2011年四川高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20112011 年四川高考理科数学年四川高考理科数学真题及答案真题及答案一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分）1（5 分）有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5，15.5）2；15.5，19.5）4；19.5，23.5）9；23.5，27.5）18；27.5，31.5）11；31.5，35.5）12；35.5，39.5）7；39.5，43.5）3根据样本的频率分布估计，数据31.5，43.5）的概率约是（）ABCD【解答】解：根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在31.5，43.5）范围的

2、有31.5，35.5）12；35.5，39.5）7；39.5，43.5）3，满足题意的数据有 12+7+3=22 个，总的数据有 66 个，根据等可能数据的概率得到 P=，故选：B2（5 分）复数=（）A2i BC0D2i【解答】解：复数=2i故选 A3（5 分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【解答】解：对于 A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A 错；对于 B，l1l2，l1，l2所成的角是 90，又l2l3

3、l1，l3所成的角是 90l1l3，B 对；对于 C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故 C 错；对于 D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故 D 错故选 B4（5 分）如图，正六边形 ABCDEF 中，=（）ABCD【解答】解：根据正六边形的性质，我们易得=故选 D5（5 分）函数 f（x）在点 x=x0处有定义是 f（x）在点 x=x0处连续的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件 D既不充分也不必要的条件【解答】解：由 f（x）在点 x=x0处连续的定义，可知 f（x）在点 x=x0处连续函数 f（x）在点 x=x0处有定义；反之不成立故为必要而不充分的条件故选：B

4、6（5 分）在ABC 中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则 A 的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）【解答】解：由正弦定理可知 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，a2b2+c2bc，bcb2+c2a2cosA=AA0A 的取值范围是（0，故选 C7（5 分）已知 f（x）是 R 的奇函数，且当 x0 时，则 f（x）的反函数的图象大致是（）ABCD【解答】解：f（x）是 R 的奇函数，故 f（x）的反函数也为奇函数，又x0 时，此时其反函数（1x2）分析四个答案，发现只有 A 答案满足条件故选 A

5、8（5 分）数列an的首项为 3，bn为等差数列且 bn=an+1an（nN*），若 b3=2，b10=12，则 a8=（）A0B3C8D11【解答】解：依题意可知求得 b1=6，d=2bn=an+1an，b1+b2+bn=an+1a1，a8=b1+b2+b7+3=+3=3故选 B9（5 分）某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7辆载重量为 6 吨的乙型卡车，某天需送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡需配 1 名工人；每送一次可得利

6、润 350 元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润 z=（）A4650 元B4700 元C4900 元D5000 元【解答】解：设派 x 辆甲卡车，y 辆乙卡车，利润为 z，由题意得：z=450 x+350y由题意得 x，y 满足下列条件：上述条件作出可行域，如图所示：由图可知，当 x=7，y=5 时，450 x+350y 有最大值 4900故选 C10（5 分）在抛物线 y=x2+ax5（a0）上取横坐标为 x1=4，x2=2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切，则抛物线顶点的坐标为（）A（2，9）B（0，5）C

7、（2，9）D（1，6）【解答】解：两点坐标为（4，114a）；（2，2a1），两点连线的斜率 k=，对于 y=x2+ax5，y=2x+a，2x+a=a2 解得 x=1，在抛物线上的切点为（1，a4），切线方程为（a2）xy6=0，该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，解得 a=4 或 0（0 舍去），抛物线方程为 y=x2+4x5 顶点坐标为（2，9）故选 A11（5 分）已知定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）=3f（x+2），当 x0，2）时，f（x）=x2+2x，设 f（x）在2n2，2n）上的最大值为 an（nN+）且an的前 n 项和为Sn，则=（）A3BC2

8、D【解答】解：因为 f（x）=3f（x+2），所以 f（x+2）=f（x），就是函数向右平移 2 个单位，最大值变为原来的，a1=f（1）=1，q=，所以 an=，Sn=，=故选 D12（5 分）在集合 1，2，3，4，5 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为 n，其中面积不超过 4 的平行四边形的个数 m，则=（）ABCD【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从数字中选出两个数字，组成向量，a 的取法有 2 种，b 的取法有 3 种，故向

9、量=（a，b）有 6 个，从中任取两个向量共 C62=15 种结果，满足条件的事件是平行四边形的面积不超过 4 的由列举法列出共有 5 个，根据等可能事件的概率得到 P=故选 B二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 1616 分）分）13（4 分）计算=20【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算【专题】计算题【分析】利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值【解答】解：=lg=20故答案为：20【点评】本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则14（4 分）双曲线=1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是

10、4，那么点 P 到左准线的距离是16【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】利用双曲线的方程求出参数 a，b，c；求出准线方程，离心率的值；利用双曲线的第二定义求出点 P 的横坐标；求出 P 到左准线的距离【解答】解：由双曲线的方程知 a=8，b=6所以 c=10准线方程为 x=；离心率 e=设点 P 到右准线的距离为 d 则由双曲线定义得即 d=设 P（x，y）则 d=|=所以 x=所以点 P 到左准线的距离是故答案为 16【点评】本题考查由双曲线的方程得到三个参数值注意最大的参数是 c、考查双曲线的准线方程与离心率、考查双曲线的第二定义、利用第二定义解决双曲线上的点到焦点距离的有关问

11、题15（4 分）如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是2R2【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积【专题】计算题；压轴题【分析】设出圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值【解答】解：设圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为，则 r=Rcos，圆柱的高为 2Rsin，圆柱的侧面积为：2R2sin2，当且仅当=时，sin2=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：2R2，球的表面积为：4R2，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：2R2

12、故答案为：2R2【点评】本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型16（4 分）函数 f（x）的定义域为 A，若 x1，x2A 且 f（x1）=f（x2）时总有 x1=x2，则称 f（x）为单函数例如，函数 f（x）=2x+1（xR）是单函数下列命题：函数 f（x）=x2（xR）是单函数；若 f（x）为单函数，x1，x2A 且 x1x2，则 f（x1）f（x2）；若 f：AB 为单函数，则对于任意 bB，它至多有一个原象；函数 f（x）在某区间上具有单调性，则 f（x）一定是单函数其中的真命题是（写出所有真命题的编号）【考点】抽象函数及

13、其应用【专题】压轴题；新定义【分析】根据单函数的定义 f（x1）=f（x2）时总有 x1=x2，可知函数 f（x）则对于任意 bB，它至多有一个原象，而f（1）=f（1），显然11，可知它不是单函数，都是，可得结果【解答】解：若 x1，x2A，且 f（x1）=f（x2）时总有 x1=x2，则称 f（x）为单函数函数 f（x）=x2不是单函数，f（1）=f（1），显然11，函数 f（x）=x2（xR）不是单函数；函数 f（x）=2x（xR）是增函数，f（x1）=f（x2）时总有 x1=x2，即正确；f（x）为单函数，对于任意 bB，若x1x2，使得 f（x1）=f（x2）=b，则 x1=x2，与

14、 x1x2矛盾正确；例如函数 f（x）=x2在（0，+）上是增函数，而它不是单函数；故不正确故答案为：【点评】此题是个基础题考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7474 分）分）17（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+）+cos（x），xR（）求 f（x）的最小正周期和最小值；（）已知 cos（）=，cos（+）=.0，求证：f（）22=0【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；综合题【分析】（）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求

15、解（）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得的值，代入函数解析式中求得答案【解答】解：（）f（x）=sin（x+）+cos（x）=sin（x）+sin（x）=2sin（x）T=2，最小值为2（）cos（）=coscos+sinsin=，cos（+）=coscossinsin=，两式相加得 2coscos=0，0，=f（）22=4sin22=0【点评】本题主要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值 考查了考生基础知识的综合运用18（12 分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足1小时

16、的部分按1小时计算）有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时（）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率（）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望 E【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式【专题】计算题；应用题【分析】（）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可（）随机变量的所有取值为 0，2，4，6，8，由独立事件的概率分

17、别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可【解答】解：（）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率 p=（）随机变量的所有取值为 0，2，4，6，8P（=0）=P（=2）=P（=4）=P（=6）=P（=8）=数学期望 E=【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力19（12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=1，D 是棱 CC1上的一点，P 是 AD 的延长线与 A1C1的延长线的交点，且 PB1平面 BDA1（）求证：CD=C1D；（）求二面角 A

18、A1DB 的平面角的余弦值；（）求点 C 到平面 B1DP 的距离【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算【专题】计算题；证明题【分析】（I）由题意及图形建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用 ACPC1，建立点 D 的汗有未知数 x 的坐标，利用 PB1平面 BDA1建立 x 的方程，解出即证出所求；（II）由题意及（I）所建立的坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小；（III）利用空间向量中求点到平面的距离公式直接求出点到平面的距离【解答】解：（I）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：以 A1点为原点

19、，A1B1，A1C1，A1A 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立图示的空间直角坐标系，则 A1（0，0，0）B1（1，0，0）C1（0，1，0）B（1，0，1）（I）设 C1D=x，ACPC1可设 D（0，1，x），=（0，1，x），设平面 BA1D 的一个法向量为=（a，b，c），则令 a=1，则=（1，x，1）PB1平面 BA1D0=0 x=；故 CD=C1D（II）由（I）知，平面 BA1D 的一个法向量为又=（1，0，0）为平面 AA1D 的一个法向量，cos故二面角 AA1DB 的平面角的余弦值为（III）设平面 B1DP 的一个法向量为=（x，y，z），则令 z=1，又C 到平

20、面 B1PD 的距离 d=【点评】此题重点考查了利用空间向量的方法求点到平面的距离和二面角的大小，还考查了利用方程的思想求解坐标中所设的变量的大小20（12 分）设 d 为非零实数，（）写出 a1，a2，a3并判断an是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；（）设 bn=ndan（nN*），求数列bn的前 n 项和 Sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【专题】计算题；综合题【分析】本题考查的是数列求和问题，在解答时：（）根据条件直接代入 n 值计算即可获得 a1、a2、a3的值然后利用，当 n2，k1 时，对数列通向进行化简可得 an=d（d+1）n1，进而分类讨论问题即可获得解答；

21、（）由（）可知：an=d（d+1）n1，进而可计算 bn，结合 bn的特点可利用成公比错位相减法进行求解，注意分类讨论即可获得问题的解答【解答】解：（）由题意可知：a1=d，a2=d（1+d），a3=d（1+d）2，当 n2，k1 时，=d（Cn10d0+Cn11d1+Cn12d2+Cn1n1dn1）=d（d+1）n1所以，当 d1 时，an是以 d 为首项，d+1 为公比的等比数列当 d=1 时，a1=1，an=0（n2），此时an不是等比数列（）由（）可知：an=d（d+1）n1，bn=nd2（d+1）n1=d2n（d+1）n1，Sn=d21（d+1）0+2（d+1）1+3（d+1）2+（

22、n1）（d+1）n2+n（d+1）n1，当 d=1 时，Sn=d2=1当 d1 时，（d+1）Sn=d21（d+1）1+2（d+1）2+3（d+1）3+（n1）（d+1）n1+n（d+1）n，dSn=d21+（d+1）+（d+1）2+（d+1）3+（d+1）n1n（d+1）n，Sn=（d+1）n（nd1）+1综上可知：Sn=（d+1）n（nd1）+1，nN*【点评】本题考查的是数列求和问题，在解答的过程当中充分体现了同学们的运算能力、数据处理能力、分类讨论的思想以及问题转化的思想值得同学们体会和反思21（12 分）椭圆有两顶点 A（1，0）、B（1，0），过其焦点 F（0，1）的直线 l 与椭

23、圆交于 C、D 两点，并与 x 轴交于点 P直线 AC 与直线 BD 交于点 Q（）当|CD|=时，求直线 l 的方程；（）当点 P 异于 A、B 两点时，求证：为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；方程思想【分析】（）根据椭圆有两顶点 A（1，0）、B（1，0），焦点 F（0，1），可知椭圆的焦点在 y 轴上，b=1，c=1，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线 l 的方程；（）根据过其焦点 F（0，1）的直线 l 的方程可求出点 P 的坐标，该直线与椭圆交于 C、

24、D两点，和直线 AC 与直线 BD 交于点 Q，求出直线 AC 与直线 BD 的方程，解该方程组即可求得点 Q 的坐标，代入即可证明结论【解答】解：（）椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为（ab0），由已知得 b=1，c=1，所以 a=，椭圆的方程为，当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符，设直线 l 的方程为 y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），将直线 l 的方程代入椭圆的方程化简得（k2+2）x2+2kx1=0，则 x1+x2=，x1x2=，|CD|=，解得 k=直线 l 的方程为 y=x+1；（）证明：当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符，设直线 l 的方程为 y=

25、kx+1，（k0，k1），C（x1，y1），D（x2，y2），P 点的坐标为（，0），由（）知 x1+x2=，x1x2=，且直线 AC 的方程为 y=，且直线 BD 的方程为 y=，将两直线联立，消去 y 得，1x1，x21，与异号，=，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1=，与 y1y2异号，与同号，=，解得 x=k，故 Q 点坐标为（k，y0），=（，0）（k，y0）=1，故为定值【点评】此题是个难题本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力体现了分类讨论和数形结合的思想22（14 分）已知函数 f（

26、x）=x+，h（x）=（）设函数 F（x）=f（x）h（x），求 F（x）的单调区间与极值；（）设 aR，解关于 x 的方程 log4 f（x1）=log2h（ax）log2h（4x）；（）试比较 f（100）h（100）与 的大小【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；压轴题；数形结合；分类讨论【分析】（）先求导函数，利用导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减即可求 F（x）的单调区间与极值；（）先把原等式转化为关于 a 和 x 之间的等量关系，最后利用图象来求 x 的值（注意对 a的讨论）（）把 f（100）h（100）转化为一

27、新数列an的前 100 项和，再比较新数列an的每一项和对应 h（x）=之间的大小关系，即可比较 f（100）h（100）与 的大小【解答】解：（）由 F（x）=f（x）h（x）=x+（x0）知，F（x）=，令 F（x）=0，得 x=当 x（0，）时，F（x）0；当 x（，+）时，F（x）0故 x（0，）时，F（x）是减函数；故 x（，+）时，F（x）是增函数F（x）在 x=处有极小值且 F（）=（）原方程可化为 log4（x1）+log2h（4x）=log2h（ax），即 log2（x1）+log2=log2，当 1a4 时，原方程有一解 x=3；当 4a5 时，原方程有两解 x=3；当 a=5 时，原方程有一解 x=3；当 a1 或 a5 时，原方程无解（）设数列 an的前 n 项和为 sn，且 sn=f（n）g（n）从而有 a1=s1=1当 2k100 时，ak=sksk1=，ak=（4k3）（4k1）=0即对任意的 2k100，都有 ak又因为 a1=s1=1，所以 a1+a2+a3+a100=h（1）+h（2）+h（100）故 f（100）h（100）【点评】题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系以及函数极值的求法和函数与数列的综合应用问题在解题过程中，用到了分类讨论思想和数形结合思想，是一道综合性很强的好题