2010年广东高考文科数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 0 年 广 东 高 考 文 科 数 学 真 题 及 答 案2 0 1 0 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（广 东 卷）数 学（文 科）一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，满 分 5 0 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.若 集 合 A=0,1,2,3，B=1,2,4 则 集 合 A B()A.0,1,2,3,4 B.1,2,3,4 C.1,2 D.0【测 量 目 标】集 合 的 基 本 运 算.【考 查 方 式】给 出 集 合，考 查 并 集 的 运 算.

2、【参 考 答 案】A【试 题 解 析】：0,1,2,3,1,2,4,0,1,2,3,4.A B A B 2.函 数)1 l g()(x x f 的 定 义 域 是()A.(2,)B.(1,)C.1,)D.2,)【测 量 目 标】函 数 的 定 义 域.【考 查 方 式】给 出 对 数 函 数，考 查 对 数 函 数 的 性 质.【参 考 答 案】B【试 题 解 析】0 1 x，得 1 x.3.若 函 数()3 3x xf x 与()3 3x xg x 的 定 义 域 均 为 R，则（）A.()f x 与()g x 均 为 偶 函 数 B.()f x 为 奇 函 数，()g x 为 偶 函 数C

3、.()f x 与()g x 均 为 奇 函 数 D.()f x 为 偶 函 数，()g x 为 奇 函 数【测 量 目 标】函 数 奇 偶 性 的 判 断.【考 查 方 式】给 出 函 数，判 断 奇 偶 性.【参 考 答 案】D【试 题 解 析】解:由 于)(3 3)()(x f x fx x,故()f x 是 偶 函 数,又 因 为()()3 3(),x xg x g x 所 以()g x 是 奇 函 数.4 已 知 数 列 na 为 等 比 数 列，nS 是 它 的 前 n 项 和，若2a a a 2，且4a 与72 a 的 等 差 中项 为54，则5S=()w _ w w.k#s 5

4、_ u.c o*mA 3 5 B 3 3 C 3 1 D 2 9【测 量 目 标】等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 前 n 项 和.【考 查 方 式】给 出 等 比 数 列 项 与 项 之 间 的 关 系，进 而 得 到 公 比 q 和 首 项，从 而 考 查 等 比 数 列前 n 项 和 的 求 解.【参 考 答 案】C【试 题 解 析】22 3 1 1 1 42 2.a a a q a q a a(步 骤 1)3 3 44 4 1 335 5 1 22 2 2 4,16.14 2 22aa a q q q aq（步 骤 2）故55116(1)1232(1)32 1 31.13212S

5、（步 骤 4）5 若 向 量 a=（1,1），b=（2,5），c=(3,x)满 足 条 件(8 a b)c=3 0，则 x=（）A 6 B 5 C 4 D 3【测 量 目 标】向 量 的 数 量 积 的 运 算.【考 查 方 式】给 出 具 体 的 向 量，利 用 向 量 的 坐 标 运 算 来 求 x.【参 考 答 案】C【试 题 解 析】(8)(8,8)(2,5)(6,3)a b(8)6 3 3 30 4.x x a b c 6 若 圆 心 在 x 轴 上、半 径 为 5 的 圆 O 位 于 y 轴 左 侧，且 与 直 线 2 0 x y 相 切，则 圆 O 的方 程 是()w _ w w

6、.k#s 5 _ u.c o*mA 2 2(5)5 x y B 2 2(5)5 x y w _ w*w.k _ s _ 5u.c*o*mC 2 2(5)5 x y D 2 2(5)5 x y【试 题 解 析】圆 的 标 准 方 程，圆 与 直 线 的 位 置 关 系.【考 查 方 式】给 出 含 未 知 系 数 的 圆 的 方 程，考 查 圆 与 直 线 的 位 置 关 系 与 直 线 的 斜 率.【参 考 答 案】D【试 题 解 析】由 题 意 知，圆 心 在 y 轴 左 侧，排 除 A、C在 R t O A O，1,O 2O AkA，故O 5 1O 5.O O 5AOO O 7.若 一 个

7、 椭 圆 长 轴 的 长 度、短 轴 的 长 度 和 焦 距 成 等 差 数 列，则 该 椭 圆 的 离 心 率 是()A.45B.35C.25D.15【测 量 目 标】椭 圆 和 等 差 数 列 的 相 关 性 质.【考 查 方 式】通 过 椭 圆 与 等 差 数 列 之 间 的 联 系，考 察 运 算 求 解 能 力，以 及 对 椭 圆 的 性 质 的 运用.【参 考 答 案】C【试 题 解 析】设 长 轴 为 2 a，短 轴 为 2 b，焦 距 为 2 c，则 2 2 2 2.a c b（步 骤 1）即2 2 2 22()4 4()a c b a c b a c.(步 骤 2)整 理 得

8、：2 2 25 2 3 0,5 2 3 0 c ac a e e 35e e 或=-1（舍）.（步 骤 3）8“x 0”是“3 2x 0”成 立 的()A 充 分 非 必 要 条 件 B 必 要 非 充 分 条 件w _ w*w.k _ s _ 5 u.c*o*mC 非 充 分 非 必 要 条 件 D 充 要 条 件【测 量 目 标】命 题 的 充 分 性 与 必 要 性 的 判 定.【考 查 方 式】给 出 命 题，根 据 充 分 性 和 必 要 性 的 定 义 进 行 判 断,【参 考 答 案】A【试 题 解 析】当 0 x 时，20 x，有3 20,0 x x“”是3 2x“0”成 立

9、的 充 分 条 件；（步骤 2）由 于：23(1)1 0,而 1 0,则3 20 x 不 是 0 x 成 立 的 充 分 条 件.（步 骤 3）综 上：“0 x”是“3 20 x”成 立 的 充 分 非 必 要 条 件.（步 骤 3）9 如 图 1，A B C 为 正 三 角 形，A A B B C C，C C 平 面 A B C 且 32B B C C A B 3 A A，则 多 面 体 A B C A B C 的 正 视 图(也 称 主 视 图)是()w _ w*w.k _ s _ 5 u.cA B C D【测 量 目 标】几 何 体 的 三 视 图 的 应 用.【考 查 方 式】给 出

10、具 体 的 几 何 体，考 查 三 视 图 的 运 用.【参 考 答 案】D【试 题 解 析】由“张 氏”垂 直 法 可 知，D 的 图 形 为 正 视 图.1 0.在 集 合,a b c d 上 定 义 两 种 运 算 和*如 下+ab c da ab c dab b b bc c b c bd d b b d那 么 d*(a+c)=()A a.B.b C.c D.d【测 量 目 标】集 合 的 运 算.【考 查 方 式】给 定 集 合，规 定 运 算 规 则，考 查 集 合 的 运 算.【参 考 答 案】A【试 题 解 析】由 上 表 可 知：(a)c c,故 d*(a c)=d*c=a，

11、二、填 空 题：本 大 题 共 5 小 题，考 生 作 答 4 小 题，每 小 题 5 分，满 分 2 0 分。（一）必 做 题（1 1 1 3 题）1 1.某 城 市 缺 水 问 题 比 较 突 出，为 了 制 定 节 水 管理 办 法，对 全 市 居 民 某 年 的 月 均 用 水 量 进 行 了抽 样 调 查，其 中 4 位 居 民 的 月 均 用 水 量 分 别 为（单 位：吨）.根 据 图 2 所 示 的 程 序 框 图，若 分别 为 1，1.5，1.5，2，则 输 出 的 结 果 s 为【测 量 目 标】循 环 结 构 的 程 序 框 图.【考 查 方 式】给 出 具 体 的 流

12、程 图，根 据 流 程 图 的 规 则 运 算.*abcda a a a ababcdc a c c adadad【参 考 答 案】1.5【试 题 解 析】第 一（1 i）步：1 10 1 1is s x,第 二（2 i）步：1 11 1.5 2.5,is s x 第 三（3 i）步:-1 12.5 1.5 4,is s x 第 四（4 i）步：1 14 2 6,0.25 6 1.5,is s x s 第 五（5 i）步：5 4,i 输 出 1.5.s 1 2 某 市 居 民 2 0 0 5 2 0 0 9 年 家 庭 年 平 均 收 入 x（单 位：万 元）与 年 平 均 支 出 y（单 位

13、：万元）的 统 计 资 料 如 下 表 所 示：w _ w w.k#s 5 _ u.c o*m年 份 2 0 0 5 2 0 0 6 2 0 0 7 2 0 0 8 2 0 0 9收 入 x 1 1.5 1 2.1 1 3 1 3.3 1 5支 出y6.8 8.8 9.8 1 0 1 2根 据 统 计 资 料，居 民 家 庭 年 平 均 收 入 的 中 位 数 是，家 庭 年 平 均 收 入 与 年 平 均 支 出 有线 性 相 关 关 系.【测 量 目 标】总 体 特 征 数 的 估 计，线 性 回 归 方 程.【考 查 方 式】给 出 统 计 表 格，考 查 数 据 图 表 处 理 能 力

14、 和 总 体 特 征 数 的 应 用，以 及 线 性 回 归 方程 的 求 法.【参 考 答 案】1 3 3 y x【试 题 解 析】根 据 中 位 数 的 定 义 由 图 表 可 知 居 民 家 庭 年 平 均 收 入 的 中 位 数 是 1 3，画 出 线 性回 归 方 程，可 得 3 y x.1 3 已 知 a，b，c 分 别 是 A B C 的 三 个 内 角 A，B，C 所 对 的 边，若 a=1，b=3，A+C=2 B，则 s i n A=.w _ w w.k#s 5 _ u.c o*m【测 量 目 标】正 弦 定 理.【考 查 方 式】给 出 了 三 角 形 的 一 条 边，以

15、及 三 个 角 之 间 的 数 量 关 系，考 查 利 用 三 角 形 正 弦 定理 解 三 角 形.【参 考 答 案】12【试 题 解 析】由 于2,3A B C B B B 第 1 4 题 图由 正 弦 定 理 知：1 3 1s i n.s i n s i n s i n 2 32a bAA A B G 1 6（二）选 做 题（1 4、1 5 题，考 生 只 能 从 中 选 做 一 题）1 4.（几 何 证 明 选 讲 选 做 题）如 图 3，在 直 角梯 形 A B C D 中，D C A B,C B A B,A B=A D=a,C D=2a,点 E,F 分 别 为 线 段 A B,A

16、D 的 中 点，则 E F=.【测 量 目 标】直 角 三 角 形 和 直 角 梯 形 的 性 质.【考 查 方 式】给 出 几 何 图 形，利 用 作 图 简 化 问 题，考 查 直 角 三 角 形 和 直 角 梯 形 性 质 的 运 用.【参 考 答 案】2a【试 题 解 析】连 结 D E，可 知 A E D 为 直 角 三 角 形.则 E F 是 R t D E A 斜 边 上 的 中 线，等 于 斜 边的 一 半，为2a.1 5.（坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题）在 极 坐 标 系(,),(0 2)中，曲 线(c os s i n)1 与(c os s i n)1 的 交

17、 点 的 极 坐 标 为.【测 量 目 标】极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 的 互 化.【考 查 方 式】给 出 极 坐 标 方 程，利 用 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 互 化，求 解 极 坐 标.【参 考 答 案】(1，2)【试 题 解 析】转 化 为 直 角 坐 标 系 下 1 x y 1 y x 与 的 交 点，可 知 交 点 为：（1,0），该 点 在 极 坐 标 系 下 表 示 为：（1，2）.1 6（本 小 题 满 分 1 4 分）设 函 数 3 s i n6f x x，0，,x，且 以2为 最 小 正 周 期（1）求 0 f；w _ w（2）求

18、 f x 的 解 析 式；（3）已 知 94 12 5f，求 s i n 的值【测 量 目 标】函 数 s i n()y A x 的 性 质 和 同 角 的 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式,三 角 函 数 模 型的 应 用.【考 查 方 式】给 出 三 角 函 数，利 用 s i n()y A x 性 质，求 解 具 体 的 函 数 值 和 函 数 解 析式 以 及 利 用 函 数 求 解 正 弦 值.【试 题 解 析】(1)1 3(0)3 s i n(0)3.6 2 2f(步 骤 1)(2)2 42T()3 s i n(4)6f x x.（步 骤 2）(3)9 3()3 s i n

19、4()3 s i n()c os.4 12 4 12 6 6 5 5f（步 骤 3）故24s i n 1 c os.5(步 骤 4)1 7.（本 小 题 满 分 1 2 分）某 电 视 台 在 一 次 对 收 看 文 艺 节 目 和 新 闻 节 目 观 众 的 抽 样 调 查 中，随 机 抽 取 了 1 0 0 名 电 视 观众，相 关 的 数 据 如 下 表 所 示：文 艺 节 目 新 闻 节 目 总 计2 0 至 4 0 岁 4 0 1 8 5 8大 于 4 0 岁 1 5 2 7 4 2总 计 5 5 4 5 1 0 0（1）由 表 中 数 据 直 观 分 析，收 看 新 闻 节 目 的

20、 观 众 是 否 与 年 龄 有 关?（2）用 分 层 抽 样 方 法 在 收 看 新 闻 节 目 的 观 众 中 随 机 抽 取 5 名，大 于 4 0 岁的 观 众 应 该 抽 取 几 名？（3）在 上 述 抽 取 的 5 名 观 众 中，求 恰 有 1 名 观 众 的 年 龄 为 2 0 至 4 0 岁 的 概 率.【测 量 目 标】分 层 抽 样 的 方 法，总 体 分 布 的 估 计，排 列 与 组 合.【考 查 方 式】给 出 表 格，利 用 总 体 分 布 的 估 计 和 分 层 抽 样 方 法 解 答，运 用 排 列 与 组 合 求 解 概率.【试 题 解 析】(1)有 关，收

21、 看 新 闻 节 目 多 为 年 龄 大 的.（步 骤 1）（2）应 抽 取 的 人 数 为：275 345（人）.（步 骤 2）（3）由（2）知，抽 取 的 5 名 观 众 中，有 2 名 观 众 年 龄 处 于 2 0 至 4 0 岁，3 名 观 众 的 年 龄 大于 4 0 岁，所 求 概 率1 12 325C C 3C 5P.(步 骤 3)1 8.（本 小 题 满 分 1 4 分）如 图 4，弧 A E C 是 半 径 为 a 的 半 圆，A C 为 直 径，点 E 为 弧 A C 的 中 点，点 B 和 点 C 为 线 段 A D的 三 等 分 点，平 面 A E C 外 一 点 F

22、 满 足 F C 平 面 B E D,F B=5.a（1）证 明：E B F D.（2）求 点 B 到 平 面 F E D 的 距 离.（1）证 明：点 E 为 弧 A C 的 中 点.【测 量 目 标】直 线 与 直 线 的 位 置 关 系，点 到 平 面 距 离 的 求 法.【考 查 方 式】由 线 面 垂 直 到 线 线 垂 直，以 及 点 面 距 的 计 算.【试 题 解 析】（1）证 明：点 E 为 弧 A C 的 中 点.,2A B E 即 B E A C(步 骤 1)第 1 8 题 图 G 9F C B E(步 骤 2),F C A C F B D F C A C C 又、平 面

23、B E F B D 平 面(步 骤 3),F C B E D B E B E D 又 平 面 平 面F D F B D 平 面E B F D（步 骤 4）(2)解：2 2 2 25 2 F C B F B C a a a（步 骤 5）2 R t1 122 2E B DS B E B D a a a（步 骤 6）在 R t F B E 中,2 26 F E B E B F a 由 于：5 F D E D a 所 以2 2 2 R t1 1 6 216 5()2 2 2 2F D E F EaS F E H a a a（步 骤 7）由 等 体 积 法 可 知：R t 1 12 2E B D F D

24、 ES F C S h 即2 221 4 2122 21a a a h h a 即 点 B 到 平 面 F E D 的 距 离 为4 2121a.（步 骤 8）1 9.（本 题 满 分 1 2 分）某 营 养 师 要 求 为 某 个 儿 童 预 订 午 餐 和 晚 餐.已 知 一 个 单 位 的 午 餐 含 1 2 个 单 位 的 碳 水 化 合 物，6 个 单 位 的 蛋 白 质 和 6 个 单 位 的 维 生 素 C;一 个 单 位 的 晚 餐 含 8 个 单 位 的 碳 水 化 合 物，6 个 单位 的 蛋 白 质 和 1 0 个 单 位 的 维 生 素 C.另 外，该 儿 童 这 两

25、餐 需 要 的 营 状 中 至 少 含 6 4 个 单 位 的碳 水 化 合 物 和 4 2 个 单 位 的 蛋 白 质 和 5 4 个 单 位 的 维 生 素 C.如 果 一 个 单 位 的 午 餐、晚 餐 的 费 用 分 别 是 2.5 元 和 4 元，那 么 要 满 足 上 述 的 营 养 要 求，并 且花 费 最 少，应 当 为 该 儿 童 分 别 预 订 多 少 个 单 位 的 午 餐 和 晚 餐？【测 量 目 标】线 性 规 划 中 优 化 问 题.【考 查 方 式】给 出 函 数 模 型，考 查 了 数 据 图 标 处 理 的 能 力 以 及 线 性 规 划 中 最 值 得 求

26、法.【试 题 解 析】解：设 为 该 儿 童 分 别 预 订 x 个 单 位 的 午 餐 和 y 个 单 位 的 晚 餐，设 费 用 为 F，则F 2.5 4 x y，由 题 意 知12 8 646 6 426 10 540,0 x yx yx yx y（步 骤 1）画 出 可 行 域：变 换 目 标 函 数：58 4Fy x（步 骤 2）当 目 标 函 数 过 点 A，即 直 线 6 6 42 x y 与 6 10 54 x y 的 交 点（4,3），F 取 得 最 小.即 要 满 足 营 养 要 求，并 且 花 费 最 少，应 当 为 该 儿 童 分 别 预 定 4 个 单 位 的 午 餐

27、 和 3 个 单 位 的 晚餐.（步 骤 3）2 0.（本 小 题 满 分 1 4 分）已 知 函 数()f x 对 任 意 实 数 x 均 有()(2)f x k f x，其 中 常 数 k 为 负 数，且()f x 在 区 间 0,2 上 有 表 达 式()(2)f x x x.w _ w w.k#s 5 _ u.c o*m（1）求(1)f，(2.5)f 的 值；（2）写 出()f x 在 3,3 上 的 表 达 式，并 讨 论 函 数()f x 在 3,3 上 的 单 调 性；（3）求 出()f x 在 3,3 上 的 最 小 值 与 最 大 值，并 求 出 相 应 的 自 变 量 的

28、取 值.w _ w*w.k _ s _ 5u.c*o*m【测 量 目 标】函 数 的 概 念，函 数 的 基 本 性 质.【考 查 方 式】考 查 了 函 数 表 达 式、单 调 性、最 值 问 题.【试 题 解 析】解：由 于2()(2)(4)f x k f x k f x 当21 k 时，则 有2()(2)(4)f x k f x k f x（步 骤 1）（1）(0.5)3(1)(1),(2.5)(0.5 2)4ff k f k f fk k（步 骤 2）（2）当 2 3 x 时，0 2 1 x(2)(2)(4)()(2 3)f x x xf x xk k(步 骤 3)当 2 0 x 时，

29、0 2 2 x()(2)(2)f x k f x k x x（2 0 x）（步 骤 4）当 3 2 x 时，1 2 0 x 2()(2)(2)(4)(2)(4)f x k f x k k x x k x x（3 2 x）（步 骤 5）2(2)(4),(3 2)(2),(2 0)()(2),(0 2)(2)(4),(2 3)k x x xk x x xf xx x xx xxk（步 骤 6）由 于 k 为 负 数，易 画 出()f x 在 3,3 的 图 形.有 图 形 可 知：3,1 为 单 调 增 区 间；1,1 为 单 调 减 区 间；1,3 为 单 调 增 区 间.（步 骤 7）(3)由

30、（2）可 知，()f x 的 最 小 值 出 自 于2(3),(1)1 f k f()f x 的 最 大 值 出 自 于1(1),(3)f k fk(步 骤 8)a.当 1 0 k 时，211,k kk 此 时：m a x1()(3)f x fk，m i n()(1)1 f x f（步 骤 9）b.当 1 k 时211,k kk 此 时：m a x m i n()(3)(1)1,()(1)(3)1 f x f f f x f f(步 骤 1 0)c.当 1 k 时211,k kk（步 骤 1 1）此 时：2m a x m i n()(1),()(3)f x f k f x f k（步 骤 1

31、2）2 1.（本 小 题 满 分 1 4 分）w _ w w.k#s 5 _ u.c o*m已 知 曲 线2nC y nx：，点(,)(0,0)n n n n nP x y x y 是 曲 线nC 上 的 点（n=1,2,）.（1）试 写 出 曲 线nC 在 点nP 处 的 切 线nl 的 方 程，并 求 出nl 与 y 轴 的 交 点nQ 的 坐 标；（2）若 原 点(0,0)O 到nl 的 距 离 与 线 段n nP Q 的 长 度 之 比 取 得 最 大 值，试 求 试 点nP 的 坐 标(,n nx y)；w _ w*w.k _ s _ 5 u.c*o*m（3）设 m 与 k 为 两

32、个 给 定 的 不 同 的 正 整 数，nx 与ny 是 满 足（2）中 条 件 的 点nP 的 坐 标，证 明：1(1)(1)2snnnm xk y m s k s(1,2,)s w【测 量 目 标】求 导 公 式 的 运 用，不 等 式 的 最 大 值 问 题 以 及 证 明 不 等 式 的 方 法.【考 查 方 式】考 查 切 线 方 程 的 求 法，不 等 式 中 最 大 值 得 求 解 以 及 不 等 式 证 明 方 法 的 应 用.【试 题 解 析】解：（1）2 2ny nx k nx 切 线nl 的 方 程：2()n n ny y nx x x（步 骤 1）令 0 x 的2 2

33、2 2 22 2,(0)n n n n n ny nx y nx nx nx Q nx 即，（步 骤 2）(2)切 线 方 程 可 写 成：22 2 0n n nnx x y nx y 222 2 224 12 1n nnnny nxnxdn xnx 2 2 2 2 2(2)1 4n n n n n nP Q x nx x n x 2 21 111 4 44nn n nnnnx dP Q n xnxnx（步 骤 3）当 且 仅 当1 14,2n nnnx xnx n 即 时 取“”此 时214n ny nxn 点np 的 坐 标 为1 1(,)2 4 n n.（步 骤 4）（3）1 1(1)1 1(1)2 4 4s snnn nm x m kk yn n 1 11 1 11 14 4 2s sn nm km kn n n 要 证1(1)(1)(1,2,)2snnnm xk y m s k s s 即111 12snm k s m kn 1 22(1)1s ss s s（步 骤 5）故 有11 1 1 1 1()(1 0)(2 1)(1)2 2 1 2sns s sn s 又 1 1 m k m k 恒 成 立所 以 有111 12snm k s m kn 恒 成 立即1(1)(1)(1,2,)2snnnm xk y m s k s s（步 骤 6）