2010年广西高考文科数学真题及答案.pdf

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1、20102010 年广西高考文科数学真题及答案年广西高考文科数学真题及答案一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分）1（5 分）cos300=（）ABCD2（5 分）设全集 U=1，2，3，4，5，集合 M=1，4，N=1，3，5，则 N（UM）=（）A1，3B1，5C3，5D4，53（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=x2y 的最大值为（）A4B3C2D14（5 分）已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则 a4a5a6=（）AB7C6D5（5 分）（1x）4（1）3的展开式 x2

2、的系数是（）A6B3C0D36（5 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于（）A30 B45 C60 D907（5 分）已知函数 f（x）=|lgx|若 ab 且，f（a）=f（b），则 a+b 的取值范围是（）A（1，+）B1，+）C（2，+）D2，+）8（5 分）已知 F1、F2为双曲线 C：x2y2=1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF2=60，则|PF1|PF2|=（）A2B4C6D89（5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为（）ABCD10（5 分）设 a=

3、log32，b=ln2，c=，则（）AabcBbcaCcabDcba11（5 分）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（）ABCD12（5 分）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（）ABCD二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13（5 分）不等式的解集是14（5 分）已知为第二象限的角，则 tan2=15（5 分）某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要

4、求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种（用数字作答）16（5 分）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点D，且，则 C 的离心率为三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）记等差数列an的前 n 项和为 Sn，设 S3=12，且 2a1，a2，a3+1 成等比数列，求Sn18（12 分）已知ABC 的内角 A，B 及其对边 a，b 满足 a+b=acotA+bcotB，求内角 C19（12 分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专

5、家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3各专家独立评审（）求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；（）求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率20（12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，SD底面 ABCD，ABDC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC（）证明：SE=2EB；（）求二面角 ADEC 的大小21（12 分）求函数 f（x）=x33x 在

6、3，3上的最值22（12 分）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点 K（1，0）的直线 l 与 C 相交于 A、B两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D（）证明：点 F 在直线 BD 上；（）设，求BDK 的内切圆 M 的方程参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分）1（5 分）（2010大纲版）cos300=（）ABCD【分析】利用三角函数的诱导公式，将 300角的三角函数化成锐角三角函数求值【解答】解：故选 C2（5 分）（2010大纲版）设全集 U=1，2，3，4，5，集合

7、 M=1，4，N=1，3，5，则 N（UM）=（）A1，3B1，5C3，5D4，5【分析】根据补集意义先求 CUM，再根据交集的意义求 N（CUM）【解答】解：（CUM）=2，3，5，N=1，3，5，则 N（CUM）=1，3，52，3，5=3，5故选 C3（5 分）（2010大纲版）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=x2y 的最大值为（）A4B3C2D1【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可【解答】解：画出可行域（如图），z=x2yy=xz，由图可知，当直线 l 经过点 A（1，1）时，

8、z 最大，且最大值为 zmax=12（1）=3故选：B4（5 分）（2010大纲版）已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则 a4a5a6=（）AB7C6D【分析】由数列an是等比数列，则有 a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10【解答】解：a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10，a52=a2a8，故选 A5（5 分）（2010大纲版）（1x）4（1）3的展开式 x2的系数是（）A6B3C0D3【分析】列举（1x）4与可以出现 x2的情况，通过二项式定理得到展开式 x2的系数【解答】解：将看作两部分与相乘，则出现x2的情况

9、有：m=1，n=2；m=2，n=0；系数分别为：=12；=6；x2的系数是12+6=6故选 A6（5 分）（2010大纲版）直三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于（）A30 B45 C60 D90【分析】延长 CA 到 D，根据异面直线所成角的定义可知DA1B 就是异面直线 BA1与 AC1所成的角，而三角形 A1DB 为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长 CA 到 D，使得 AD=AC，则 ADA1C1为平行四边形，DA1B 就是异面直线 BA1与 AC1所成的角，又 A1D=A1B=DB=AB，则三角形 A1DB 为

10、等边三角形，DA1B=60故选 C7（5 分）（2010大纲版）已知函数 f（x）=|lgx|若 ab 且，f（a）=f（b），则 a+b的取值范围是（）A（1，+）B1，+）C（2，+）D2，+）【分析】由已知条件 ab，不妨令 ab，又 y=lgx 是一个增函数，且 f（a）=f（b），故可得，0a1b，则 lga=lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以【解答】解：（方法一）因为 f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，不妨设 0ab，则 0a1b，lga=lgb，lga+lgb=0lg（ab）=0ab=1，又 a0，b0，且 ab（a+b）24ab=4a+b2故

11、选：C（方法二）由对数的定义域，设 0ab，且 f（a）=f（b），得：，整理得线性规划表达式为：，因此问题转化为求 z=x+y 的取值范围问题，则 z=x+yy=x+z，即求函数的截距最值根据导数定义，函数图象过点（1，1）时 z 有最小为 2（因为是开区域，所以取不到 2），a+b 的取值范围是（2，+）故选：C8（5 分）（2010大纲版）已知 F1、F2为双曲线 C：x2y2=1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF2=60，则|PF1|PF2|=（）A2B4C6D8【分析】解法 1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|PF2|的值解法 2，由焦点三角形面积公式和另一种

12、方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|PF2|的值【解答】解：法 1由双曲线方程得 a=1，b=1，c=，由余弦定理得cosF1PF2=|PF1|PF2|=4法2；由焦点三角形面积公式得：|PF1|PF2|=4；故选 B9（5 分）（2010大纲版）正方体 ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】正方体上下底面中心的连线平行于 BB1，上下底面中心的连线与平面 ACD1所成角，即为 BB1与平面 ACD1所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为 O1，O，设正方体的棱长等于 1，则 O1O 与平面

13、 ACD1所成角就是 BB1与平面 ACD1所成角，即O1OD1，直角三角形 OO1D1中，cosO1OD1=，故选 D10（5 分）（2010大纲版）设 a=log32，b=ln2，c=，则（）AabcBbcaCcabDcba【分析】根据 a 的真数与 b 的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量 1 与之比较大小，便值 a、b、c 的大小关系【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而 log23log2e1，所以 ab，c=，而，所以 ca，综上 cab，故选 C11（5 分）（2010大纲版）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（）

14、ABCD【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，结合切线长定理，设出 PA，PB 的长度和夹角，并将表示成一个关于 x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答【解答】解：如图所示：设 OP=x（x0），则 PA=PB=，APO=，则APB=2，sin=，=（12sin2）=（x21）（1）=x2+323，当且仅当 x2=时取“=”，故的最小值为 23故选 D12（5 分）（2010大纲版）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（）ABCD【分析】四面

15、体 ABCD 的体积的最大值，AB 与 CD 是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值【解答】解：过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD，交 AB 于 P，设点 P 到 CD 的距离为 h，则有，当直径通过 AB 与 CD 的中点时，故故选 B二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13（5 分）（2010大纲版）不等式的解集是x|2x1，或 x2【分析】本题是解分式不等式，先将分母分解因式，再利用穿根法求解【解答】解：，数轴标根得：x|2x1，或 x2故答案为：x|2x1，或 x214（5 分）（201

16、0大纲版）已知为第二象限的角，则 tan2=【分析】先求出 tan的值，再由正切函数的二倍角公式可得答案【解 答】解：因 为 为 第 二 象 限 的 角，又，所 以，故答案为：15（5 分）（2010大纲版）某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种（用数字作答）【分析】由题意分类：（1）A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，确定选法；（2）A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，确定选法；然后求和即可【解答】解：分以下 2 种情况：（1）A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门

17、，有 C31C42种不同的选法；（2）A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有 C32C41种不同的选法所以不同的选法共有 C31C42+C32C41=18+12=30 种故答案为：3016（5 分）（2010大纲版）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF的延长线交 C 于点 D，且，则 C 的离心率为【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出 D 的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于 a、c 的方程，解方程求出的值【解答】解：如图，作 DD1y 轴于点 D1，则由，得，所以，即，

18、由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得 e=，故答案为：三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）（2010大纲版）记等差数列an的前 n 项和为 Sn，设 S3=12，且 2a1，a2，a3+1成等比数列，求 Sn【分析】由 2a1，a2，a3+1 成等比数列，可得 a22=2a1（a3+1），结合 s3=12，可列出关于 a1，d的方程组，求出 a1，d，进而求出前 n 项和 sn【解答】解：设等差数列an的公差为 d，由题意得，解得或，sn=n（3n1）或 sn=2n（5n）18（12 分）（2010大纲版）

19、已知ABC 的内角 A，B 及其对边 a，b 满足 a+b=acotA+bcotB，求内角 C【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得 sin（A）=sin（B+），进而根据 A，B 的范围，求得 A和 B+的关系，进而求得 A+B=，则C 的值可求【解答】解：由已知及正弦定理，有 sinA+sinB=sinA+sinB=cosA+cosB，sinAcosA=cosBsinBsin（A）=sin（B+），0A，0BAB+A+B+=，A+B=，C=（A+B）=19（12 分）（2010大纲版）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；

20、若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3各专家独立评审（）求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；（）求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率【分析】（1）投到该杂志的 1 篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中包含的事情有时相互独立的，列出算式（2）投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录

21、用的对立事件是 0 篇被录用，1 篇被录用两种结果，从对立事件来考虑比较简单【解答】解：（）记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用则 D=A+BC，P（A）=0.50.5=0.25，P（B）=20.50.5=0.5，P（C）=0.3，P（D）=P（A+BC）=P（A）+P（BC）=P（A）+P（B）P（C）=0.25+0.50.3=0.40（2）记 4 篇稿件有 1 篇或 0 篇被录用为事件 E，则 P（E）=（10.4）4+C410.4（10.4）3=0.1296+0.34

22、56=0.4752，=10.4752=0.5248，即投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率是 0.524820（12 分）（2010大纲版）如图，四棱锥 SABCD 中，SD底面 ABCD，ABDC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC（）证明：SE=2EB；（）求二面角 ADEC 的大小【分析】（）连接 BD，取 DC 的中点 G，连接 BG，作 BKEC，K 为垂足，根据线面垂直的判定定理可知 DE平面 SBC，然后分别求出 SE 与 EB 的长，从而得到结论；（）根据边长的关系可知ADE 为等腰三角形，取 ED 中

23、点 F，连接 AF，连接 FG，根据二面角平面角的定义可知AFG 是二面角 ADEC 的平面角，然后在三角形 AGF 中求出二面角 ADEC 的大小【解答】解：（）连接 BD，取 DC 的中点 G，连接 BG，由此知 DG=GC=BG=1，即DBC 为直角三角形，故 BCBD又 SD平面 ABCD，故 BCSD，所以，BC平面 BDS，BCDE作 BKEC，K 为垂足，因平面 EDC平面 SBC，故 BK平面 EDC，BKDE，DE 与平面 SBC 内的两条相交直线 BK、BC 都垂直，DE平面 SBC，DEEC，DESBSB=，DE=EB=所以 SE=2EB（）由 SA=，AB=1，SE=2

24、EB，ABSA，知AE=1，又 AD=1故ADE 为等腰三角形取 ED 中点 F，连接 AF，则 AFDE，AF=连接 FG，则 FGEC，FGDE所以，AFG 是二面角 ADEC 的平面角连接 AG，AG=，FG=，cosAFG=，所以，二面角 ADEC 的大小为 12021（12 分）（2010大纲版）求函数 f（x）=x33x 在3，3上的最值【分析】先求函数的极值，根据极值与最值的求解方法，将 f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值【解答】解：f（x）=3x23=3（x+1）（x1），令 f（x）=0，则 x=1 或 x=1，经验证 x=1

25、 和 x=1 为极值点，即 f（1）=2 为极小值，f（1）=2 为极大值又因为 f（3）=18，f（3）=18，所以函数 f（x）的最大值为 18，最小值为1822（12 分）（2010大纲版）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点 K（1，0）的直线l 与 C 相交于 A、B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D（）证明：点 F 在直线 BD 上；（）设，求BDK 的内切圆 M 的方程【分析】（）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点 K 的直线 L 方程代入抛物线方程消去 x，设 L 与 C 的交点 A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得 y1+y2和 y1y2

26、的表达式，进而根据点 A 求得点 D 的坐标，进而表示出直线 BD 和 BF 的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为 4x2=y22，依题意可知等式成立进而推断出 k1=k2原式得证（）首先表示出结果为求得 m，进而求得 y2y1的值，推知 BD 的斜率，则 BD 方程可知，设 M 为（a，0），M 到 x=y1 和到 BD 的距离相等，进而求得 a 和圆的半径，则圆的方程可得【解答】解：（）抛物线 C：y2=4x的焦点为 F（1，0），设过点 K（1，0）的直线 L：x=my1，代入，整理得y24my+4=0，设 L 与 C 的交点 A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m

27、，y1y2=4，点 A 关于 X 轴的对称点 D 为（x1，y1）BD 的斜率 k1=，BF 的斜率 k2=要使点 F 在直线 BD 上需 k1=k2需 4（x21）=y2（y2y1），需 4x2=y22，上式成立，k1=k2，点 F 在直线 BD 上（）=（x11，y1）（x21，y2）=（x11）（x21）+y1y2=（my12）（my22）+y1y2=4（m2+1）8m2+4=84m2=，m2=，m=y2y1=4=，k1=，BD：y=（x1）易知圆心 M 在 x 轴上，设为（a，0），M 到 x=y1 和到 BD 的距离相等，即|a+1|=|（a1）|，4|a+1|=5|a1|，1a1，解得 a=半径 r=，BDK 的内切圆 M 的方程为（x）2+y2=