1pxy x=，又000,2 2xx=.7.D 由2cos2sin2cos=得22sin cossi

10、n=，化简得2cossin,tan2=，则22tan4tan2tan2tan2,tan31tan31tan2 tan11+=.故选 D.8.B 由236fxfx=可知：()f x关于4x=对称，故2,4,04323kkk+=+=+=时，取最小值为23.故选 B.9.AD A：()10 1 567 11 1267+=，故 A 正确；B：()22222221124651015677+=，故 B 错误；C:12012=，故 C 错误；D:7 70%4.9=，故 70 百分位数是第 5 个数 7.故 D 正确.故选 AD.10.BC ():01 ln0,1 lnA f xxxxx=，当且仅当1x=时取

11、等号，故 A 错误，C 正确；B：()()12122ln,2xfxxx fxxx=，在10,2上，()()0,fxfx，()fx为增函数，又()2110,0,10e2fff，所以有22(3)(21)3MCmm=+，解得2 52 51155m0，故()()10g xg=符合题意，当2a 时，()()120,1,gam=+，在()1,m上，()0g x，根据小概率值0.001=的独立性检验，我们认为学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关，此推断犯错误概率不大于 0.001；（3）这 6 人中课余学习时间超过两小时的人数为40644020=+，课余学习时间不超过两小时的人数为 2，X的取值为1,2

12、,3，有()124236C C11C5P X=；()214236C C32;C5P X=()3436C13C5P X=.故X的分布列为：X1 2 3 P153515()1311232555E X=+=.21.解：（1）由题意可知22212,e,1,32cBFacbaca=，所以椭圆E的方程为22143xy+=；（2）由直线l的方程为2yxm=，则点()0,Nm到直线l的距离为3 22dm=，联立方程组221,432,xyyxm+=整理可得2271616120 xmxm+=，由判别式()222564 7 16120mm=，解得77,00,22m，设()()1122,A x yC xy，则2121

13、2161612,77mmxxxx+=，可得()()()()()()2222221212121212121222224ACxxyyxxxmxmxxxxx x=+=+=+()224 16122562497mm=24 221 127m=，所以2114 23 221 122272ACNSAC dmm=()22223 33 37443 37447722mmmm+=（当且仅当1477,00,422m=时，等号成立），所以所求直线的方程为142yx=+或142yx=.22.（1）解：()1elnxf xx=，()11exfxx=，设()()11211e,e0 xxxxxx=+=，()x在()0,+上为单调递

14、增函数，()()10,10f=，当()0,1x时，()0fx=时，()f x取得最小值，()min()11f xf=；（2）证明：()()1ee1 lne02xxf xxx+，只需证()()11eelne1 lne02xxxxxx+，即()11 eln02xxx+，令()()11 eln2xg xxx=+，则()1e(0)xgxxxx=，当0 x 时，令()()1exh xgxxx=，则()()()211 e0,xh xxh xx=+在()0,+上单调递增，即()1exgxxx=在()0,+上为增函数，又因为222333223227ee0,(1)e 1033238gg=，所以存在02,13x，使得()00gx=，由()00200000e11e0 xxxgxxxx=，得020e1xx=，即0201exx=，即002lnxx=，所以当()00,xx时，()()1e0,xgxxg xx=单调递增，所以()()03200000min000220012211()1 eln2222xxxxxxg xg xxxxx+=+=+=，令()3222213xxxxx=+，所以()x在2,13上单调递增，所以()0220327x=，所以()()()002002xg xg xx=，所以()11 eln02xxx+，即()()1ee1 lne0.2xxf xxx+