2010天津考研数学一真题及答案.pdf

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1、120102010 天津考研数学一真题及答案天津考研数学一真题及答案一、选择题一、选择题（1）、极限2lim()()xxxxa xb（C）A、1B、eC、a beD、b ae【详解】2222ln1()()()()()()()()limlimlim()()limlimxxxxxx ax bx ax bxxxa b x aba b xabxxx ax bx ax bxxa bxeexa xbeee（2）、设函数(,)zz x y，由方程(,)0y zFx x确定，其中 F 为可微函数，且20F，则zzxyuy（B）A、xB、zC、xDz【详解】等式两边求全微分得：121212()()()0 xxy

2、yzzFuF v dxFuF vdyFuF v dz，所以有，1212xxzzFuF vzxFuF v，1212yyzzFuF vzyFuF v，其中，2xyux，1yux，0zu，2xzvx，0yv，1zvx，代入即可。（3）、设,m n是正整数，则反常积分210ln(1)mnxdxx的收敛性(D)(A)仅与m的取值有关(B)仅与n有关(C)与,m n都有关(D)都无关【详解】：显然0,1xx是两个瑕点，有22211121002ln(1)ln(1)ln(1)mmmnnnxxxdxdxdxxxx对于2120ln(1)mnxdxx的瑕点0 x，当0 x时212ln(1)ln(1)mmnnxx x

3、x等价于2221(1)mmnx，而21120mnxdx收敛（因,m n是正整数211mn），故2120ln(1)mnxdxx收 敛；对 于2112ln(1)mnxdxx的 瑕 点1x，当1(1,1)(0)2x时12122ln(1)2 ln(1)2(1)mnmnmnxxxx，而2112(1)mxdx显 然 收 敛，故2112ln(1)mnxdxx收敛。所以选择 D.（4）、2211lim()()nnnijnni nj(D)A A、12001(1)(1)xdxdyxyB B、1001(1)(1)xdxdyxyC C、11001(1)(1)dxdyxyD D、112001(1)(1)dxdyxy【详

4、解】：22211111111limlim()()(1)(1()nnnnxnijijnijni njnnnn112001(1)(1)dxdyxy（5）设 A 为m n型矩阵，B 为n m型矩阵，E 为 m 阶单位矩阵，若 AB=E，则（A）A、秩 r(A)=m,秩 r(B)=mB、秩 r(A)=m,秩 r(B)=nC、秩 r(A)=n,秩 r(B)=mD、秩 r(A)=n,秩 r(B)=n【详解】mR(B)m,R(A)mR(B)m,R(A)(,R(A),(),(min()()(而即又mBRmBRARmABRmABREAB(6)设 A 为 4 阶实对称矩阵，且20AA，若 A 的秩为 3，则 A

5、相似于（D）A1110B.11103C.1110D.1110【详解】设A的特征值为r，因为20AA为所以20即100)1(或又3R(A)，A 必可相似对角化，且对角阵的秩也是 3.11110A 是三重特征根所以正确答案为（D）(7)设随机变量X的分布函数001()01211xxf xxex，则 x=1=（C）A0.12C.112eD.11 e【详解】11111(1)(1 0)122P xFFee.所以选 C(8)设1()f x为标准正态分布的概率密度，2()fx为 1,3上的均匀分布的概率密度，若12()0()(0,0)()0af xxf xabbfxx为概率密度，则,a b应满足：（A）A、

6、234abB、324abC、1abD、2ab【详解】由概率密度的性质()1f x dx，有03120()()113124234af x dxbfx dxabab所以选 A。二、填空题二、填空题4（9）、设20,ln(1),ttxeyu du求202d yd x0【详解】22222222222(ln(1)1ln 1ln 112ln 111tttttttty tdydxx ted yddyddydtdxdxdxdtdxdxtetx ttetetteeet 故2020d yd x（10）、20cosxxdx4【详解】20cos4xxdx 令,xt原式为220000002cos2sin|2 sin4s

7、in4cos|cos4ttdtttttdtttdttttdt （11）、已知曲线L的方程为1,1,1,yx x 起点是(1,0),终点是(1,0),则曲线积分2Lxydxx dy0【详解】令1:101xtLtyt 2:011xtLtyt 1222201221022303110112232230LLLxydxx dyxydxx dyxydxx dyttt dtttt dttttt5（12）、设22(,)1,x y z xyz 则的形心坐标z 23【详解】2221100211002332rrzdxdydzdrdrzdzzdxdydzdrdrdz（13）设123(1,2,1,0),(1,1,0,2)

8、,(2,1,1,),TTT若由形成的向量空间维数是 2，则6【详解】由题意知向量组321,线性相关，而其中两个向量线性无关，所以2,(321）R，即60660000031021120310310211201011122112324121322rrrrrrrr（14）设随机变量X概率分布为,0,1,2,!Cp XkkK，则2EX2【详解】由概率密度的性质0 1kP Xk，有101!kCCek 即1,0,1,2,!eP Xkkk为参数为 1 的泊松分布，则有221,1()2EXDXEXDXEX三、解答题三、解答题（15）（本题满分 10 分）求微分方程322xyyyxe的通解【详解】齐次方程320

9、yyy的特征方程为2320由此得122,1.对应齐次方程的通解为212xxyC eC e设非齐次方程的特解为xyAxB xe代入原方程得1,2AB 从而所求解为62212(2)xxxyC eC exx e（16）（本题满分 10 分）求函数2221()()xtf xxt edt的单调区间与极值【详解】由21()20 xtfxxedt，可得，0 x，1判断在区间，1,0，(1,)，()0fx，函数单增在区间，,1，(0,1)，()0fx，函数单减。极小值：110ff极 大 值 为2(0)1fe 单 增 区 间 1,0,1,单 减 区 间,1,0,1（17）（本题满分 10 分）（）比较10ln

10、ln(1)nttdt与10ln,1,2,nt t dt n 的大小，说明理由（）设10ln ln(1)(1,2,)nnMttdt n，求极限limnnM【详解】令 ln 1f ttt当01t 时，1101ftt 故当01t 时 00f tf当01t 时0ln 11tt 从而ln 1(1,2,)nnttn又由ln0t 得1100lnln(1)ln(1,2,)nnttdtttdt n110011 1002lnln11ln1111nnnnt t dtt t dtttt dtnnn 10limln0nnt t dt0nM 由夹逼定理得10limlnln(1)0nnttdt7（18）（本题满分 10 分

11、）求幂级数121(1)21nnnxn的收敛域及和函数【详解】因为2221221limlim21nnnnnnxnuxuxn，所以当21x 即11x 时，原幂级数绝对收敛；当1x 时，级数为11(1)21nnn，显然收敛，故原幂级数的收敛域为 1,1。因为1122111(1)(1)2121nnnnnnxxxnn设1211(1)(),1,121nnnxf x xn 则 211211(1)1nnnfxxx因为 00f，所以 00arctanxf xft dtfx从而()arctan,1,1s xxx x 收敛域 1,1x，和函数()arctans xxx（19）（本题满分 10 分）设P为椭球面222

12、:1S xyzyz上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分22(3)244xyzIdSyzyz，其中是椭球面S位于曲线C上方的部分【详解】（1）切平面法向量2,2,2xyzFx Fyz Fzy，因与 xOy 面垂直，所以20(2)0(2)102yxyzzyz 所以轨迹为22212xyzyzyz（2）22222455812xyxyzyzdSzz dxdydxdyzy8原式=2233,(,)14xyxyDxdxdy Dx y xy2303123xyxyDDxdxdydxdy（20）（本题满分 11 分）设11010 1111aAb 已知线性方程组Axb存在 2

13、个不同的解，（）求，a；（）求方程组Axb通解。【详解】（）由题意知，Axb的增广矩阵为111101011111101011)(31aabAArr1100101011110101011222313aaaarrrrAxb有 2 个不同的解11,2)(1)(110111013)()(2abAxARARaaARAR无解方程组时但，或（）由（）知，000010201111A9等价方程组为1212321xxxx2)()(ARAR对应齐次线性方程组0Ax的基础解系含 1 个解向量，即101bAx 的一个特解为12125bAx 的通解为12125101k（其中k为任意常数）。（21）（本题满分 11 分）已

14、知二次型123(,)Tf x xxx Ax在正交变换xQy下的标准形为2212yy，且Q的第 3 列为22022T（）求矩阵A；（）证明AE为正定矩阵，其中E为 3 阶单位矩阵。【详解】（）由题意知AQQT,其中011，则TQQA设Q的其他任一列向量为Txxx321,Q为正交矩阵102102101021021101020101-011101020101-21101020101-22Q101020101-222202201022022Q22022101210101012002222022022,T11213131321TQQAxxxxxxx单位化得把，即为个线性无关的解向量，其基础解系含即（）证

15、明：()TTAEAEAEAE为实对称矩阵又A的特征值为 1，1，0AE的特征值为 2，2，1，都大于 0AE为正定矩阵。（22）（本题满分 11 分）设二维随机变量(,)X Y的概率密度为22(,),xxy yf x yAex ，求常数 A 及条件概率密度()Y Xfy x【详解】由概率密度的性质(,)1f x y dxdy，可知222222()1xxy yxx yAedxdyAedxedy 11又知2xedx，有22()xx yedxedy所以1A，即22221(,)xxy yf x yeX的边缘概率密度为2222()111(),xx yxxXfxeedyeex 222222()1(,)1(

16、),1()xxy yx yY XxXef x yfy xexyfxe （23）（本题满分 11 分）设总体X的概率分布为X123P122其中参数(0,1)未知，以iN表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数(1,2,3)i。试求常数123,a a a，使31iiiTa N为的无偏估计量，并求T的方差。【详解】由题知123,N NN分别服从二项分布22(,1),(,),(,)B nB nB n，则有22123(,(),1)ENnENnENn33212311112123223()001(1)10)1iiiiiiETEa Na ENaaaaaaaaaaannnnnnnnnn即3231111iiiNNnNNTa Nnnn 1122111)(1)(1)NDTDDNnnnnn