2010考研数学二真题及答案.pdf

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1、(C)(D)2 0 1 0 考 研 数 学 二 真 题 及 答 案一、填 空 题(本 题 共 6 小 题，请 将 答 案 写 在 题 中 横 线 上)(1)三 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 的 通 解 为 y=(2)曲 线 的 渐 近 线 方 程 为(3)函 数 y=l n(1-2 x)在 x=0 处 的 n 阶 导 数(4)当 0 时，对 数 螺 线 r=e 的 弧 长 为(5)已 知 一 个 长 方 形 的 长 l 以 2 c m/s 的 速 率 增 加，宽 w 以 3 c m/s 的 速 率 增 加，则 当 l=1 2 c m，w=5 c m 时，它 的 对 角 线 增

2、 加 的 速 率 为(6)设 A，B 为 3 阶 矩 阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=二、选 择 题(本 题 共 8 小 题，每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 符 合 题 目 要 求，请 将 所选 项 前 的 字 母 填 在 题 后 括 号 内)(7)函 数 的 无 穷 间 断 点 数 为(A)0(B)1(C)2(D)3(8)设 y 1，y 2 是 一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 的 两 个 特 解 若 常 数，使 该 方 程 的 解 是 对 应 的 齐 次 方 程 的 解，则(9)曲 线 y=x2与 曲 线 y=a l

3、 n x(a O)相 切，则 a=(A)4 e(B)3 e(C)2 e(D)e(1 0)设 m，n 是 正 整 数，则 反 常 积 分 的 收 敛 性(A)仅 与 m 值 有 关(B)仅 与 n 值 有 关(C)与 m，n 值 都 有 关(D)与 m，n 值 都 无 关(1 1)设 函 数 z=z(x，y)由 方 程 确 定，其 中 F 为 可 微 函 数，且(A)x(B)z(C)-x(D)-z(1 2)(14)设 A为4阶实对称矩阵，且 A2+A=0，若A的秩为3，则A与 相似于三、解 答 题(本 题 共 9 小 题，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.)

4、(1 5)求 函 数 的 单 调 区 间 与 极 值(1 6)()比 较 的 大小，说 明 理 由；()记，求 极 限(1 7)设 函 数 y=f(x)由 参 数 方 程 所 确 定，其 中(t)具 有 二 阶导 数，且(1)=(1 8)一 个 高 为 j 的 柱 体 形 贮 油 罐，底 面 是 长 轴 为 2 a，短 轴 为 2 b 的 椭 圆，现 将 贮 油 罐 平 放，当 油罐 中 油 面 高 度 为 时(如 图 2)，计 算 油 的 质 量(长 度 单 位 为 m，质 量 单 位 为 k g，油 的 密 度 为 常 数 k g/m3)(1 9)设 函 数 u=(x，y)具 有 二 阶

5、连 续 偏 导 数，且 满 足 等 式，确 定 a，b 的 值，使 等 式 在 变 换(2 0)计 算 二 重 积 分(2 1)设 函 数 f(x)在 闭 区 间 0，1 上 连 续，在 开 区 间(0，1)内 可 导，且。证 明：存 在f()+f()=2+2(2 2)设已 知 线 性 方 程 组 A x=b 存 在 2 个 小 同 的 解()求，a；()求 方 程 组 A x=b 的 通 解.(2 3)设 正 交 矩 阵 使 得 为 对 角 矩 阵，若 Q 的 第 1例 为一、填 空 题参 考 解 答(1)(2)y=2 x(3)-2n(n-1)!(4)(5)3 c m/s(6)3二、选 择

6、题(7)B(8)A(9)C(1 0)D(1 1)B(1 2)D(1 3)A(1 4)D三、解 答 题(1 5)分 析：求 变 限 积 分 f(x)的 一 阶 导 数，利 用 其 符 号 判 断 极 值 并 求 单 调 区 间 解令因 为 当 x 1 时当-1 x 0 时 时所 以 f(x)的 单 调 递 减 区 间 为(-，-1)，(0，1)；f(x)的 单 调 递 增 区 间 为(-1，0)，(1，+)；极 小 值 为 f(1)=f(-1)=0，极 大 值 为评 注：也 可 用 二 阶 导 数 的 符 号 判 断 极 值 点，此 题 属 基 本 题 型(1 6)分 析：对()比 较 被 积

7、函 数 的 大 小，对()用 分 部 积 分 法 计 算 积 分，再 用 夹 逼 定 理 求 极 限。解：()当 0 t 1 时，0 l n(1+t)t，故|l n t|l n(1+t)n|l n|由 积 分 性 质 得()于 是有 由 夹 逼 定 理 得评 注：若 一 题 有 多 问，一 定 要 充 分 利 用 前 问 提 供 的 信 息(1 7)分 析：先 求 可 得 关 于(t)的 微 分 方 程，进 而 求 出(t)解：由 参 数 方 程 确 定 函 数 的 求 导 公 式 可 得评 注：此 题 是 参 数 方 程 确 定 函 数 的 导 数 与 微 分 方 程 相 结 合 的 一 道

8、 综 合 题，有 一 定 难 度(1 8)分 析：先 求 油 的 体 积，实 际 只 需 求 椭 圆 的 部 分 面 积 解：建 立 如 图 3 所 示 的 直 角 坐 标 系，则 油 罐 底 面 椭 圆 方 程 为油 的 质 量 M=V。其 中 油 的 体 积 V=S 底 l 故评 注：此 题 若 不 能 记 住 公 式 则 运算 量 稍 显 大(1 9)分 析：利 用 复 合 函 数 的 链 导 法 则 变 形 原 等 式 即 可 解：由复 合 函 数 的 链 导 法 则 得因而所以解 得评 注：此 题 主 要 考 查 复 合 函 数 链 导 法 则 的 熟 练 运 用，是 对 运 算 能

9、 力 的 考 核.所以(2 0)分 析：化 极 坐 标 积 分 区 域 为 直 角 坐 标 区 域，相 应 的 被 积 函 数 也 化 为 直 角 坐 标 系 下 的 表示 形 式，然 后 计 算 二 重 积 分 解：如 图 4，直 角 坐 标 系 下，D=(x，y)|0 x 1，0 y x，(2 1)分 析：这 是 一 个 双 介 值 的 证 明 题，构 造 辅 助 函 数，用 两 次 拉 格 朗 日 中 值 定 理。证 明：两 式 相 加 得 f()+f()=2+2评 注：一 般 来 说，对 双 介 值 问 题，若 两 个 介 值 有 关 联 同 时 用 两 次 中 值 定 理，若 两 个

10、 介 值 无关 联 时 用 一 次 中 值 定 理 后，再 用 一 次 中 值 定 理(2 2)分 析：本 题 考 查 方 程 组 解 的 判 定 与 通 解 的 求 法 由 非 齐 次 线 性 方 程 组 存 在 2 个 不 同 解知 对 应 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解，而 且 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 无 穷 多 解 解：()解 法 一由 线 性 方 程 组 A x=b 存 在 2 个 不 同 解，得=-1，a=-2 解 法 二 由 线 性 方 程 组 A x=b 有 2 个 不 同 的 解，因 此 方 程 组 的 系 数 行列 式得=1 或-1；而 当=1 时，

11、此 时，A x=b 无 解，所以=-1 由()当=-1，a=-2 时，故 方 程 组 A x=b 的 通 解 为：为 任 意 常 数(2 3)分 析：本 题 考 查 实 对 称 矩 阵 的 正 交 对 角 化 问 题 由 Q 的 列 向 量 都 是 特 征 向 量 可 得 a 的值 以 及 对 应 的 特 征 值，然 后 由 A 可 求 出 其 另 外 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量，从 而 最 终 求 出 Q 解：记2 23 3得 a=-1，=2，因 此 由得 A 的 特 征 值 为 1=2，2=-4，3=5，且 对 应 于 1=2 的 特 征 向 量 为当 2=-4 时，(-4 E-A)由(-4 E-A)x=0 得 对 应 于=-4 的 特 征 向 量 为=(-1，0，1)T当 3=5 时，(5 E-A)由(5 E-A)x=0 得 对 应 于=5 的 特 征 向 量 为=(1，-1，1)T因 A 为 实 对 称 矩 阵，1，2，3 为 对 应 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量，所 以 1，2，3 为 单 位 正 交 向 量 组 令