2010年天津高考理科数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 0 年 天 津 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案本 试 卷 分 为 第 卷（选 择 题）和 第 卷（非 选 择 题）两 部 分，共 1 5 0 分，考 试 用 时 1 2 0 分 钟，第 卷 1 至 3 页，第 卷 4 至 1 1 页。考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。祝 各 位 考 生 考 试 顺 利！第 卷注 意 事 项：1 答 第 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 和 准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上，并 在 规 定 位 置 粘 贴 考试 用 条 形 码。2 每 小 题 选 出 答 案 后，用 铅 笔 把 答

2、 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑，如 需 改 动，用 橡 皮 擦干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号，答 在 试 卷 上 的 无 效。3 本 卷 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分。参 考 公 式：如 果 事 件 A、B 互 斥，那 么 如 果 事 件 A、B 相 互 独 立，那 么P(A B)=P(A)+P(B)P(A B)=P(A)P(B)棱 柱 的 体 积 公 式 V=S h,棱 锥 的 体 积 公 式 V=13s h,其 中 S 标 示 棱 柱 的 底 面 积。其 中 S 标 示 棱 锥 的 底 面 积。h 表 示 棱 柱 的 高。

3、h 示 棱 锥 的 高。一 选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。（1）i 是 虚 数 单 位，复 数1 31 2ii(A)1 i(B)5 5 i(C)-5-5 i(D)-1 i（2）函 数 f(x)=2 3xx 的 零 点 所 在 的 一 个 区 间 是(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）（3）命 题“若 f(x)是 奇 函 数，则 f(-x)是 奇 函 数”的 否 命 题 是(A)若 f(x)是 偶 函 数，则 f(-x)是 偶 函 数（B）若 f(x)不 是 奇 函 数，则 f(-x)

4、不 是 奇 函 数（C）若 f(-x)是 奇 函 数，则 f(x)是 奇 函 数（D）若 f(-x)不 是 奇 函 数，则 f(x)不 是 奇 函 数（4）阅 读 右 边 的 程 序 框 图，若 输 出 s 的 值 为-7，则 判 断 框 内 可 填 写(A)i 3?（B）i 4?（C）i 5?（D）i 6?(5)已 知 双 曲 线2 22 21(0,0)x ya ba b 的 一 条 渐 近线 方 程 是 y=3 x,它 的 一 个 焦 点 在 抛 物 线224 y x 的 准 线 上，则 双 曲 线 的 方 程 为（A）2 2136 108x y（B）2 219 27x y（C）2 211

5、08 36x y（D）2 2127 9x y（6）已 知 na 是 首 项 为 1 的 等 比 数 列，ns 是 na 的 前 n 项 和，且3 69 s s，则 数 列1na 的 前 5 项 和 为（A）158或 5（B）3116或 5（C）3116（D）158（7）在 A B C 中，内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c，若2 23 a b bc，s i n 2 3 s i n C B，则 A=（A）030（B）060（C）0120（D）0150（8）若 函 数 f(x)=212l og,0,l og(),0 x xx x,若 f(a)f(-a),则 实 数 a 的 取

6、值 范 围 是（A）（-1，0）（0，1）（B）（-，-1）（1,+）（C）（-1，0）（1,+）（D）（-，-1）（0,1）(9)设 集 合 A=|1,|2,.x x a x R B x x b x R 若 A B,则 实 数 a,b 必 满 足（A）|3 a b（B）|3 a b（C）|3 a b（D）|3 a b(1 0)如 图，用 四 种 不 同 颜 色 给 图 中 的 A,B,C,D,E,F 六 个 点 涂色，要 求 每 个 点 涂 一 种 颜 色，且 图 中 每 条 线 段 的 两 个 端 点 涂 不同 颜 色，则 不 同 的 涂 色 方 法 用（A）2 8 8 种（B）2 6 4

7、 种（C）2 4 0 种（D）1 6 8 种2 0 1 0 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（天 津 卷）数 学（理 工 类）第 卷注 意 事 项：1 答 卷 前 将 密 封 线 内 的 项 目 填 写 清 楚。2 用 钢 笔 或 圆 珠 笔 直 接 答 在 试 卷 上。3 本 卷 共 1 2 小 题，共 1 0 0 分。二 填 空 题：本 大 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分，把 答 案 天 灾 题 中 横 线 上。（1 1）甲、乙 两 人 在 1 0 天 中 每 天 加 工 零 件 的 个 数 用 茎 叶 图 表 示 如 下 图，中 间 一

8、列 的 数字 表 示 零 件 个 数 的 十 位 数，两 边 的 数 字 表 示 零 件 个 数 的 个 位 数，则 这 1 0 天 甲、乙 两 人日 加 工 零 件 的 平 均 数 分 别 为 和。（1 2）一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 这 个 几 何 体 的 体 积 为（1 3）已 知 圆 C 的 圆 心 是 直 线1,(1xty t 为 参 数）与 x 轴 的 交 点，且 圆 C 与 直 线 x+y+3=0相 切，则 圆 C 的 方 程 为（1 4）如 图，四 边 形 A B C D 是 圆 O 的 内 接 四 边 形，延 长A B 和 D C 相 交 于 点

9、P，若P B 1 P C 1=,=P A 2 P D 3,则B CA D的值 为（1 5）如 图，在 A B C 中，A D A B,3 B C B D,1 A D,则 A C A D.（1 6）设 函 数2()1 f x x，对 任 意2,3x，24()(1)4()xf m f x f x f mm 恒 成 立，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是.三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 6 分。解 答 题 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤。（1 7）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数2()2 3 s i n c os 2 c os 1(

10、)f x x x x x R（）求 函 数()f x 的 最 小 正 周 期 及 在 区 间 0,2 上 的 最 大 值 和 最 小 值；（）若0 06(),5 4 2f x x，求0c os 2 x 的 值。（1 8）.（本 小 题 满 分 1 2 分）某 射 手 每 次 射 击 击 中 目 标 的 概 率 是23，且 各 次 射 击 的 结 果 互 不 影 响。（）假 设 这 名 射 手 射 击 5 次，求 恰 有 2 次 击 中 目 标 的 概 率（）假 设 这 名 射 手 射 击 5 次，求 有 3 次 连 续 击 中 目 标。另 外 2 次 未 击 中 目 标 的 概 率；（）假 设

11、 这 名 射 手 射 击 3 次，每 次 射 击，击 中 目 标 得 1 分，未 击 中 目 标 得 0 分，在 3 次 射击 中，若 有 2 次 连 续 击 中，而 另 外 1 次 未 击 中，则 额 外 加 1 分；若 3 次 全 击 中，则 额 外 加 3分，记 为 射 手 射 击 3 次 后 的 总 的 分 数，求 的 分 布 列。（1 9）（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，在 长 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，E、F 分 别 是 棱 B C,1C C上 的 点，2 C F A B C E,1:1:2:4 A B A D A A（1）求 异 面 直 线

12、 E F 与1A D 所 成 角 的 余 弦 值；（2）证 明 A F 平 面1A E D（3）求 二 面 角1A E D F 的 正 弦 值。（2 0）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 椭 圆2 22 21(0 x ya ba b）的 离 心 率32e，连 接 椭 圆 的 四 个 顶 点 得 到 的 菱 形 的 面 积为 4。（1）求 椭 圆 的 方 程；（2）设 直 线 l 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点,A B，已 知 点 A 的 坐 标 为（,0 a），点0(0,)Q y 在 线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 上，且 4 Q A Q B，求0y 的 值（2 1

13、）（本 小 题 满 分 1 4 分）已 知 函 数()()xf x x c x R（）求 函 数()f x 的 单 调 区 间 和 极 值；（）已 知 函 数()y g x 的 图 象 与 函 数()y f x 的 图 象 关 于 直 线 1 x 对 称，证 明 当1 x 时，()()f x g x（）如 果1 2x x，且1 2()()f x f x，证 明1 22 x x（2 2）（本 小 题 满 分 1 4 分）在 数 列 na 中，10 a，且 对 任 意*k N.2 1 ka，2 ka，2 1 ka成 等 差 数 列，其 公 差 为kd。（）若kd=2 k，证 明2 ka，2 1 k

14、a，2 2 ka成 等 比 数 列（*k N）（）若 对 任 意*k N，2 ka，2 1 ka，2 2 ka成 等 比 数 列，其 公 比 为kq。2 0 1 0 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（天 津 卷）数 学（理 工 类）参 考 解 答一、选 择 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算。每 小 题 5 分，满 分 5 0 分。（1）A（2）B（3）B（4）D（5）B（6）C（7）A（8）C（9）D（1 0）B二 填 空 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分。（1 1）2 4:2 3（1

15、 2）103（1 3）2 2(1)2 x y（1 4）66（1 5）3(1 6)3 3,2 2 三、解 答 题（1 7）本 小 题 主 要 考 查 二 倍 角 的 正 弦 与 余 弦、两 角 和 的 正 弦、函 数 s i n()y A x 的 性质、同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系、两 角 差 的 余 弦 等 基 础 知 识，考 查 基 本 运 算 能 力，满 分 1 2 分。（1）解：由2()2 3 s i n c os 2 c os 1 f x x x x，得2()3(2 s i n c os)(2 c os 1)3 s i n 2 c os 2 2 s i n(2)6f x

16、x x x x x x 所 以 函 数()f x 的 最 小 正 周 期 为 因 为()2 s i n 26f x x 在 区 间 0,6 上 为 增 函 数，在 区 间,6 2 上 为 减 函 数，又(0)1,2,16 2f f f，所 以 函 数()f x 在 区 间 0,2 上 的 最 大 值 为 2，最 小 值为-1（）解：由（1）可 知0 0()2 s i n 26f x x 又 因 为06()5f x，所 以03s i n 26 5x 由0,4 2x，得02 72,6 3 6x 从 而20 04c os 2 1 s i n 26 6 5x x 所 以0 0 0 03 4 3c os

17、 2 c os 2 c os 2 c os s i n 2 s i n6 6 6 6 6 6 10 x x x x 1 8.本 小 题 主 要 考 查 二 项 分 布 及 其 概 率 计 算 公 式、离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列、互 斥 事 件 和 相互 独 立 事 件 等 基 础 知 识，考 查 运 用 概 率 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力，满 分 1 2 分。（1）解：设 X 为 射 手 在 5 次 射 击 中 击 中 目 标 的 次 数，则 X 25,3B.在 5 次 射 击 中，恰有 2 次 击 中 目 标 的 概 率2 2252 2 40(2)13 3 2

18、43P X C（）解：设“第 i 次 射 击 击 中 目 标”为 事 件(1,2,3,4,5)iA i；“射 手 在 5 次 射 击 中，有 3 次 连 续 击 中 目 标，另 外 2 次 未 击 中 目 标”为 事 件 A,则1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5()()()()P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A=3 2 3 2 32 1 1 2 1 1 23 3 3 3 3 3 3=881（）解：由 题 意 可 知，的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,3,631 2 31 1(0)()3 27P P A A A 1 2

19、 3 1 2 3 1 2 3(1)()()()P P A A A P A A A P A A A=2 22 1 1 2 1 1 2 23 3 3 3 3 3 3 9 1 2 32 1 2 4(2)()3 3 3 27P P A A A 1 2 3 1 2 3(3)()()P P A A A P A A A 2 22 1 1 1 83 3 3 3 27 1 2 3(6)()P P A A A 32 83 27 所 以 的 分 布 列 是（1 9）本 小 题 主 要 考 查 异 面 直 线 所 成 的 角、直 线 与 平 面 垂 直、二 面 角 等 基 础 知 识，考 查 用 空 间 向 量 解

20、决 立 体 几 何 问 题 的 方 法，考 查 空 间 想 象 能 力、运 算 能 力 和 推 理论 证 能 力，满 分 1 2 分。方 法 一：如 图 所 示，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，点 A 为 坐 标 原 点，设 1 A B,依 题 意 得(0,2,0)D,(1,2,1)F,1(0,0,4)A,31,02E（1）解：易 得10,12E F,1(0,2,4)A D 于 是1113c os,5E F A DE F A DE F A D 所 以 异 面 直 线 E F 与1A D 所 成 角 的 余 弦 值 为35（2）证 明：已 知(1,2,1)A F,131,42E A,11,0

21、2E D 于 是 A F 1E A=0，A F E D=0.因 此，1A F E A,A F E D,又1E A E D E 所 以 A F 平 面1A E D(3)解：设 平 面 E F D 的 法 向 量(,)u x y z，则00u E Fu E D,即102102y zx y 不 妨 令 X=1,可 得(1,2 1u）。由（2）可 知，A F为 平 面1A E D 的 一 个 法 向 量。于 是2c os,=3|A FA F|A F|uuu，从 而5s i n,=3A F u 所 以 二 面 角1A-E D-F 的 正 弦 值 为53方 法 二：（1）解：设 A B=1，可 得 A D

22、=2,A A1=4,C F=1.C E=12链 接 B1C,B C1，设 B1C 与 B C1交 于 点 M,易 知 A1D B1C，由1C E C F 1=C B C C 4,可 知 E F B C1.故B M C 是 异 面 直 线 E F 与 A1D 所 成 的 角，易 知B M=C M=11B C=52,所 以2 2 23c os2 5B M C M B CB M CB M C M,所 以 异 面 直 线 F E与 A1D 所 成 角 的 余 弦 值 为35（2）证 明：连 接 A C，设 A C 与 D E 交 点 N 因 为12C D E CB C A B，所 以 R t D C

23、E R t C B A，从 而 C D E B C A，又 由 于 9 0 C D E C E D,所 以9 0 B C A C E D，故 A C D E,又 因 为 C C1 D E 且1C C A C C，所 以 D E 平 面 A C F，从 而 A F D E.连 接 B F，同 理 可 证 B1C 平 面 A B F,从 而 A F B1C,所 以 A F A1D 因 为1D E A D D，所 以 A F 平 面 A1E D(3)解：连 接 A1N.F N,由（2）可 知 D E 平 面 A C F,又 N F 平 面 A C F,A1N 平 面 A C F，所 以 D E N

24、F,D E A1N,故1A N F 为 二 面 角 A1-E D-F 的 平 面 角易 知 R t C N E R t C B A，所 以C N E CB C A C，又 5 A C 所 以55C N，在2 21305R t N C F N F C F C N R t A A N 中，在 中2 21 14 305N A A A A N 连 接 A1C1,A1F 在2 21 1 1 1 1 114 R t A C F A F A C C F 中，2 2 21 11 112c os2 3A N F N A FR t A N F A N FA N F N 在 中，。所 以15s i n3A N F

25、所 以 二 面 角 A1-D E-F 正 弦 值 为53（2 0）本 小 题 主 要 考 察 椭 圆 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质，直 线 的 方 程，平 面 向 量 等 基 础 知 识，考查 用 代 数 方 法 研 究 圆 锥 曲 线 的 性 质 及 数 形 结 合 的 思 想，考 查 运 算 和 推 理 能 力，满 分 1 2 分（1）解：由3e2ca，得2 23 4 a c，再 由2 2 2c a b，得 2 a b 由 题 意 可 知，12 2 4,22a b ab 即解 方 程 组22a bab 得 a=2,b=1所 以 椭 圆 的 方 程 为2214xy(2)解：由（1）

26、可 知 A（-2,0）。设 B 点 的 坐 标 为（x1,y1）,直 线 l 的 斜 率 为 k，则 直 线 l 的方 程 为 y=k(x+2),于 是 A,B 两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组22(2)14y k xxy 由 方 程 组 消 去 Y 并 整 理，得2 2 2 2(1 4)16(16 4)0 k x k x k 由21 216 42,1 4kxk 得21 1 2 22 8 4,1 4 1 4k kx yk k 从 而设 线 段 A B 是 中 点 为 M，则 M 的 坐 标 为22 28 2(,)1 4 1 4k kk k 以 下 分 两 种 情 况：（1）当 k=0 时

27、，点 B 的 坐 标 为（2,0）。线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 为 y 轴，于 是0 0 0(2,y),(2,=2 Q A Q B y Q A Q B y）由 4，得=2（2）当 K 0 时，线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 方 程 为22 22 1 8()1 4 1 4k kY xk k k 令 x=0，解 得0 261 4kyk由0 1 1 0(2,y),(,Q A Q B x y y）21 0 1 0 2 2 2 22(2 8)6 4 62()1 4 1 4 1 4 1 4k k k kQ A Q B x y y yk k k k）=4 22 24(16 15 1)4(

28、1 4)k kk=整 理 得2014 2 147 2,=7 5k k y 故 所 以综 上0 02 14=2 2=5y y 或（2 1）本 小 题 主 要 考 查 导 数 的 应 用，利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 极 值 等 基 础 知 识，考 查 运算 能 力 及 用 函 数 思 想 分 析 解 决 问 题 的 能 力，满 分 1 4 分（）解：f()(1)xx x e 令 f(x)=0,解 得 x=1当 x 变 化 时，f(x)，f(x)的 变 化 情 况 如 下 表X(,1)1(1,)f(x)+0-f(x)极 大 值所 以 f(x)在(,1)内 是 增 函 数，在(

29、1,)内 是 减 函 数。函 数 f(x)在 x=1 处 取 得 极 大 值 f(1)且 f(1)=1e（）证 明：由 题 意 可 知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)2 xe令 F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)x xF x x e x e 于 是2 2()(1)(1)x xF x x e e 当 x 1 时，2 x-2 0,从 而2x-2e 1 0,0,Fxe 又 所 以(x)0,从 而 函 数 F（x）在 1,+)是 增 函 数。又 F(1)=-1-1e e 0，所 以 x1 时，有 F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).)证 明：（1）若1 2 1 2

30、1 2(1)(1)0,),1.x x x x x x 1 2由（）及 f(x f(x 则 与 矛 盾。（2）若1 2 1 2 1 2(1)(1)0,),.x x x x x x 1 2由（）及 f(x f(x 得 与 矛 盾。根 据（1）（2）得1 2 1 2(1)(1)0,1,1.x x x x 不 妨 设由（）可 知，)2f(x)2g(x,则)2g(x=)2f(2-x，所 以)2f(x)2f(2-x,从 而)1f(x)2f(2-x.因 为21 x，所 以22 1 x，又 由（）可 知 函 数 f(x)在 区 间（-，1）内 事 增 函 数，所 以1x 22 x,即1 2x x 2.(2 2

31、)本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 定 义 及 通 项 公 式，前 n 项 和 公 式、等 比 数 列 的 定 义、数 列 求和 等 基 础 知 识，考 查 运 算 能 力、推 理 论 证 能 力、综 合 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力 及 分 类 讨 论 的 思想 方 法。满 分 1 4 分。（）证 明：由 题 设，可 得*4,2 1 2 1a a k k Nk k。所 以1 3 1()().()2 1 2 1 2 1 2 1 2 3a a a a a a a ak k k k k=4 4(1).4 1 k k=2 k(k+1)由1a=0，得2 22(1),2 2,2(

32、1).2 1 2 2 1 2 2a k k a a k k a kk k k k 从 而于 是1 12 1 2 2 2 2 2 1,2 2 1 2 1 2a a a ak kk k k ka k a k a ak k k k 所 以。所 以*2,2 2 1 2 2kd k k N a a ak k k 时，对 任 意 成 等 比 数 列。（）证 法 一：（i）证 明：由2,2 1 2 1ka a ak k 成 等 差 数 列，及,2 2 1 2 2a a ak k k 成等 比 数 列，得2 1 2 1 12,22 2 1 2 12 2 1ka ak ka a a qk k ka a qk k

33、 k 当1q 1 时，可 知kq 1，k*N从 而1 1 1 1 11,1(2)1 111 1 1 12 11kq q q qk k k kqk 即所 以11 qk 是 等 差 数 列，公 差 为 1。（）证 明：10 a，22 a，可 得34 a，从 而142,2q 111q=1.由（）有*1 11 1,1kkk k q k Nq kk 得所 以2*22 2 2 1 1 2 2 1,2 1 2 2a a ak k k k kk Na a k a kk k k（）从 而因 此，2 2 22*2 2 2 2(1)22 2 2 1 4.2 2.2(1),2 2 1 2(1)(2)12 2 2 4

34、2ka a ak kk k ka a k a a k k k Nk ka a a k k kk k 以 下 分 两 种 情 况 进 行 讨 论：（1）当 n 为 偶 数 时，设 n=2 m(*m N)若 m=1,则222 2nkkkna.若 m 2，则2 2 2 2 122 1 1 12 2 1(2)(2 1)42n m m mk k k kk k kk k k ka a a k+2 2 1 1 11 1 14 4 1 4 4 1 1 1 12 2 22(1)2(1)2(1)2 11 1 3 12 2(1)(1)22 2.m m mk k kk k k km mk k k k k k k km

35、 m nm n 所 以2 22 23 1 32,2 2,4,6,8.2 2n nk kk kk kn n na n a 从 而(2)当 n 为 奇 数 时，设 n=2 m+1（*m N）2 2 2 2 22 22 1(2 1)3 1(2 1)42 2 2(1)n mk kk k mk k m mma a a m m m 1 1 3 14 22 2(1)2 1m nm n 所 以223 12,2 1nkkkna n 从 而2232 2,3,5,72nkkkn na 综 合（1）（2）可 知，对 任 意 2 n,n N,有2232 22nkkkna 证 法 二：（i）证 明：由 题 设，可 得2

36、1 2 2 2 2(1),k k k k k k k kd a a q a a a q 21 2 2 2 1 2 2 2(1),k k k k k k k k k kd a a q a q a a q q 所 以1 k k kd q d2 3 2 2 1 11 22 2 2 2 2 211 1 1k k k k k kkk k k k k k ka a d d d qqa a q a q a q 由11 q 可 知 1,*kq k N。可 得11 1 111 1 1 1kk k k kqq q q q，所 以11kq 是 等 差 数 列，公 差 为 1。（i i）证 明：因 为1 20,2,a a 所 以1 2 12 d a a。所 以3 2 14 a a d，从 而3122aqa，1111 q。于 是，由（i）可 知 所 以11kq 是公 差 为 1 的 等 差 数 列。由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 得11kq=1 1 k k，故1kkqk。从 而11kkkd kqd k。所 以1 21 1 2 11 2.1 2 1k k kk kd d d d k kkd d d d k k，由12 d，可 得2kd k。于 是，由（i）可 知 22 1 22 1,2,*k ka k k a k k N 以 下 同 证 法 一。