2012年湖南高考理科数学试题及答案.pdf

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1、20122012 年湖南高考理科数学试题及答案年湖南高考理科数学试题及答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M=-1,0,1，N=x|x2x，则 MN=A.0B.0,1C.-1,1D.-1,0,0【答案】B【解析】0,1N M=-1,0,1MN=0,1.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出0,1N,再利用交集定义得出 MN.2.命题“若=4，则 tan=1”的逆否命题是A.若4，则 tan1B.若=4，则 tan1C.若 tan1，则4D.若 tan1，则=4【答案】C【解析】因为“

2、若p，则q”的逆否命题为“若p，则q”，所以“若=4，则 tan=1”的逆否命题是“若 tan1，则4”.【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4

3、.设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y 与 x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x，y）C.若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kgD.若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重比为 58.79kg【答案】D【解析】由回归方程为y=0.85x-85.71 知y随x的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知()ybxabxybx ayb

4、x，所以回归直线过样本点的中心（x，y），利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5.已知双曲线 C：22xa-22yb=1 的焦距为 10，点 P（2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为A220 x-25y=1B.25x-220y=1C.280 x-220y=1D.220 x-280y=1【答案】A【解析】设双曲线 C：22xa-22yb=1 的半焦距为c，则210,5cc.又C 的渐近线为byxa，点 P（2,1）在 C 的渐近线上，12ba，即2ab.又222cab，2 5

5、,5ab，C 的方程为220 x-25y=1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.6.函数 f（x）=sinx-cos(x+6)的值域为A -2,2B.-3,3C.-1,1 D.-32,32【答案】B【解 析】f（x）=sinx-cos(x+6)31sincossin3sin()226xxxx，sin()1,16x，()f x值域为-3,3.【点评】利用三角恒等变换把()f x化成sin()Ax的形式，利用sin()1,1x，求得()f x的值域.7.在ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC =1 则_BC.A.

6、3B.7C.2 2D.23【答案】A【解析】由下图知AB BC =cos()2(cos)1AB BCBBCB .1cos2BBC.又由余弦定理知222cos2ABBCACBAB BC，解得3BC.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B的外角.8已知两条直线1l：y=m和2l：y=821m(m0)，1l与函数2logyx的图像从左至右相交于点 A，B，2l与函数2logyx的图像从左至右相交于 C,D.记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时，ba的最小

7、值为A16 2B.8 2C.8 4D.4 4【答案】B【解析】在同一坐标系中作出 y=m，y=821m(m0)，2logyx图像如下图，由2log x=m，得122,2mmxx，2log x=821m，得821821342,2mmxx.依照题意得8218218218212222,22,22mmmmmmmmbaba8218212 22mmmm.8141114312122222mmmm，min()8 2ba.【点评】在同一坐标系中作出 y=m，y=821m(m0)，2logyx图像，结合图像可解得.二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中

8、对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系 xOy 中，已知曲线1C：1,1 2xtyt (t 为参数)与曲线2C：sin,3cosxay(为参数，0a)有一个公共点在 X 轴上，则_a.【答案】32【解析】曲线1C：1,1 2xtyt 直角坐标方程为32yx，与x轴交点为3(,0)2；曲线2C：sin,3cosxay直角坐标方程为22219xya，其与x轴交点为(,0),(,0)aa，由0a，曲线1C与曲线2C有一个公共点在 X 轴上，知32a.【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想

9、方法等.曲线1C与曲线2C的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x轴交点，即可求得.10.不等式|2x+1|-2|x-1|0 的解集为_.【答案】14x x【解析】令()2121f xxx，则由()f x13,()2141,(1)23,(1)xxxx 得()f x0的解集为14x x.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.11.如图 2，过点 P 的直线与圆 O 相交于 A，B 两点.若 PA=1，AB=2，PO=3，则圆 O 的半径等于_.【答案】6【解析】设PO交圆 O 于 C，D，如图，设圆的半径为 R，由割线定理知,1(12)(3-)(3),6.P

10、A PBPC PDrrr 即ABPOCD【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PA PBPC PD，从而求得圆的半径.(二)必做题（1216 题）12.已知复数2(3)zi(i 为虚数单位)，则|z|=_.【答案】10【解析】2(3)zi=29686iii，228610z.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)abi a bR形式，利用22zab求得.13.(2 x-1x)6的二项展开式中的常数项为.（用数字作答）【答案】-160【解析】(2 x-1x)6的展开式项公式是6631661C(2)()C 2(1)rrrrrrrrTxxx.由题意知30,3

11、rr，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T .【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.14.如果执行如图 3 所示的程序框图，输入1x ,n=3,则输出的数S=.【答案】4【解 析】输 入1x ,n=3,，执 行 过 程 如 下：2:6233iS ；1:3(1)1 15iS ；0:5(1)0 14iS ，所以输出的是4.【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15.函数 f（x）=sin(x)的导函数()yfx的部分图像如图 4 所示，其中，P

12、为图像与 y轴的交点，A,C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6，点 P 的坐标为（0，3 32），则;（2）若在曲线段ABC与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC 内的概率为.【答案】（1）3；（2）4【解析】（1）()yfxcos()x，当6，点 P 的坐标为（0，3 32）时3 3cos,362；（2）由图知222TAC，122ABCSAC，设,A B的横坐标分别为,a b.设曲线段ABC与x轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaSfx dxf xab，由几何概型知该点在ABC 内的概率为224ABCSPS.【点评】本题考查三

13、角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点 P 在图像上求，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.16.设N=2n（nN*，n2），将 N 个数 x1,x2,，xN依次放入编号为 1,2，N 的 N 个位置，得到排列 P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置，得到排列 P1=x1x3xN-1x2x4xN，将此操作称为 C 变换，将 P1分成两段，每段2N个数，并对每段作 C 变换，得到2p；当 2in-2 时，将 Pi分成 2i段，每段2iN个数，并对每段C 变换，得到 Pi+1，例如，当 N=8 时，P2

14、=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x7位于 P2中的第 4 个位置.（1）当 N=16 时，x7位于 P2中的第_个位置；（2）当 N=2n（n8）时，x173位于 P4中的第_个位置.【答案】（1）6；（2）43 211n【解析】（1）当 N=16 时,012345616Px x x x x xx,可设为(1,2,3,4,5,6,16),113571524616Px x x xx x x xx,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,16),2159133711 152616Px x x x x x x x x xx,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,16),x7位

15、于 P2中的第 6 个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知 x173位于 P4中的第43 211n个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分

16、钟/人）11.522.53已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55.（）确定 x，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分钟的概率.（注：将频率视为概率）【解析】（1）由已知,得251055,35,yxy所以15,20.xy该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得153303251(1),(1.5),(2),10020100101004p X

17、p Xp X201101(2.5),(3).100510010p Xp XX的分布为X11.522.53P3203101415110X 的数学期望为33111()11.522.531.920104510E X .（）记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”，(1,2)iX i 为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则121212()(11)(11.5)(1.51)P AP XXP XXP XX且且且.由于顾客的结算相互独立，且12,XX的分布列都与 X 的分布列相同，所以121212()(1)1)(1)(1.5)(1.5)(1)P AP XP XP XP XP XP X(333

18、333920202010102080.故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为980.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55知2510100 55%,35,yxy从而解得,x y，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分钟的概率.18.（本小题满分 12 分）如图 5，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC

19、=90，E 是CD 的中点.（）证明：CD平面 PAE；（）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积.【解析】解法 1（如图（1），连接 AC，由 AB=4，3BC，905.ABCAC,得5,AD 又是的中点，所以.CDAE,PAABCD CDABCD平面平面所以.PACD而,PA AE是平面PAE内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.（）过点作,.BGCDAE ADF GPF 分别与相交于连接由（）CD平面 PAE 知，平面 PAE.于是BPF为直线与平面 PAE所成的角，且BGAE.由PAABCD 平面知，PBA为直

20、线PB与平面ABCD所成的角.4,2,ABAGBGAF由题意，知,PBABPF 因为sin,sin,PABFPBABPFPBPB所以.PABF由90/,/,DABABCADBCBGCD 知，又所以四边形BCDG是平行四边形，故3.GDBC于是2.AG 在RtBAG中，4,2,ABAGBGAF所以222168 52 5,.52 5ABBGABAGBFBG于是8 5.5PABF又梯形ABCD的面积为1(53)416,2S 所以四棱锥PABCD的体积为118 5128 516.33515VSPA解法 2：如图（2），以 A 为坐标原点，,AB AD AP所在直线分别为xyz轴，轴，轴建立空间直角坐标

21、系.设,PAh则相关的各点坐标为：(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).ABCDEPh（）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CDAEAPh 因为8800,0,CD AECD AP 所以,.CDAE CDAP而,AP AE是平面PAE内的两条相交直线，所以.CDPAE 平面()由题设和（）知，,CD AP 分别是PAE平面，ABCD平面的法向量，而 PB 与PAE平面所成的角和 PB 与ABCD平面所成的角相等，所以cos,cos,.CD PBPA PBCD PBPA PBCDPBPAPB ,即由（）知，(4,2,0),(0

22、,0,),CDAPh 由(4,0,),PBh 故222160000.162 516hhhh解得8 55h.又梯形 ABCD 的面积为1(53)4162S，所以四棱锥PABCD的体积为118 5128 51633515VSPA.【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PACD即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由13VSPA算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.19.（本小题满分 12 分）已知数列an的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1,2，（1）若a1

23、=1，a2=5，且对任意nN，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列an的通项公式.（2）证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意Nn，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.【解析】解（）对任意Nn,三个数(),(),()A n B n C n是等差数列，所以()()()(),B nA nC nB n即112,nnaaa亦即21214.nnaaaa故数列 na是首项为，公差为的等差数列.于是1(1)443.nann（）（）必要性：若数列 na是公比为的等比数列，则对任意Nn，有1.nnqaa由0na 知，(),(),()A n B n C

24、n均大于，于是12)2311212(.(),().nnnnq aaaaaaB nqA naaaaaa231)342231231(.(),().nnnnq aaaaaaC nqB naaaaaa即()()B nA n()()C nB nq，所以三个数(),(),()A n B n C n组成公比为q的等比数列.（）充分性：若对于任意Nn，三个数(),(),()A n B n C n组成公比为q的等比数列，则()(),()()B nqA n C nqB n，于是()()()(),C nB nq B nA n得2211(),nnaaq aa即2121.nnaqaaa由1n 有(1)(1),BqA即2

25、1aqa，从而210nnaqa.因为0na，所以2211nnaaqaa，故数列 na是首项为1a，公比为q的等比数列，综上所述，数列 na是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 nN，三个数(),(),()A n B n C n组成公比为q的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.20.（本小题满分 13 分）某企业接到生产 3000 台某产品的 A，B，三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为,（单位：件）.已知每个工人每天可生产部件件，或部件件，

26、或部件件.该企业计划安排名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为 k（k 为正整数）.（）设生产部件的人数为，分别写出完成，三种部件生产需要的时间；（）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.【解析】解：（）设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x由题设有1232 3000100020001500(),(),(),6200(1)T xT xT xxxkxk x期中,200(1)x kxk x均为 1 到 2

27、00 之间的正整数.（）完成订单任务的时间为123()max(),(),(),f xT x T x T x其定义域为2000,.1xxxNk易知，12(),()T x T x为减函数，3()T x为增函数.注意到212()(),T xT xk于是（1）当2k 时，12()(),T xT x此时1310001500()max(),()max,2003f xT x T xxx，由函数13(),()T x T x的单调性知，当100015002003xx时()f x取得最小值，解得4009x.由于134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113fTfTf

28、f而.故当44x 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f.（2）当2k 时，12()(),T xT x由 于k为 正 整 数，故3k，此 时1375(),()max(),()50T xxT x T xx易知()T x为增函数，则13()max(),()f xT x T x1max(),()T x T x1000375()max,50 xxx.由函数1(),()T x T x的单调性知，当100037550 xx时()x取得最小值，解得40011x.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311TT而此时完成订单任务的最短

29、时间大于25011.（3）当2k 时，12()(),T xT x由 于k为 正 整 数，故1k，此 时232000750()max(),()max,.100f xT x T xxx由函数23(),()T x T x的单调性知，当2000750100 xx时()f x取得最小值，解得80011x.类似（1）的讨论.此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当2k 时完成订单任务的时间最短，此时生产，三种部件的人数分别为 44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二

30、问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21.（本小题满分 13 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的点均在 C2：（x-5）2y2=9 外，且对 C1上任意一点 M，M 到直线 x=2 的距离等于该点与圆 C2上点的距离的最小值.（）求曲线 C1的方程；（）设 P(x0,y0)（y03）为圆 C2外一点，过 P 作圆 C2的两条切线，分别与曲线 C1相交于点 A，B 和 C，D.证明：当 P 在直线 x=4 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值.【解析】（）解法 1：设 M 的坐标为(,)x y，由已知得222(5)3xxy，易知圆2C上的点位于直线2x 的右侧.于是

31、20 x，所以22(5)5xyx.化简得曲线1C的方程为220yx.解法 2：由题设知，曲线1C上任意一点 M 到圆心2C(5,0)的距离等于它到直线5x 的距离，因此，曲线1C是以(5,0)为焦点，直线5x 为准线的抛物线，故其方程为220yx.（）当点 P 在直线4x 上运动时，P 的坐标为0(4,)y，又03y ，则过 P 且与圆2C相切得直线的斜率k存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),yyk x0即kx-y+y+4k=0.于是02543.1kykk整理得2200721890.ky ky设过 P 所作的两条切线,PA PC的斜率分别为12,k k，则12,k

32、 k是方程的两个实根，故001218.724yykk 由101240,20,k xyykyx得21012020(4)0.k yyyk设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,y yyy，则是方程的两个实根，所以0112120(4).ykyyk同理可得0234220(4).ykyyk于是由，三式得0102123412400(4)(4)ykyky y y yk k2012012124004()16ykkyk kk k22001212400166400yyk kk k.所以，当 P 在直线4x 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值 6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线

33、的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,A B C D四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.22.（本小题满分 13 分）已知函数()f x=axex，其中a0.（1）若对一切 xR，()f x1 恒成立，求a的取值集合.（2）在函数()f x的图像上取定两点11(,()A xf x，22(,()B xf x12()xx，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2），使0()fxk成立？若存在，求0 x的取值范围；若不存在，请说明理由

34、.【解析】（）若0a，则对一切0 x，()f x1axex，这与题设矛盾，又0a，故0a.而()1,axfxae令11()0,ln.fxxaa得当11lnxaa时，()0,()fxf x单调递减；当11lnxaa时，()0,()fxf x单调递增，故当11lnxaa时，()f x取最小值11111(ln)ln.faaaaa于是对一切,()1xR f x恒成立，当且仅当111ln1aaa.令()ln,g tttt 则()ln.g tt 当01t 时，()0,()g tg t单调递增；当1t 时，()0,()g tg t单调递减.故当1t 时，()g t取最大值(1)1g.因此，当且仅当11a即1

35、a 时，式成立.综上所述，a的取值集合为 1.（）由题意知，21212121()()1.axaxf xf xeekxxxx令2121()(),axaxaxeexfxkaexx则121()12121()()1,axa xxexea xxxx 212()21221()()1.axa xxexea xxxx令()1tF tet，则()1tF te.当0t 时，()0,()F tF t单调递减；当0t 时，()0,()F tF t单调递增.故当0t，()(0)0,F tF即10.tet 从而21()21()10a xxea xx，12()12()10,a xxea xx 又1210,axexx2210

36、,axexx所以1()0,x2()0.x因为函数()yx在区间12,x x上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)xx x使0()0,x2()0,()axxa ex单调递增，故这样的c是唯一的，且21211ln()axaxeecaa xx.故当且仅当212211(ln,)()axaxeexxaa xx时，0()fxk.综上所述，存在012(,)xx x使0()fxk成立.且0 x的取值范围为212211(ln,)()axaxeexaa xx.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x取最小值11111(ln)ln.faaaaa对一切 xR，f(x)1 恒成立转化为min()1f x，从而得出 a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.