2011年湖北高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20112011 年湖北高考理科数学真题及答案年湖北高考理科数学真题及答案试卷类型：A注意事项：1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。3 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一

2、、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 l0l0 小题每小题小题每小题 5 5 分，共分，共 5050 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的有一项是满足题目要求的.1.i为虚数单位，则201111iiA.iB.1C.iD.1【答案】A解答：解答：因为iiiii221111，所以iiiiii3350242011201111，故选 A.2.已知1,log2xxyyU，2,1xxyyP，则PCUA.,21B.21,0C.,0D.,210,【答案】A解答：解答：由已知,0U.21,0P，所以,21PCU,故选 A.3.已知函数 xxxfcossin3，Rx

3、，若 1xf，则x的取值范围为A.Zkkxkx,3B.Zkkxkx,232C.Zkkxkx,656D.Zkkxkx,65262【答案】B解答：解答：由条件1cossin3xx得216sinx，则652662kxk，解得kxk232，Zk，所以选 B.4.将两个顶点在抛物线022ppxy上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则A.0nB.1nC.2nD.3n【答案】C解答：解答：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于 x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为n，2n，所以选 C.5.已知

4、随机变量服从正态分布2,2N，且8.04 P，则20PA.6.0B.4.0C.3.0D.2.0【答案】C解答：解答：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线2x对称，所以5.02 P，并且xyOFABCDxyO42则2420PPP所以选 C.6.已知定义在 R R 上的奇函数 xf和偶函数 xg满足 2xxaaxgxf1,0aa且，若 ag2，则 2fA.2B.415C.417D.2a【答案】B解答：解答：由条件 22222aagf，22222aagf，即 22222aagf，由此解得 22 g，222aaf，所以2a，41522222f，所以选 B.7.如图，用21AAK、三类不同的

5、元件连接成一个系统，K正常工作且21AA、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21AAK、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A.960.0B.864.0C.720.0D.576.0【答案】B解答：解答：21AA、至少有一个正常工作的概率为 211APAP 94.004.018.018.011，系统正常工作概率为 864.096.09.0121APAPKP，所以选 B.8.已知向量a a3,zx，b bzy,2，且a ab b.若yx,满足不等式1 yx，则z的取值范围为A.2,2B.3,2C.2,3D.3,3【答案】D解答：解答：因为a ab b，032zy

6、zx，KA1A2xyOA(0,1)B(1,0)C(0,-1)D(-1,0)l1l2则yxz32，yx,满足不等式1 yx，则点yx,的可行域如图所示,当yxz32 经过点1,0A时，yxz32 取得最大值 3当yxz32 经过点1,0 C时，yxz32 取得最小值-3所以选 D.9.若 实 数ba,满 足0,0ba，且0ab，则 称a与b互 补，记bababa22,，那么0,ba是a与b互补A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】C解答：解答：若实数ba,满足0,0ba，且0ab，则a与b至少有一个为 0，不妨设0b，则0,2aaaaba；反 之，

7、若0,22bababa，022baba两边平方得abbaba222220 ab，则a与b互补，故选 C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：3002tMtM，其中0M为0t时铯 137 的含量，已知30t时，铯 137 的含量的变化率是2ln10（太贝克/年），则60MA.5 太贝克B.2ln75太贝克C.2ln150太贝克D.150 太贝克【答案】D解答：解答：因为 300/22ln301tMtM，则2ln1022ln301303030

8、0/MM，解得6000M，所以 302600ttM，那么150416002600603060M（太贝克），所以选 D.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分.请将答案填在答题卡对应题号的请将答案填在答题卡对应题号的位位置置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831xx展开式中含15x的项的系数为.（结果用数值表示）【答案】17【解答】二项式展开式的通项公式为rrrrxxCT3118181rrrrxC

9、31211818，令2152118rrr，含15x的项的系数为17312218C，故填 17.12.在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过了保质期饮料的概率为.（结果用最简分数表示）【答案】14528解答：解答：从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，设至少取到 1 瓶已过了保质期饮料为事件 A，从这 30瓶饮料中任取 2 瓶，没有取到 1 瓶已过了保质期饮料为事件 B，则 A 与 B 是对立事件，因为 291513272302527CCBP，所以 145282915132711BPAP，所以填14528.12.九章算术“竹九节”问题：现

10、有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为升.【答案】6667解答：解答：设该数列 na的首项为1a，公差为d，依题意439874321aaaaaaa，即421336411dada，解得6673471dda，则ddadaa3741156667662134，所以应该填6667.14.如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系/Oyx（其中/y轴与y轴重合）所在的平面为，0/45xOx.（）已知平面内有一点2,22/P，则点/P在平面内的射影P的坐标为；（）已知平面内的曲线/C的方程是02222/2/yx

11、，则曲线/C在平面内的射影C的方程是.【答案】2,2,1122yx解答解答：（）设点/P在平面内的射影P的坐标为yx,，则点P的纵坐标和2,22/P纵坐标相同，所以2y，过点/P作OyHP/，垂足为H，连结PH，则0/45HPP，P横坐标0/45cosHPPHx2222245cos0/x，所以点/P在平面内的射影P的坐标为2,2；（）由（）得2245cos/0/xxx，yy/，所以yyxx/2代入曲线/C的方程02222/2/yx，得0222222yx1122yx，所以射影C的方程填1122yx.xy(y/)C/Ox/P/xy(y/)C/Ox/P/PH15.给n个则上而下相连的正方形着黑色或白

12、色.当4n时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当6n时，黑色正方形互不相邻着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种.（结果用数值表示）【答案】43,21解答：解答：设n个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为na，由图可知，21a，32a，213325aaa，324538aaa，由此推断1365435aaa，21138546aaa，故黑色正方形互不相邻着色方案共有 21 种；由于给 6 个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有 2 种方法，所以一共有6422222226种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有 21种，所以至少有两个黑色

13、正方形相邻着色方案共有432164种着色方案，故分别填43,21.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分 10 分）设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知11.2.cos.4abC（）求ABC的周长（）求cos AC的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分 10 分）解：（）22212cos14444cababC ABC的周长为1225.abc（）221115cos,sin1cos1().444

14、CCC,acAC，故 A 为锐角，17（本小题满分 12 分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明；当20200 x时，车流速度 v 是车流密度x的一次函数（）当0200 x时，求函数 v x的表达式;（）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）.f xxv x可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆

15、/小时）本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分 12 分）解：（）由题意：当020,()60 xv x时；当20200,()xv xaxb时 设再由已知得1,2000,32060,200.3aababb 解得故函数()v x的表达式为60,020,()1(200),202003xv xxx（）依题意并由（）可得60,020,()1(200),202003xxf xxxx当020,()xf x时为增函数，故当20 x 时，其最大值为 6020=1200；当20200 x时，211(200)10000()(200)3323xxf xxx当且仅当200 x

16、x，即100 x 时，等号成立。所以，当100,()xf x时在区间20，200上取得最大值10000.3综上，当100 x 时，()f x在区间0，200上取得最大值1000033333。即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时。18（本小题满分 12 分）如图，已知正三棱柱111ABCA B C的各棱长都是 4，E是BC的中点，动点F在侧棱1CC上，且不与点C重合（）当CF=1 时，求证：EF1AC；（）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求

17、解能力。（满分 12 分）解法 1：过 E 作ENAC于 N，连结 EF。（I）如图 1，连结 NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面 ABC侧面 A1C。又度面ABC 侧面 A，C=AC，且EN 底面 ABC，所以EN 侧面 A1C，NF 为 EF 在侧面 A1C 内的射影，在Rt CNE中，cos60CNCE=1，则由114CFCNCCCA，得 NF/AC1，又11,ACAC故1NFAC。由三垂线定理知1.EFAC（II）如图 2，连结 AF，过 N 作NMAF于 M，连结 ME。由（I）知EN 侧面 A1C，根据三垂线定理得,EMAF所以EMN是二面角 CAFE 的平面角，即EMN，设,0

18、45FAC则在Rt CNE中，sin603,NEEC 在,sin3sin,Rt AMNMNANaa中故3tan.3sinNEMNa又2045,0sin,2a 故当2sin,452a即当时，tan达到最小值；36tan233，此时 F 与 C1重合。解法 2：（I）建立如图 3 所示的空间直角坐标系，则由已知可得于是1(0,4,4),(3,1,1).CAEF 则1(0,4,4)(3,1,1)0440,CA EF 故1.EFAC（II）设,(04)CF，平面 AEF 的一个法向量为(,)mx y z，则由（I）得 F（0，4，）(3,3,0),(0,4,)AEAF ，于是由,mAE mAF 可得取

19、(3,4).m又由直三棱柱的性质可取侧面 AC1的一个法向量为(1,0,0)n，于是由为锐角可得|cos|m nmn222316,sin2424，所以2216116tan333，由04，得114，即116tan,333故当4，即点 F 与点 C1重合时，tan取得最小值6,319（本小题满分 13 分）已知数列 na的前n项和为nS，且满足：1aa(0)a，1nnarS(nN*，,1)rR r（）求数列 na的通项公式；（）若存在k N*，使得1kS，kS，2kS成等差数列，是判断：对于任意的mN*，且2m，1ma，ma，2ma是否成等差数列，并证明你的结论本小题主要考查等差数列、等比数列等基

20、础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分 13 分）解：（I）由已知1,nnarS可得21nnarS，两式相减可得即21(1),nnara又21,arara所以 r=0 时，数列na为：a，0，0，；当0,1rr 时，由已知0,0naa所以（*nN），于是由21(1),nnara可得211()nnarnNa，23,na aa成等比数列，当n2时，2(1).nnar ra综上，数列na的通项公式为21,(1),2nnnanar ra n（II）对于任意的*mN，且122,mmmmaaa成等差数列，证明如下：当 r=0 时，由（I）知，,1,0,2ma nan对于任意的*mN，且

21、122,mmmmaaa成等差数列，当0r，1r 时，若存在*kN，使得112,kkSS S成等差数列，则122kkkSSS，由（I）知，23,ma aa的公比12r ，于是对于任意的*mN，且122,2,4,mmmmmaaaa 从而12122,mmmmmmaaaaaa即成等差数列，综上，对于任意的*mN，且122,mmmmaaa成等差数列。20（本小题满分 14 分）平面内与两定点1(,0)Aa，2(,0)A a(0)a 连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上1A、2A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；（）当1m 时，对应的曲线为1C；

22、对给定的(1,0)(0,)mU，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。试问：在1C撒谎个，是否存在点N，使得1F N2F的面积2|Sm a。若存在，求tan1F N2F的值；若不存在，请说明理由。本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分 14 分）解：（I）设动点为 M，其坐标为(,)x y，当xa 时，由条件可得12222,MAMAyyykkmxa xaxa即222()mxymaxa，又12(,0),(,0)AaA A的坐标满足222,mxyma故依题意，曲线 C 的方程为222.mxyma当1,m 时曲线 C 的

23、方程为22221,xyCama是焦点在 y 轴上的椭圆；当1m 时，曲线 C 的方程为222xya，C 是圆心在原点的圆；当10m 时，曲线 C 的方程为22221xyama，C 是焦点在 x 轴上的椭圆；当0m 时，曲线 C 的方程为22221,xyamaC 是焦点在 x 轴上的双曲线。（II）由（I）知，当 m=-1 时，C1的方程为222;xya当(1,0)(0,)m 时，C2的两个焦点分别为12(1,0),(1,0).FamF am对于给定的(1,0)(0,)m，C1上存在点000(,)(0)N xyy 使得2|Sm a的充要条件是22200020,0,121|.2xyayam ym

24、a由得00|,ya由得0|.1m aym当|150,0,21m aamm即或1502m时，存在点 N，使 S=|m|a2；当|15,21m aam即-1m或152m时，不存在满足条件的点 N，当1515,00,22m时，由100200(1),(1,)NFamxyNFamxy ，可得22221200(1),NF NFxm ayma 令112212|,|,NFrNFrFNF，则由22121 21 2cos,cosmaNF NFrrmarr 可得，从而221 21sin1sintan22cos2maSrrma ，于是由2|Sm a，可得2212|tan|,tan.2mmam am 即综上可得：当15

25、,02m时，在 C1上，存在点 N，使得212|,tan2;Sm aFNF且当150,2m时，在 C1上，存在点 N，使得212|,tan2;Sm aFNF 且当1515(1,)(,)22m时，在 C1上，不存在满足条件的点 N。21（本小题满分 14 分）（）已知函数()1f xInxx，(0,)x，求函数()f x的最大值；（）设,kka b(1,2k，)n均为正数，证明：（1）若1 122aba bnna b 12bbnb，则12121nkkkna aa；（2）若12bbnb=1，则1n121222212.nkkknnb bbbbb本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查

26、综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分 14 分）解：（I）()f x的定义域为(0,)，令1()10,1.fxxx 解得当01,()0,()xfxf x时在（0，1）内是增函数；当1x 时，()0,()(1,)fxf x在内是减函数；故函数()1f xx 在处取得最大值(1)0.f（II）（1）由（I）知，当(0,)x时，有()(1)0,ln1.f xfxx即,0kka b，从而有ln1kkaa，得ln(1,2,)kkkkkbaa bb kn，求和得1111ln.nnnkkkkkkkkaa bb即1212ln()0,nkkkna aa12121.nkkkna aa（2）先证12121.nkkknb bbn令1(1,2,),kkaknnb则11111,nnnkkkkkka bbn 于是由（1）得1212111()()()1nkkknnbnbnb，即1212121,nnkkkkkknnnb bb再证122221212.nkkknnb bbbbb记21,(1,2,)nkkkkbSbaknS令，则2111111nnnkkkkkka bbbS，于是由（1）得1212()()()1.nkkknbbbSSS即121212,nnkkkkkknb bbSS综合，（2）得证。