2010年江西高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20102010 年江西高考理科数学真题及答案年江西高考理科数学真题及答案第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每个小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数 x，y 分别为（）A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=2【答案】D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得2()(1)xix iy，没有虚部，x=1,y=2.2.若集合A=|1x xxR，2B=|y yxxR，则AB=（）A.|11xx B.|0 x x C.|01xxD.【答案】C【解析】考查集合的性质与交集

2、以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、B；|11Axx，|0By y,解得AB=x|01x。在应试中可采用特值检验完成。3.不等式22xxxx的解集是（）A.(0 2)，B.(0)，C.(2)，D.(0)（-，0），【答案】A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.20 xx，解得 A。或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。4.2111lim 1333nx（）A.53B.32C.2D.不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。1133lim()1213nn5.等比数列 na中，12a，8a=4，函数 128()

3、()()f xx xaxaxa，则 0f（）A62B.92C.122D.152【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有 x 项均取 0，则 0f只与函数 f x的一次项有关；得：412123818()2a aaaa a。6.82x展开式中不含4x项的系数的和为（）A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令 x=1 得：系数和为 1，减去4x项系数80882(1)1C即为所求，答案为 0.7.E，F 是等腰直角ABC

4、 斜边 AB 上的三等分点，则tanECF（）A.1627B.23C.33D.34【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法 1：约定 AB=6,AC=BC=3 2,由余弦定理 CE=CF=10,再由余弦定理得4cos5ECF，解得3tan4ECF解法 2：坐标化。约定 AB=6,AC=BC=3 2,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得4cos5ECF，解得3tan4ECF。8.直线3ykx与圆22324xy相交于 M,N 两点，若2 3MN，则 k 的取值范围是A.304，B.304，C.3333，D.203，【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系

5、、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.解法 1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与 y 轴相切.当|MN|2 3时，由点到直线距离公式，解得3,04；解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取，排除 B，考虑区间不对称，排除 C，利用斜率估值，选 A9给出下列三个命题：函数11 cosln21 cosxyx与lntan2xy 是同一函数；若函数 yf x与 yg x的图像关于直线yx对称，则函数2yfx与 12yg x的图像也关于直线yx对称；若奇函数 f x对定义域内任意 x 都有(2)f xfx，则 f x为周期函数。其中真命题是A.B.C.D.【答案】C【解析】考查

6、相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，错误；排除A、B，验证,2()(2)fxfxfx,又通过奇函数得()fxf x，所以f（x）是周期为 2 的周期函数，选择 C。10.过正方体1111ABCDABC D的顶点A作直线L，使L与棱AB,AD,1AA所成的角都相等，这样的直线 L 可以作A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。11.一位国王的铸币大

7、臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p和2p，则A.1p=2pB.1p2pD。以上三种情况都有可能【答案】B【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为110，总概率为0010101(0.1)(0.9)C；同理，方法二：每箱的选中的概率为15，总事件的概率为0055141()()55C，作差得1pOBOC,分

8、别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S，2S，3S，则1S，2S，3S的大小关系为。【答案】321SSS【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为 1，2，3 得321SSS。三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）已知函数 21 cotsinsinsin44f xxxmxx。(1)当 m=0 时，求 f x在区间384，上的取值范围；(2)当tan2a 时，35f a，求 m 的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性

9、质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）当 m=0 时，22cos1 cos2sin2()(1)sinsinsin cossin2xxxf xxxxxx1 2sin(2)124x，由已知3,84x，得22,142x 从而得：()f x的值域为120,2（2）2cos()(1)sinsin()sin()sin44xf xxmxxx化简得：11()sin2(1)cos2 22f xxmx当tan2，得：2222sincos2tan4sin2sincos1tan5aaaaaaa，3cos25a，代入上式，m=-2

10、.18.（本小题满分 12 分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1）求的分布列；（2）求的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。（1）必须要走到 1 号门才能走出，可能的取值为 1，3，4，61(1)3

11、P，111(3)326P，111(4)326P，22111(6)()1323PA 分布列为：（2）11117134636632E 小时19.（本小题满分 12 分）设函数 lnln 2(0)f xxxax a。（1）当 a=1 时，求 f x的单调区间。（2）若 f x在01，上的最大值为12，求 a 的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。解：对函数求导得：11()2fxaxx，定义域为（0，2）（1）单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当 a=1 时，令2112()0+1=0022xfxxxxx得（）当(0,2),()0,xfx为增区间；当(2 2),()

12、0,xfx，为减函数。（2）区间01，上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量 a 的值。当01x，有最大值，则必不为减函数，且11()2fxaxx0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。max1(1)2ffa。20.（本小题满分 12 分）如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面BCD，AB平面 BCD，2 3AB。（1）求点 A 到平面 MBC 的距离；（2）求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。1346P13161613【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面

13、角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD.又平面MCD 平面BCD,则MO平面BCD，所以MOAB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=3，MOAB，MO/面 ABC，M、O 到平面 ABC 的距离相等，作 OHBC于 H，连 MH，则 MHBC，求得：OH=OCsin600=32,MH=152,利用体积相等得：2 155A MBCMABCVVd。（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线.由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BFEC于F，连AF，

14、则AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为BCE=120，所以BCF=60.sin603BFBC，tan2ABBF，2 5sin5所以，所求二面角的正弦值是2 55.【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决位置的元素解决解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面MCD 平面BCD,则MO平面BCD.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（

15、1，0，0），M（0，0，3），B（0，-3，0），A（0，-3，23），（1）设(,)nx y z是平面 MBC 的法向量，则BC=(1,3,0)，(0,3,3)BM ，由nBC 得30 xy；由nBM 得330yz；取(3,1,1),(0,0,2 3)nBA，则距离yx?M?D?C?B?O?Az2 155BA ndn （2）(1,0,3)CM ，(1,3,2 3)CA .设平面ACM的法向量为1(,)nx y z，由11nCMnCA 得3032 30 xzxyz .解得3xz，yz，取1(3,1,1)n.又 平 面BCD的 法 向 量 为(0,0,1)n，则1111cos,5n nn nn

16、n 设所求二面角为，则212 5sin1()55.【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎算必须慎之又慎21.（本小题满分 12 分）设椭圆22122:1(0)xyCabab，抛物线222:Cxbyb。（1）若2C经过1C的两个焦点，求1C的离心率；（2）设 A（0，b），53 34Q，,又 M、N 为1C与2C

17、不在 y 轴上的两个交点，若AMN 的垂心为34Bb0，且QMN 的重心在2C上，求椭圆1C和抛物线2C的方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：22cb，由222222122,22cabccea有。(2)由 题 设 可 知M、N关 于y轴 对 称，设11111(,),(,)(0)Mx yN x yx,由AMN的垂心为 B，有211130()()04BM ANxyb yb 。由点11(,)N x y在抛物线上，2211xbyb，解得：11()4byyb 或舍去故1555,(,),(,)22424bbxb MbNb，

18、得QMN重心坐标(3,)4b.由重心在抛物线上得：223,=24bbb所以，11(5,),(5,)22MN，又因为 M、N 在椭圆上得：2163a，椭圆方程为2216314xy，抛物线方程为224xy。22.（本小题满分 14 分）证明以下命题：（1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得222abc，成等差数列。（2）存在无穷多个互不相似的三角形n，其边长nnnabc，为正整数且222nnnabc，成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。（1）考虑到结构要证2222acb，；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值2221,5,7满足等差数列

19、，只需取 b=5a，c=7a，对一切正整数 a 均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当222nnnabc，成等差数列，则2222nnnnbacb，分解得：()()()()nnnnnnnnbabacbcb选取关于 n 的一个多项式，24(1)n n 做两种途径的分解2224(1)(22)(22)(22)(22)n nnnnnnn24(1)n n 对比目标式，构造222211(4)21nnnannbnncnn，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任 取 正 整 数m，n，若 m，n相 似：则 三 边 对 应 成 比 例2222222112121121mmmmmnnnnn，由比例的性质得：1111mmmnnn，与约定不同的值矛盾，故互不相似。