2010年福建高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20102010年福建高考理科数学真题及答案年福建高考理科数学真题及答案第第 I I 卷卷（选择题（选择题 共共 5050 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。1.计算 sin43cos13-cos43sin13的结果等于A A12B.33C.22D.322.以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2

2、x=03.设等差数列an前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn取最小值时，n 等于A.6B.7C.8D.94.函数 f（x）=的零点个数为A.0B.1C.2D.35.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 i 值等于A.2B.3C.4D.56.如图，若是长方体 ABCD-A1B1C1D1被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1后得到的几何体，其中 E 为线段 A1B1上异于 B1的点，F 为线段 BB1上异于 B1的点，且 EHA1D1，则下列结论中不正确的是A.EHFGB.四边形 EFGH 是矩形C.是棱柱D.是棱台7.若点 O 和点 F（-2，0

3、）分别为双曲线2221xya（a0）的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则op fp 的取值范围为A.3-2 3,）B.3+2 3,）C.74,）D.74,）8.设不等式组所表示的平面区域是1，平面区域2与1关于直线 3x-4y-9对称。对于1中的任意点 A 与2中的任意点 B，AB的最小值等于A.285B.4C.125D.29.对于复数 a,b,c,d，若集合 S=a,b,c,d具有性质“对任意 x,yS，必有 xyS”，则当时，b+c+d 等于A.1B.-1C.0D.i10.对于具有相同定义域 D 的函数 f（x）和 g（x），若存在函数 h（x）=kx+b（k,b 为常数）

4、，对任给的正数 m，存在相应的 x0D，使得当 xD 且 xx0时，总有则称直线 l：y=kx+b 为曲线 y=f（x）与 y=g（x）的“分渐近线”。给出定义域均为 D=1x x 的四组函数如下：f（x）=x2,g(x)=x;f(x)=10-x+2，g(x)=23xx;f(x)=21xx,g(x)=ln1lnxxx;f(x)=22()1xf xx，g(x)=2(x-1-e-x).其中，曲线 y=f(x)与 y=g(x)存在“分渐近线”的是AB.C.D.第第卷卷（非选择题（非选择题 共共 100100 分）分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应

5、位置。11.在等比数列an中，若公比 q=4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 an（）12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于（）。13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于（）。14.已知函数 f(x)=3sin(x-6)(0)和 g(x)=2cos(2x+)+1 的图像的对称轴完全相同。若 x 0,2,则 f(x)的取值范围是（）。15已知定义域为（0

6、，+）的函数 f(x)满足：（1）对任意 x(0,+),恒有 f(2x)=2f(x)成立；（2）当 x(1,2时，f(x)=2-x。给出结论如下：对任意 mZ,有 f(2m)=0；函数 f(x)的值域为0，+）;存在 nZ,使得 f(2n+1)=9;“函数 f(x)在区间（a,b）上单调递减”的充要条件是“存在 kZ,使得(a,b)(2k,2k+1)”.其中所有正确结论的序号是（）。三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 13 分）设 S 是不等式 x2-x-60 的解集，整数 m,nS。（）记“使得 m+n=0 成立的有序数组

7、（m,n）”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件；（）设=m2,求的分布列及其数学期望 E。17.（本小题满分 13 分）已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2，3），且点 F（2.0）为其右焦点。（）求椭圆 C 的方程；（）是否存在平行于 OA 的直线 L，使得直线 L 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 L 的距离等于 4？若存在，求出直线 L 的方程；若不存在，说明理由。18.（本小题满分 13 分）如图，圆柱 OO1内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 AB 是圆 O 的直径。（）证明：平面 A1ACC1平面 B1BCC1；（）

8、设 AB=AA1。在圆柱 OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 ABC-A1B1C1内的概率为 P。（i）当点 C 在圆周上运动时，求 P 的最大值；（ii）记平面 A1ACC1与平面 B1OC 所成的角为（0b0），且可知左焦点为)0,2(F从而有2c解得2c853|2FAAFa，4a又222cba，所以122b，故椭圆 C 的方程为1121622yx（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为txy23由txy23得0123322ttxx1121622yx因为直线l与椭圆 C 有公共点，所以01234322tt，解得3434t另一方面，由直线 OA 与l的距离4d可得4149|t，从而1

9、32t。由于34,34132，所以符合题意的直线l不存在。解法二：（I）依题意，可设椭圆 C 的方程为12222byax（ab0），且有：19422ba，解得122b或32b（舍去）。从而162a422ba（II）同解法一18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分 13 分。解法一：（I）AA1平面ABC，BC平面ABC，BCAA1AB是圆 O 的直径，ACBC 又AAAAC1，BC平面11ACCA而BC平面11BCCB，所以平面11A

10、CCA平面11BCCB。（II）（i）设圆柱的底面半径为 r，则rAAAB21故三棱柱111_CBAABC的体积rACVBCAC2rBC211又22224rABBCAC22222rBCACBCAC当且仅当rBCAC2时等号成立。从而，312rV 而圆柱的体积3222rrrV，故1223321rrVVp，当且仅当rBCAC2，即ABOC 时等号成立。所以，p的最大值等于1（ii）由（i）可知，p取最大值时，ABOC 于是，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyzO（如图），则)0,0,(rC，)0,0(rB，)2,0(1rrBBC平面11ACCA，是平面11ACCA的一个法向量设平面OCB1

11、的法向量),(zyxn，取1z，得平面OCB1的一个法向量为)1,2,0(n900，解法二：（I）同解法一（II）（i）设圆柱的底面半径为 r，则rAAAB21，故三棱柱111_CBAABC的体积rACVBCAC2rBC211设)900(BAC，则cos2cosrABAC，sin2sinrABBC，由于22222sin2cossin4rrrBCAC，当且仅当12sin即45时等号成立，故312rV 而圆柱的体积3222rrrV，故1223321rrVVp，当且仅当12sin即45时等号成立。所以，p的最大值等于1（ii）同解法一解法三：（I）同解法一（II）（i）设圆柱的底面半径r，则rAAA

12、B21，故圆柱的体积3222rrrV因为VVp1，所以当1V取得最大值时，p取得最大值。又因为点 C 在圆周上运动，所以当ABOC 时，ABC的面积最大。进而，三棱柱111_CBAABC的体积最大，且其最大值为322221rrrr故p的最大值等于1（ii）同解法一19.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，绿茶推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、英语意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。解法一：（I）设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则)3090cos(203024009002ttS=4006009002tt=300)31(900

13、2t故当31t时，310minS，此时33031310v即，小艇以330海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。（II）设小艇与轮船在 B 出相遇，则)3090cos(30202900400222tttv故22400600900ttv300 v，9004006009002tt即0322tt，解得32t又32t时，30v故30v时，t 取最小值，且最小值等于32此时，在OAB中，有20ABOBOA，故可设计寒星方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇解法二：（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向

14、。设小艇与轮船在 C 处相遇。在OACRt中，31030cos20OC，1030sin20AC又tAC30，vtOC 此 时，轮 船 航 行 时 间313010t，33031310v即，小艇以330海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。（II）猜想30v时，小艇能以最短时间与轮船在 D 出相遇，此时tDOAD30又60OAD，所以20OADOAD，解得32t据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇证明如下：如图，由（I）得310OC，10AC，故ACOC，且对于线段AC上任意点 P,有ACOCOP而小艇的最高航行速度只能达

15、到30 海里/小时，故小艇与轮船不可能在 A，C 之间（包含 C）的任意位置相遇。设)900(COD，则在CODRt中，tan310CD，cos310OD由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为30tan31010t和cos310vt 所以，cos31030tan31010v由此可得，)30sin(315v又30v，故23)30sin(从而，9030由于30时，tan取得最小值，且最小值为33于是，当30时，30tan31010t取得最小值，且最小值为32解法三：（I）同解法一或解法二（II）设小艇与轮船在 B 处相遇。依据题意得：)3090cos(30202900400222tttv，

16、（0400600)900(22ttv（1）若300 v，则由)900(16003600002v=0)675(16002v得315v从而，9006752030022vvt，)30,315v1当9006752030022vvt时，令6752vx，则)15,0 x，341520225203002xxxt，当且仅当0 x即315v时等号成立。当9006752030022vvt时，同理可得3432 t由、得，当)30,315v时，32t（2）若30v，则32t综合（1）、（2）可知，当30v时，t 取最小值，且最小值等于32此时，在OAB中，20ABOBOA，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，

17、航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。20.本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。满分 14 分。解法一：（）（i）有 f(x)=x3-x 得 f(x)=3x2-1=3(x-33)(x+33).当 x(,33)和(33，)时，f(x)0;当 x(33，33)时，f(x)0。（）曲线 C 在点 P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，即 y=(3x12-1)x-2 x13.由得 x3-x=(3x12-1)x-2 x13即（x-x1）2

18、(x+2x1)=0,解得 x=x1或 x=-2x1,故 x2=-2x1.进而有用 x2代替 x1,重复上述计算过程，可得 x3=-2x2和 S2=42274x。又 x2=-2x10，所以 S2=4127 1604x,因此有12116ss。（）记函数 g(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）的图像为曲线 C，类似于（）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于3ba的实数 x1,曲线 C与其在点 P1（x1,g(x1)）处的切线交于另一点 P2（x2,g(x2)）,曲线 C与其在点 P2处的切线交于另一点 P3（x3,g(x3)），线段 P1P2、P2P3与曲线 C所围成封闭图形的面积分别记为 S

19、1，S2，则12SS为定值。证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线 y=g(x)的对称中心平移至解法二：（）同解法一。（）记函数 g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线 C，类似于（）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于3ba的实数 x1,曲线 C与其在点 P1（x1,g(x1)）处的切线交于另一点 P2（x2,g(x2)）,曲线 C与其在点 P2处的切线交于另一点 P3（x3,g(x3)），线段 P1P2、P2P3与曲线 C所围成封闭图形的面积分别记为 S1，S2，则12SS为定值。证明如下：用 x2代替 x1，重复上述计算过程，可得 x3=2bxa和4223(

20、3)12axbSa。又 x2=112,3bbxxaa 且所以442112333(3)(62)16(3)0,121212axbaxbaxbSaaa故121.16SS21（1）选修 4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。满分 7 分。解法一：（）由题设得：（）因为矩阵 M 为对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线 y=3x 上的两点（0，0），（1，3），由点（0，0），（1，3）在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像是点（0，0），（-2，2）.从而，直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程为 y=-x。解法二：（）同解法一。（）

21、设直线 y=3x 上的任意点（x,y）在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像是点（x,y），由由（x,y）的任意性可知，直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程为 y=-x。（2）选修 4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。满分 7 分。解法一：故由上式及 t 的几何意义得解法二：（）同解法一。（）因为圆 C 的圆心为（0，5），半径 r=5,直线 l 的普通方程为：y=-x+3+5.由解得：或不妨设 A（1，2+5），B（2，1+5），又点 P 的坐标为（3，5），又已知不等式 f(x)3 的解集为15xx，所以解得 a=2.（）当 a=2 时，f(x)=x-2.设 g(x)=f(x)+f(x+5)，于是综上可得，g(x)的最小值为 5.从而，若 f(x)+f(x+5)m 即 g(x)m 对一切实数 x恒成立，则 m 的取值范围为(-，5.解法二：（）同解法一。（）当 a=2 时，f(x)=x-2.设 g(x)=f(x)+f(x+5).由x-2+x+3(x-2)-(x+3)=5（当且仅当-3x2 时等号成立）得，g(x)的最小值为 5.从而，若 f(x)+f(x+5)m 即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(-，5.