2011年辽宁高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20112011 年辽宁高考理科数学真题及答案年辽宁高考理科数学真题及答案注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅 笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）a 为正实数，i 为虚数单位，2aii，则 a=（A）2（B）

2、3(C)2(D)1（2）已知 M,N 为集合 I 的非空真子集，且 M,N 不相等，若1,NC MMN 则(A)M(B)N(C)I(D)(3)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，=3AFBF，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为(A)34(B)1(C)54(D)74（4）ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，asin AsinB+bcos2A=2a则ba(A)2 3(B)2 2(C)3(D)2（5）从 1.2.3.4.5 中任取 2 各不同的数，事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(BA)

3、=(A)18(B)14(C)25(D)12（6）执行右面的程序框图，如果输入的 n 是 4，则输出的 P 是(A)8(B)5(C)3(D)2（7）设 sin1+=43（），则sin2(A)79(B)19(C)19(D)79（8）如图，四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形，SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是(A)ACSB(B)AB平面 SCD(C)SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角(D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角（9）设函数 f（x）=，1xxlog-11x 22x-1则满足 f（x）2 的 x 的取值范围是（A）-1，2（B）

4、0，2（C）1，+）（D）0，+）（10）若 a，b，c 均为单位向量，且 ab=0，（a-c）（b-c）0，则c-ba 的最大值为（A）1-2（B）1（C）2（D）2（11）函数 f（x）的定义域为 R，f（-1）=2，对任意 xR，f(x)2，则 f（x）2x+4的解集为（A）（-1，1）（B）（-1，+）（C）（-，-1）（D）（-，+）（12）已知球的直径 SC=4，A,B 是该球球面上的两点，AB=3，30BSCASC，则棱锥 S-ABC 的体积为（A）33（B）32（C）3（D）1第第卷卷本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分。第第 1313 题题-第第 2121

5、 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须做每个试题考生都必须做答。第答。第 2222 题题-第第 2424 题为选考题，考生根据要求做答。题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题二、填空题：本大题共：本大题共 4 4 小题，小题，每小题每小题 5 5 分。分。（13）已知点（2,3）在双曲线 C：1by-ax2222（a0，b0）上，C 的焦距为 4，则它的离心率为_.(14)调查了某地若干户家庭的年收入 x（单位：万元）和年饮食支出 y（单位：万元），调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加

6、 1 万元，年饮食支出平均增加_万元.（15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_.（16）已知函数 f（x）=Atan（x+）（0，2），y=f（x）的部分图像如下图，则 f（24）=_.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）已知等差数列an满足 a2=0，a6+a8=-10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前 n 项和。（18）（本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QA=AB=12PD。（I）证明：平面 P

7、QC平面 DCQ（II）求二面角 Q-BP-C 的余弦值。19.（本小题满分 12 分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验。选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2n 小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙。（I）假设 n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 X，求 X 的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成 8 小块，即 n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，

8、你认为应该种植哪一品种？附：样本数据 x1，x2，xa的样本方差，其中x为样本平均数。（20）（本小题满分 12 分）如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 lMN，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D。（I）设12e，求BC与AD的比值；（II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由(21)(本小题满分 12 分)已知函数 f（x）=lnx-ax2=（2-a）x.(I)讨论 f（x）的单调性；（II）设 a0，证明

9、：当 0 x1a时，f（1a+x）f（1a-x）；（III）若函数 y=f（x）的图像与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明：f（x0）0.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答是用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC=ED。（I）证明：CD/AB；（II）延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF=EG，证明：A，B，G，F 四点共圆。（2

10、3）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C1的参数方程为曲线 C2的参数方程为在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：=a 与 C1，C2各有一个交点。当 a=0 时，这两个交点间的距离为 2，当 a=2时，这两个交点重合。（I）分别说明 C1，C2是什么曲线，并求出 a 与 b 的值；(II)设当 a=4时，l 与 C1，C2的交点分别为 A1，B1,当 a=-4时，l 与 C1，C2 的交点为 A2，B2，求四边形 A1A2B2B1的面积。（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f（x）=

11、|x-2|-|x-5|。（I）证明：-3f（x）3；（II）求不等式 f（x）x2-8x+15 的解集。参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分）1（5 分）（2011辽宁）a 为正实数，i 为虚数单位，则 a=（）A2BCD1【解答】解：=1ai|=|1ai|=2即 a2=3由 a 为正实数解得 a=故选 B2（5 分）（2011辽宁）已知 M，N 为集合 I 的非空真子集，且 M，N 不相等，若 N（IM）=，则 MN=（）AMBNCID【解答】解：利用韦恩图画出满足题意 M，N 为集合

12、 I 的非空真子集，且 M，N 不相等，若N（IM）=的集合由图可得：MN=M故选 A3（5 分）（2011辽宁）已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为（）AB1CD【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出 A，B 的中点横坐标，求出线段 AB 的中点到 y 轴的距离【解答】解：F 是抛物线 y2=x 的焦点，F（）准线方程 x=，设 A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线

13、的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，|AF|+|BF|=3解得，线段 AB 的中点横坐标为，线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 故选 C【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离4（5 分）（2011辽宁）ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A2B2CD【考点】正弦定理的应用【专题】计算题【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理可气的 sinA 和 sinB的关系，最后利用正弦定理求得 a 和 b 的比【解答】解：

14、asin AsinB+bcos2A=a由正弦定理可知 sin2AsinB+sinBcos2A=sinAsinB（sin2A+cos2A）=sinB=sinA=选 D【点评】本题主要考查了正弦定理的应用考查了利用正弦定理进行边角问题的互化5（5 分）（2011辽宁）从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A：“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”，则 P（B|A）=（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【专题】计算题【分析】用列举法求出事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求 p（A），同理求出 P（AB），根据条件概率公式

15、 P（B|A）=即可求得结果【解答】解：事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），p（A）=，事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），P（AB）=P（B|A）=故选 B【点评】此题是个基础题考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度6（5 分）（2011辽宁）执行如图的程序框图，如果输入的 n 是 4，则输出的 p 是（）A8B5C3D2【考点】循环结构【专题】图表型【分析】根据输入的 n 是 4，然后判定 k=1，满足条件 k4，则执行循环体，依此类推，当k=4，不满足条件

16、 k4，则退出执行循环体，求出此时 p 的值即可【解答】解：k=1，满足条件 k4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，满足条件 k4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，满足条件 k4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不满足条件 k4，则退出执行循环体，此时 p=3故选：C【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模7（5 分）（2011辽宁）设 sin（+）=，则 sin2=（）ABC

17、D【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可 sin2的值【解答】解：由 sin（+）=sincos+cossin=（sin+cos）=，两边平方得：1+2sincos=，即 2sincos=，则 sin2=2sincos=故选 A【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题8（5 分）（2011辽宁）如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD底面 ABCD，则

18、下列结论中不正确的是（）AACSBBAB平面 SCDCSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角【考点】直线与平面垂直的性质【专题】综合题；探究型【分析】根据 SD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，以及三垂线定理，易证 ACSB，根据线面平行的判定定理易证 AB平面 SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出ASO 是SA 与平面 SBD 所成的角，CSO 是 SC 与平面 SBD 所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果【解答】解：SD底面 ABCD，底面

19、ABCD 为正方形，连接 BD，则 BDAC，根据三垂线定理，可得 ACSB，故 A 正确；ABCD，AB平面 SCD，CD平面 SCD，AB平面 SCD，故 B 正确；SD底面 ABCD，ASO 是 SA 与平面 SBD 所成的角，CSO 是 SC 与平面 SBD 所成的，而SAOCSO，ASO=CSO，即 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角，故 C 正确；ABCD，AB 与 SC 所成的角是SCD，DC 与 SA 所成的角是SAB，而这两个角显然不相等，故 D 不正确；故选 D【点评】此题是个中档题考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所

20、成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强9（5 分）（2011辽宁）设函数 f（x）=，则满足 f（x）2 的 x 的取值范围是（）A1，2 B0，2C1，+）D0，+）【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】分类讨论【分析】分类讨论：当 x1 时；当 x1 时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可【解答】解：当 x1 时，21x2 的可变形为 1x1，x0，0 x1当 x1 时，1log2x2 的可变形为 x，x1，故答案为0，+）故选 D【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解10（5 分）（2011辽宁）若为单位向量，且=0，则的最大值为（

21、）A1B1CD2【考点】平面向量数量积的运算；向量的模【专题】计算题；整体思想【分析】根据及为单位向量，可以得到，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得【解答】解：，即+0，又为单位向量，且=0，而=3232=1的最大值为 1故选 B【点评】此题是个中档题考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力11（5 分）（2011辽宁）函数 f（x）的定义域为 R，f（1）=2，对任意 xR，f（x）2，则 f（x）2x+4 的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，l）D（，+）【考点】其他

22、不等式的解法【专题】压轴题；函数思想【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为 F（x）构成一个函数，把x=1 代入 F（x）中，由 f（1）=2 出 F（1）的值，然后求出 F（x）的导函数，根据 f（x）2，得到导函数大于 0 即得到 F（x）在 R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到 F（x）大于 0 的解集，进而得到所求不等式的解集【解答】解：设 F（x）=f（x）（2x+4），则 F（1）=f（1）（2+4）=22=0，又对任意 xR，f（x）2，所以 F（x）=f（x）20，即 F（x）在 R 上单调递增，则 F（x）0 的解集为（1，+），即 f（x）2x+4 的

23、解集为（1，+）故选 B【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题12（5 分）（2011辽宁）已知球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上的两点，AB=，ASC=BSC=30，则棱锥 SABC 的体积为（）A3B2CD1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；压轴题【分析】设球心为点 O，作 AB 中点 D，连接 OD，CD，说明 SC 是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出 SSCD，和棱锥的高 AB，即可求出棱锥的体积【解答】解：设球心为点 O，作 AB 中点 D，连接 OD，CD 因为线段 SC 是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：SAC=

24、SBC=90所以在 RtSAC 中，SC=4，ASC=30 得：AC=2，SA=2又在 RtSBC 中，SC=4，BSC=30 得：BC=2，SB=2则：SA=SB，AC=BC因为点 D 是 AB 的中点所以在等腰三角形 ASB 中，SDAB 且 SD=在等腰三角形 CAB 中，CDAB 且 CD=又 SD 交 CD 于点 D 所以：AB平面 SCD 即：棱锥 SABC 的体积：V=ABSSCD，因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cosSDC=（SD2+CD2SC2）=（+16）=则：sinSDC=由三角形面积公式得SCD 的面积 S=SDCDsinSDC=3所以：棱锥 SAB

25、C 的体积：V=ABSSCD=故选 C【点评】本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13（5 分）（2011辽宁）已知点（2，3）在双曲线 C：=1（a0，b0）上，C 的焦距为 4，则它的离心率为2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】根据：=1 判断该双曲线的焦点在 x 轴上，且 C 的焦距为 4，可以求出焦点坐标，根据双曲线的定义可求 a，利用离心率的公式即可求出它的离心率【解答】解：=1，C 的焦距为 4，F1（2，

26、0），F2（2，0），点（2，3）在双曲线 C 上，2a=2，a=1，e=2故答案为 2【点评】此题是个基础题考查双曲线的定义和标准方程以及简单的几何性质，同时也考查了学生的运算能力14（5 分）（2011辽宁）调查了某地若干户家庭的年收 x（单位：万元）和年饮食支出 y（单位：万元），调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，井由调查数据得到 y 对x 的回归直线方程由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加0.254万元【考点】线性回归方程【专题】计算题【分析】写出当自变量增加 1 时的预报值，用这个预报值去减去自变量 x 对应的值，得到家庭年收入每增

27、加 1 万元，年饮食支出平均增加的数字，得到结果【解答】解：对 x 的回归直线方程=0.254（x+1）+0.321，=0.254（x+1）+0.3210.254x0.321=0.254故答案为：0.254【点评】本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应的 y 的值，注意本题所说的是平均增，注意叙述正确15（5 分）（2011辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是2【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；压轴题【分析】由题意求出正三棱柱的侧棱长，然后求出左视图矩形的边长

28、，即可求出左视图的面积【解答】解：设正三棱柱的侧棱长为：a，由题意可知，所以 a=2，底面三角形的高为：，所以左视图矩形的面积为：2=2故答案为：2【点评】本题是基础题，考查正三棱柱的三视图的面积的求法，考查计算能力，空间想象能力，常考题型16（5 分）（2011辽宁）已知函数 f（x）=Atan（x+）（0，|），y=f（x）的部分图象如图，则 f（）=【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题；作图题；压轴题【分析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出，确定 A 的值，根据（，0）求出的值，图象经过（0.1）确定 A 的值，求出函数的解析式，然后求出 f（）即

29、可【解答】解：由题意可知 T=，所以=2，函数的解析式为：f（x）=Atan（x+），因为函数过（，0）所以 0=Atan（+）所以=，图象经过（0，1），所以，1=Atan，所以 A=1，所以 f（x）=tan（2x+）则 f（）=tan（）=故答案为：【点评】本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值，考查计算能力三、解答题（共三、解答题（共 8 8 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（12 分）（2011辽宁）已知等差数列an满足 a2=0，a6+a8=10（）求数列an的通项公式；（）求数列的前 n 项和【考点】等差数列的通项公式；数列的求和【

30、专题】综合题【分析】（I）根据等差数列的通项公式化简 a2=0 和 a6+a8=10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作，然后给两边都除以 2 得另一个关系式记作，后，利用 an的通项公式及等比数列的前 n 项和的公式化简后，即可得到数列的前 n 项和的通项公式【解答】解：（I）设等差数列an的公差为 d，由已知条件可得，解得：，故数列an的通项公式为 an=2n；（II）设数列的前 n 项和为 Sn，即 Sn=a1+，故 S1=1，=+，当 n1 时，得：=a1+=

31、1（+）=1（1）=，所以 Sn=，综上，数列的前 n 项和 Sn=【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题18（12 分）（2011辽宁）如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QA=AB=PD（）证明：平面 PQC平面 DCQ（）求二面角 QBPC 的余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角【专题】计算题；证明题【分析】首先根据题意以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D

32、xyz；（）根据坐标系，求出、的坐标，由向量积的运算易得=0，=0；进而可得 PQDQ，PQDC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（）依题意结合坐标系，可得 B、的坐标，进而求出平面的 PBC 的法向量 与平面PBQ 法向量，进而求出 cos，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案【解答】解：如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz；（）依题意有 Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，1，0），所以=0，=0；即 PQDQ，PQDC，故 PQ平面 DCQ，又 P

33、Q平面 PQC，所以平面 PQC平面 DCQ；（）依题意，有 B（1，0，1），=（1，0，0），=（1，2，1）；设=（x，y，z）是平面的 PBC 法向量，则即，因此可取=（0，1，2）；设 是平面 PBQ 的法向量，则，可取=（1，1，1），所以 cos，=，故二面角角 QBPC 的余弦值为【点评】本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算19（12 分）（2011辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大

34、块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2n小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙（I）假设 n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 X，求 X 的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成 8 小块，即 n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据 x1，x2，xa的样本方差 s2=（x1）2

35、+（x1）2+（xn）2，其中 为样本平均数【考点】离散型随机变量的期望与方差；用样本的数字特征估计总体的数字特征【专题】计算题；应用题【分析】（I）根据题意得到变量 X 的可能取值是 0，1，2，3，4，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，列出分布列，算出变量的期望值（II）根据条件中所给的甲和乙两组数据，分别求出甲品种的每公顷产量的平均值和方差和乙的平均值和方差，把两个品种的平均值和方差进行比较，得到品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两个品种的样本方差差异不大，应选择种植品种乙【解答】解：（I）由题意知 X 的可能取值是 0，1，2，3，4，P（X=0）=P（X=1）=P（X=

36、2）=P（X=3）=，P（X=4）=X 的分布列为X01234PX 的期望是（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数=400，方差是=57.25品种乙每公顷的产量的样本平均数=412，方差是=56有以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两个品种的样本方差差异不大，故应选择种植品种乙【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查两组数据的平均值和方差，并且针对于所得的结果进行比较，本题考查利用概率统计知识解决实际问题20（12 分）（2011辽宁）如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在 x轴上椭圆 C2的短轴为 MN，且 C1，C2的离心率都为

37、 e直线 lMNl 与 C1交于两点，与 C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A、B、C、D（）e=，求|BC|与|AD|的比值；（）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由【考点】圆锥曲线的综合【专题】计算题；综合题【分析】（）先利用离心率相同，把两椭圆方程设出来，与直线 l 联立求出 A、B 的坐标，再利用椭圆图象的对称性求出|BC|与|AD|的长，即可求|BC|与|AD|的比值；（）BOAN，即是 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相等，利用斜率相等得到关于 t 和 a 以及e 的等式，再利用|t|a 和 0e1 就可求出何时 BDAN【解答】解：（

38、I）因为 C1，C2的离心率相同，故依题意可设，设直线 l：x=t（|t|a），分别与 C1，C2的方程联立，求得，（4 分）当，分别用 yA，yB表示的 A，B 的纵坐标，可知（6 分）（）t=0 时的 l 不符合题意，t0 时，BOAN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相等，即，解 t=a；因为|t|a，又 0e1，所以1，解得所以当 0e时，不存在直线 l，使得 BOAN；当时，存在直线 l，使得 BOAN【点评】本题考查椭圆的有关知识在第一问设方程时，充分利用离心率相同，把两椭圆方程用同两个变量设出来，减少了变量的引入，把问题变的简单化21（12 分）（2011辽

39、宁）已知函数 f（x）=lnxax2+（2a）x（I）讨论 f（x）的单调性；（）设 a0，证明：当 0 x 时，f（+x）f（x）；（）若函数 y=f（x）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明：f（x0）0【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题；分类讨论；转化思想【分析】（I）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间；（II）构造函数 g（x）=f（+x）f（x），利用导数求函数 g（x）当 0 x 时的最小值大于零即可，（III）设出函数y=f（x）的图象与 x 轴交于 A，B 两点的

40、横坐标，根据（I）（II）结论，即可证明结论【解答】解：（I）函数 f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，若 a0，则由 f（x）=0，得 x=，且当 x（0，）时，f（x）0，当 x（，+）时，f（x）0，所以 f（x）在（0，）单调递增，在（，+）上单调递减；当 a0 时，f（x）0 恒 成立，因此 f（x）在（0，+）单调递增；（II）设函数 g（x）=f（+x）f（x），则 g（x）=ln（1+ax）ln（1ax）2ax，g（x）=，当 x（0，）时，g（x）0，而 g（0）=0，所以 g（x）0，故当 0 x 时，f（+x）f（x）；（III）由（I）可得，当 a0 时，函数 y

41、=f（x）的图象与 x 轴至多有一个交点，故 a0，从而 f（x）的最大值为 f（），不妨设 A（x1，0），B（x2，0），0 x1x2，则 0 x1 x2，由（II）得，f（x1）=f（）f（x1）=f（x2）=0，又 f（x）在（，+）单调递减，x1x2，于是 x0=，由（I）知，f（x0）0【点评】此题是个难题考查利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力22（10 分）（2011辽宁）如图，A、B、C、D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC=ED（）证明：CDA

42、B；（）延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF=EG，证明：A、B、G、F 四点共圆【考点】圆內接多边形的性质与判定【专题】证明题【分析】（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆【解答】解：（I）因为 EC=ED，所以EDC=ECD因为 A，B，C，D 四点在同一圆上，所以EDC=EBA故ECD

43、=EBA，所以 CDAB（）由（I）知，AE=BE，因为 EF=EG，故EFD=EGC从而FED=GEC连接 AF，BG，EFAEGB，故FAE=GBE又 CDAB，FAB=GBA，所以AFG+GBA=180故 A，BG，F 四点共圆【点评】本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直线平行的判断和性质定理，考查三角形全等的判断和性质，考查四点共圆的判断，本题是一个基础题目23（2011辽宁）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），曲线 C2的参数方程为（ab0，为参数）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：=与 C1，C2各有一个交点当=0 时，

44、这两个交点间的距离为 2，当=时，这两个交点重合（I）分别说明 C1，C2是什么曲线，并求出 a 与 b 的值；（II）设当=时，l 与 C1，C2的交点分别为 A1，B1，当=时，l 与 C1，C2的交点为A2，B2，求四边形 A1A2B2B1的面积【考点】参数方程化成普通方程；圆与圆锥曲线的综合【专题】压轴题【分析】（I）有曲线 C1的参数方程为（为参数），曲线 C2的参数方程为（ab0，为参数），消去参数的 C1是圆，C2是椭圆，并利用当=0 时，这两个交点间的距离为 2，当=时，这两个交点重合，求出 a 及 b（II）利用 C1，C2的普通方程，当=时，l 与 C1，C2的交点分别为

45、A1，B1，当=时，l 与 C1，C2的交点为 A2，B2，利用面积公式求出面积【解答】解：（）C1是圆，C2是椭圆当=0 时，射线 l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为 2，所以 a=3当时，射线 l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），因为这两点重合所以 b=1（）C1，C2的普通方程为 x2+y2=1 和当时，射线 l 与 C1交点 A1的横坐标为，与 C2交点 B1的横坐标为当时，射线 l 与 C1，C2的两个交点 A2，B2分别与 A1，B1关于 x 轴对称，因此四边形 A1A2B2B1为梯形故四边形 A1A2B2B1

46、的面积为【点评】此题重点考查了消参数，化出曲线的一般方程，及方程的求解思想，还考查了利用条件的其交点的坐标，利用坐标准确表示出线段长度进而求其面积24（2011辽宁）已知函数 f（x）=|x2|x5|（）证明：3f（x）3；（）求不等式 f（x）x28x+15 的解集【考点】绝对值不等式的解法【专题】计算题；压轴题；分类讨论【分析】（）分 x2、2x5、x5，化简 f（x）=，然后即可证明3f（x）3（）由（）可知当 x2 时，当 2x5 时，当 x5 时，分别求出 f（x）x28x+15的解集【解答】解：（）f（x）=|x2|x5|=当 2x5 时，32x73，所以，3f（x）3（）由（）可知当 x2 时，f（x）x28x+15 的解集为空集；当 2x5 时，f（x）x28x+15 的解集为x|5x5当 x5 时，f（x）x28x+15 的解集为x|5x6综上：不等式 f（x）x28x+15 的解集：x|5x6【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的求法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型