2013年辽宁高考文科数学试题及答案.pdf

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1、20132013 年辽宁高考文科数学试题及答案年辽宁高考文科数学试题及答案第第 I I 卷卷一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.（1）已知集合1,2,3,4,|2,ABx xAB则（A A）0（B B）0,1（C C）0,2（D D）0,1,2【答案】【答案】B B【解析】【解析】由已知，由已知，B B=所以所以 A AB B=，选，选 B B。（2）复数的11Zi模为（A A）12（B B）22（C C）2（D D）2【答

2、案】【答案】B B【解析】由已知【解析】由已知 Z Z=,所以所以选选 B B（3）已知点1,3,4,1,ABAB 则与向量同方向的单位向量为（A A）3455，-（B B）4355，-（C C）3 45 5，（D D）4 35 5，【答案】【答案】A A【解析】【解析】，所以，所以|5AB ，这样同方向的单位向量是，这样同方向的单位向量是3455，-选选 A A（4）下面是关于公差0d 的等差数列na的四个命题：1:npa数列是递增数列；2:npna数列是递增数列；3:napn数列是递增数列；4:3npand数列是递增数列；其中的真命题为（A A）12,p p（B B）34,pp（C C）2

3、3,pp（D D）14,p p【答案】【答案】D D【解析【解析】因为因为=，且且所以函数所以函数是增函数是增函数，所以所以1P正正确确；,增区间是增区间是,当当，不是递增不是递增 所以所以2P错错；,如果如果是递减数列是递减数列，是常数列是常数列，是递增数列是递增数列，所以所以3P错；错；，是递增数列，是递增数列，4P正确正确.选选 D D（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20,40,40,60,60,80,8 20,100.若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是（A A）45（B B）50（C C）55（D D）60【答案】B【解析

4、】第一、第二小组的频率分别是 0.00520=0.1,0.0120=0.2，所以低于 60 分的频率是 0.3，设班级人数为x，则.选 B（6）在ABC，内角,A B C所对的边长分别为,.a b c1sincossincos,2aBCcBAb,abB且则A6B3C23D56【答案】【答案】A A1sincossincos,2aBCcBAb因为因为 0 0 B B b,b,所以所以 B B 为锐角为锐角 所以所以 B B=，选，选 A A（7）已知函数 21ln1 931,.lg2lg2f xxxff则A1B0C1D2【答案】【答案】D D【解析】【解析】2()ln(193)1fxxx所以所以

5、()()2f xfx，因为，因为lg2+1lg2=0 0 所以所以选选 D.D.（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,nS则输出的A49B67C89D1011【答案】【答案】A A【解析】【解析】211ssi是对是对211i 求和。因为求和。因为21111()2111iii，同时同时2ii，所以所求和为，所以所求和为1 111111()()()2 133579=49（9）已知点30,0,0,.ABC,OAbB a a若为直角三角形 则必有A3baB31baaC3310babaaD3310babaa【答案】C【解析】若 A 为直角，则根据 A、B 纵坐标相等，所以30ba；若 B 为直角，则利

6、用1OBABKK 或得310baa，所以选 C（10）已知三棱柱1116.34ABCABCOABAC的 个顶点都在球 的球面上若，,ABAC112AAO，则球 的半径为A3 172B2 10C132D3 10 答案答案CC【解析】如图：因为【解析】如图：因为,ABAC所以所以 BCBC 是小圆是小圆的直径，的直径，是小圆是小圆的直径，的直径，所以球心在所以球心在的中点的中点 R=R=（11）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为,F C与过原点的直线相交于,A B两点，连接 AF,BF 若，则 C 的离心率为（A A）35（B B）57（C C）45（D D）67【答案】【答案】B

7、 B【解析】设【解析】设为椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知，四边形为椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知，四边形 AFBAFB是平行四边形，由是平行四边形，由，得得 AF=6AF=6 即有即有，所，所以以c c=FOFO=,2a,2a=AF+AAF+A，所以，所以 e e=选选 B B（12）已知函数 222222,228.f xxaxag xxaxa 设 12max,min,max,Hxf xg xHxf xg xp q表示,p q中的较大值，min,p q表示,p q中的较小值，记 1Hx得最小值为,A 2Hx得最小值为B,则AB（A A）2216aa（B B）2216aa（C C）16（D D）

8、16【答案】C【解析】【解析】解得：解得：两曲线交两曲线交点为点为 M M,N NAB=1616，选，选 C C第第 IIII 卷卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 22 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分.（1313）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.【答案】【答案】1616【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。V 2224241616（1414

9、）已知等比数列）已知等比数列 13nnnaSanaa是递增数列,是的前 项和.若，是方程26540 xxS的两个根，则.【答案】【答案】6363【解析【解析】解方程解方程得得131,4aa，所以所以2314aqa，2q 代入等比求和代入等比求和公式得公式得663S（1515）已知）已知F为双曲线22:1,916xyCP QCPQ 的左焦点，为 上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点 A在线段 PQ 上，则PQF 的周长为.【答案】【答案】4444【解析】【解析】|6,|6,FPPAFQQA+=8 8|28FPFQ，|44FPFQPQ（1616）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取

10、）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 5 个班级，把每个班个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为已知样本平均数为 7 7，样本方差为，样本方差为 4 4，且样本数据互相，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为不相同，则样本数据中的最大值为.【答案】10【解析】方法一：设五个班级的数据分别为【解析】方法一：设五个班级的数据分别为 0 0,=7 7在在中最大的不能是中最大的不能是，假，假设当最大值是设当最大值是时，时，由于由于所以所以或两个为或两个为 1 1 一个一个为为 2 2，一个为，一个为 0 0，都不符合

11、数据不等和整数的条件，因此最大值只能是，都不符合数据不等和整数的条件，因此最大值只能是，又，又Pxy+=20=20 所以数据为所以数据为 4 4，6 6，7 7，8 8，1010方法二：设五个班级的数据分别为方法二：设五个班级的数据分别为 0 0 0 0对对恒成立，所以恒成立，所以4 44 4 0 0所以所以 数据为数据为 4 4，6 6，7 7，8 8，1010三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 12 分）设向量设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx（I I）若）若.abx求 的值；（

12、IIII）设函数）设函数()()f xa bf x，求的最大值【解析】：由.,得 4,又.从而.所以.,=当时，取最大值 1所以的最大值为18（本小题满分 12 分）如图，.ABOPAOCO是圆 的直径，垂直圆 所在的平面，是圆 上的点（I I）求证：）求证：BCPAC 平面；（IIII）设）设/.QPAGAOCQGPBC为的中点，为的重心，求证：平面.由 AB 是圆 O 的直径.得 ACBC.由 PA平面 ABC,BC平面 ABC.得 PABC又 PAAC=A.PA平面 PAC.AC平面 PAC.所以 BC平面 PAC.连 QG 并延长交 AC 与 M,连接 QM,QO.由 G 为AOC 的

13、重心.得 M 为 AC 中点.得 QMPC 又 O 为 AB 中点，得 OMBC,因为 QMMO=M,QM平面 QMO,QO平面 QMO.BCPC=C.BC平面 PBC.PC平面 PBC.所以平面 QMO平面 PBC.因为 QG平面 QMO.所以 QG平面 PBC19（本小题满分 12 分）现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答.试求：（I）所取的 2 道题都是甲类题的概率；（II）所取的 2 道题不是同一类题的概率.将 4 道甲类题依次编号为 1，2，3，4：2 道乙类题依次编号为 5，6.任取 2 道题，基本事件为：共 15 个.而且这些基本事件的出

14、现是等可能的.用 A 表示都是甲类题这一事件.则 A 包含的基本事件有.共 6 个.所以 P.基本事件同.用B表示不是同一类题这一事件,则B包含的基本事件有共 8 个,所以 P20（本小题满分 12 分）如图，抛物线2212002:4,:20.,Cxy Cxpy pM xyC 点在抛物线上，1MC过作0,.12A B MOA BOx 的切线，切点为为原点 时，重合于当时，1-.2MA切线的斜率为（I I）P求 的值；（IIII）2MCABN当在上运动时，求线段中点 的轨迹方程,.A BOO重合于 时 中点为 解析解析 （I I）因为抛物线因为抛物线:=4 4 上任意一点上任意一点的切线斜率为的

15、切线斜率为.且切线且切线 MAMA 的斜率的斜率为为，所以，所以 A A 点的坐标为点的坐标为.故切线故切线 MAMA 的方程为的方程为因为因为 M M在切线在切线 MAMA 与抛物线与抛物线上。于是上。于是所以所以 P=P=2 2（IIII）设）设 N N.A.A,B,B.,由由 N N 为线段为线段 ABAB 中点知中点知切线切线 MA,MBMA,MB 的方程为的方程为MA,MBMA,MB 的交点的交点 M M的坐标为的坐标为又又 M M在在上，即上，即,所以所以所以所以,当当时也满足所以时也满足所以 ABAB 中点轨迹方程为中点轨迹方程为21（本小题满分 12 分）（I）证明：当20,1

16、sin;2xxxx时，（II）若不等式3222 cosx40,12xaxxxxa对恒成立，求实数 的取值范围.【解析【解析】（I I）记记 F F,则则当当 时时，,F F在在上是增函数；当上是增函数；当 时，时，,F F在在上是减函数；上是减函数；又又F F，F F,所以当所以当 时时 F F.即即记记 H H，则当则当 时时，2 2 时，时，0 0 对对 不恒成立。不恒成立。综上，实数综上，实数 a a 的取值范围是（的取值范围是（，22解法二解法二记记，则则，记记 G G,则则=2+3=2+3当当时，时，,因此因此 0 0，=6 6 时，时，所以当，所以当时，时，因此，因此在在上是增函数

17、，故上是增函数，故当当 0 0，故存在，故存在使使=0 0 则当则当 0 0 x x =0 0 所以所以在在上是增函数，所以当上是增函数，所以当时，时，所以当所以当时，不等式时，不等式对对 不恒成立不恒成立，综上，实数综上，实数 a a 的取值范围是（的取值范围是（，22请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，.ABOCDOE ADCDD为直径，直线与相切于垂直于于，BC垂直于,.CDCEFFAE BE于，垂直于，连接证明：（I）

18、;FEBCEB（II）2.EFAD BC解析（解析（I I）由直线）由直线 CDCD 与圆与圆 O O 相切，得相切，得CEB=CEB=EABEAB 由由 ABAB 为圆为圆 O O 的直径，得的直径，得 AEAEEB,EB,从而从而EAB+EAB+EBF=EBF=,又又 EFEFABAB，得，得FEB+FEB+EBF=EBF=,从而从而EAB=EAB=FEBFEB，故，故FEB=FEB=CEBCEB（IIII）由）由 BCBCCE,EFCE,EFAB,AB,FEB=FEB=CEB,BECEB,BE 是公共边，得是公共边，得 RtRtBCEBCE RtRtAFE,AFE,得得 AD=AF,AD

19、=AF,又又在在 RtRtAEBAEB 中，中，EFEFAB,AB,故故,所以所以23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C，直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos2 2.4.（I）12CC求与交点的极坐标；（II）112.PCQCCPQ设 为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为33,.12xtatRa bbyt 为参数求的值 解析解析 （I I）圆）圆的直角坐标方程为的直角坐标方程为,直线直线的直角坐标方程为的直角坐标方程为,解解得得,所以交点的极坐标为所以交点的极坐标为，注不唯一注不唯一（IIII）P,QP,Q 的直角坐标为的直角坐标为PQPQ 的直角方程为的直角方程为，由参数方程可得由参数方程可得所以所以解得解得24（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数,1.f xxaa其中（I）=244;af xx当时，求不等式的解集（II）222|12,xfxaf xxx已知关于 的不等式的解集为.a求 的值【解析】（I）当时，时，当当时，由时，由得得解得解得当时，时，无解无解当时，时，的解集为的解集为解得解得所以所以的解集为的解集为（II）记,则则由，解得又已知的解集为所以所以于是于是