2010年重庆高考理科数学真题及答案.pdf

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1、题（6）图11273yxO20102010 年重庆高考理科数学真题及答案年重庆高考理科数学真题及答案数学试题卷（理工农医类）共数学试题卷（理工农医类）共 4 4 页。满分页。满分 150150 分。考试时间分。考试时间 120120 分钟。分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5.考试结束后，将试题卷和

2、答题卡一并交回。一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1010 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 5050 分分.在每小题给出的四个备选项中在每小题给出的四个备选项中，只只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.（1）在等比数列na中，200720108aa，则公比q的值为（）A、2B、3C、4D、8（2）已知向量ba,满足2|,1|,0baba，则|2|ba（）A、0B、22C、4D、8（3）2144lim22xxx（）A、1B、41C、41D、1（4）设变量yx,满足约束条件,03,01,0yxyxy则yxz 2的最大值为（）A、2B、4C、6D、8（5）函数xxxf214

3、)(的图象（）A、关于原点对称B、关于直线xy 对称C、关于x轴对称D、关于y轴对称（6）已知函数)2|,0)(sin(xy的部分图象如题（6）图所示，则（）A、6,1B、6,1C、6,2D、6,2（7）已知822,0,0 xyyxyx，则yx2的最小值是（）A、3B、4C、29D、211（8）直线233xy与圆心为 D 的圆)2,0(,sin31,cos33yx交于 A、B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为（）A、67B、45C、34D、35（9）某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人值班 1 天.若 7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不

4、排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有（）A、504 种B、960 种C、1008 种D、1108 种（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A、直线B、椭圆C、抛物线D、双曲线二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分.把答案填写在答题卡相应位置上把答案填写在答题卡相应位置上.（11）已知复数,1iz则 zz2_.（12）设0|,3,2,1,02mxxUxAU，若2,1ACU，则 实 数m_.（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命

5、中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_.（14）已知以F为焦点的抛物线xy42上的两点BA、满足FBAF3，则弦AB的中点到准线的距离为_.（15）已知函数)(xf满足：),)()()()(4,41)1(Ryxyxfyxfyfxff，则)2010(f_.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（16）（本小题满分 13 分，（）小问 7 分，（）小问 6 分.）设函数Rxxxxf,2cos2)32cos()(2.（）求)(xf的值

6、域；（）记ABC的 内 角CB、A的 对 边 长 分 别 为cba、，若3,1,1)(cbBf，求a的值.（17）（本小题满分 13 分，（）小问 5 分，（）小问 8 分.）在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1，2，6），求：（）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望.题（19）图CBADEP（18）（本小题满分 13 分，（）小问 5 分，（）小问 8 分.）已知函数)1ln(1)(xaxxxf，其中实数1a.（）若2a，求曲线)(x

7、fy 在点)0(,0(f处的切线方程；（）若)(xf在1x处取得极值，试讨论)(xf的单调性.（19）（本小题满分 12 分，（）小问 5 分，（）小问 7 分.）如题（19）图，四棱锥ABCDP 中，底面 ABCD 为矩形，PA底面ABCD，6 ABPA，点E是棱PB的中点.（）求直线AD与平面PBC的距离；（）若3AD，求二面角DECA的平面角的余弦值.xM题（20）图2l1lyGENHO（20）（本小题满分 12 分，（）小问 5 分，（）小问 7 分.）已知以原点O为中心，)0,5(F为右焦点的双曲线C的离心率25e.（）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（）如题（20）图，已知过点

8、),(11yxM的直线44:111yyxxl与过点),(22yxN（其中12xx）的直线44:222yyxxl的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交于HG、两点，求OGH的面积.（21）（本小题满分 12 分，（）小问 5 分，（）小问 7 分.）在数列na中，)(12(,1111Nnnccaaannn，其中实数0c.（）求na的通项公式；（）若对一切 Nk有122kkaa，求c的取值范围.绝密启用前20102010 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案数学试题（理工农医类）答案一选择题：每小题 5 分，满分 50

9、 分.（1）A（2）B（3）C（4）C（5）D（6）D（7）B（8）C（9）C（10）D二填空题：每小题 5 分，满分 25 分.（11）i 2（12）3（13）53（14）38（15）21三解答题：满分 75 分.（16）（本题 13 分）解：（）1cos32sinsin32coscos)(xxxxf1cossin23cos21xxx1sin23cos21xx1)65sin(x，因此)(xf的值域为2,0.（）由1)(Bf得11)65sin(B，即0)65sin(B，又因 B0，故6B.解法一：由余弦定理Baccabcos2222，得0232 aa，解得1a或2.解法二：由正弦定理CcBbs

10、insin，得3,23sinCC或32.当3C时，2A，从而222cba；当32C时，6A，又6B，从而1 ba.故a的值为 1 或 2.（17）（本题 13 分）解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.（）设 A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则A表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得545111)(1)(2623CCAPAP.（）的所有可能值为 0，1，2，3，4，且513)2(,1544)1(,315)0(262662CPCPCP，1511)4(,1522)3(2626CPCP.从而知有分布列01234P3115451152151所以，3

11、4151415235121541310E.（18）（本题 13 分）解：（）11)(111)()1()(22/xaxaxaxxaxxf.当1a时，47101)20(12)0(2/f，而21)0(f，因 此 曲 线)(xfy 在点)0(,0(f处的切线方程为)0(47)21(xy即0247yx.（）1a，由（）知2111111)1(1)(2/aaaxf，即02111a，解得3a.此时)1ln(31)(xxxxf，其定义域为),3()3,1(，且)1()3()7)(1(11)3(2)(22/xxxxxxxf，由0)(/xf得7,121xx.当GF答（19）图 1CBADEPPz11x或7x时，0)

12、(/xf；当71 x且3x时，0)(/xf.由以上讨论知，)(xf在区间),7,1,1(上是增函数，在区间7,3(),3,1 上是减函数.（19）（本题 12 分）解法一：（）如答（19）图 1，在矩形ABCD中，/AD平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离.因PA底面ABCD，故，由ABPA 知PAB为等腰三角形，又点E是棱PB中点，故PBAE.又在矩形ABCD中，ABBC，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得PBBC，从而BC平面PAB，故AEBC.从而AE平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离.（）过点 D 作CEDF，交 CE 于

13、F，过点 F 作CEFG，交 AC 于 G，则DFG为所求的二面角的平面角.由（）知BC平面 PAB，又BCAD/，得AD平面 PAB，故AEAD，从而622ADAEDE.在CBERt中，622BCBECE.由6CD，所以CDE为等边三角形，故 F 为 CE 的中点，且2233sinCDDF.因为AE平面 PBC，故CEAE，又CEFG，知AEFG21/，从而23FG，且 G 点为 AC 的中点.连接 DG，则在ADCRt中，23212122CDADACDG.所以362cos222FGDFDGFGDFDFG.解法二：（）如答（19）图 2，以 A 为坐标原点，射线 AB、AD、AP 分别为x轴

14、、y轴、zQ2lyGNO轴正半轴，建立空间直角坐标系xyzA.设)0,0(aD，则)0,6(),0,0,6(aCB，)26,0,26(),6,0,0(EP.因此)6,0,6(),0,0(),26,0,26(PCaBCAE，则0,0PCAEBCAE，所以AE平面 PBC.又由BCAD/知/AD平面 PBC，故直线 AD 与平面PBC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离，即为3|AE.（）因为3|AD，则)0,3,6(),0,3,0(CD.设平面 AEC 的法向量),(1111zyxn，则0,011AEnACn.又)26,0,26(),0,3,6(AEAC，故,02626,0361111zxy

15、x所以1111,2xzxy.可取21z，则)2,2,2(n.设平面 DEC 的法向量),(2222zyxn，则0,022DEnDCn.又)26,3,26(),0,0,6(DEDC，故所以2222,0yzx.可取12y，则)2,1,0(2n.故36|,cos212121nnnnnn.所以二面角DECA的平面角的余弦值为36.（20）（本题 12 分）解：（）设C的 标 准 方 程 为)0,0(12222babyax，则 由 题 意25,5acec，因此1,222acba，C的标准方程为1422 yx.C的渐近线方程为xy21，即02yx和02yx.（）解法一：如答（20）图，由题意点),(EEy

16、xE在直线44:111yyxxl和44:222yyxxl上，因此有4411EEyyxx，4422EEyyxx，故点 M、N 均在直线44yyxxEE上，因此直线 MN 的方程为44yyxxEE.设 G、H 分别是直线 MN 与渐近线02yx及02yx的交点，由方程组02,44yxyyxxEE及,02,44yxyyxxEE解得EEHEEGyxyyxy22,22.设 MN 与x轴的交点为 Q，则在直线44yyxxEE中，令0y得EQxx4（易知)0Ex.注意到4422EEyx，得2|4|2|4|2121|4|2122EEEEEEEEEHGOGHyxxxyxyxxyyOQS.解法二：设),(EEyx

17、E，由方程组,44,442211yyxxyyxx解得122121122112,)(4yxyxxxyyxyxyyxEE，因12xx，则直线 MN 的斜率EEyxxxyyk41212.故直线 MN 的方程为)(411xxyxyyEE，注意到4411EEyyxx，因此直线 MN 的方程为44yyxxEE.下同解法一.（21）（本题 12 分）（）解法一：由ccccccaaa2222121)12(33,1，23233323)13(85ccccccaa，34234434)14(157ccccccaa，猜测Nnccnannn,)1(12.下用数学归纳法证明.当1n时，等式成立；假设当kn 时，等式成立，即

18、12)1(kkkccka，则当1 kn时，)12()1()12(11211kccckckccaakkkkkkkkkkcckcckk1212 1)1()2(，综上，12)1(nnnccna对任何 Nn都成立.解法二：由原式得)12(11ncacannnn.令nnncab，则)12(,111nbbcbnn，因此对2n有112211)()()(bbbbbbbbnnnnncnn13)32()12(cn112，因此12)1(nnnccna，2n.又当1n时上式成立.因此Nnccnannn,)1(12.（）解法一：由122kkaa，得221221222 1)12(1)2(kkkkcckcck，因022kc

19、，所以01)144()14(222ckkck.解此不等式得：对一切 Nk，有kcc 或/kcc，其中)14(2)14(4)144()144(22222kkkkkkck，)14(2)14(4)144()144(22222/kkkkkkck.易知1limkkc，又由144)14(4)14()14(4)144(2222222kkkkkk，知12848)14(214)144(22222kkkkkkkck，因此由kcc 对一切 Nk成立得1c.又0)14(4)144()144(22222/kkkkkck，易知/kc单调递增，故/1/cck对 一 切 Nk成 立，因 此 由/kcc 对 一 切 Nk成 立

20、 得6131/1 cc.从而c的取值范围为),1)6131,(.解法二：由122kkaa，得221221222 1)12(1)2(kkkkcckcck，因022kc，所以014)(4222ccckkcc对 Nk恒成立.记14)(4)(222cccxxccxf，下分三种情况讨论.（）当02cc即0c或1c时，代入验证可知只有1c满足要求.（）当02cc时，抛物线)(xfy 开口向下，因此当正整数k充分大时，0)(xf不符合题意，此时无解.（）当02cc即0c或1c时，抛物线)(xfy 开口向上，其对称轴)1(21cx必在直线1x的左边.因此，)(xf在),1 上是增函数.所以要使0)(kf对 Nk恒成立，只需0)1(f即可.由013)1(2ccf解得6131c或6131c.结合0c或1c得6131c或1c.综合以上三种情况，c的取值范围为),1)6131,(.