2024版新高考新教材版高考总复习数学1_4.1导数的概念和运算（十年高考）含答案.docx

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1、2024版新高考新教材版高考总复习数学第四章一元函数的导数及其应用4.1导数的概念及运算考点导数的概念和运算1.(2023全国甲文，8）曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，故选：C2.(2016四川理,9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=lnx,0x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)答案A设l1是y=-ln x(0x1)的切线,切

2、点P2(x2,y2),l1:y-y1=-1x1(x-x1),l2:y-y2=1x2(x-x2),-得xP=y1y2+21x1+1x2,易知A(0,y1+1),B(0,y2-1),l1l2,-1x11x2=-1,x1x2=1,SPAB=12|AB|xP|=12|y1-y2+2|y1y2+2|1x1+1x2=12(y1y2+2)2x1+x2x1x2=12(ln x1ln x2+2)2x1+x2=12ln(x1x2)+22x1+x2=124x1+x2=2x1+x2,又0x11,x1x2=1,x1+x22x1x2=2,0SPAB1.故选A.思路分析设出点P1,P2的坐标,进而根据已知表示出l1,l2,

3、然后求出点A、B的坐标及xP,最后利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.评析本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.3.(2014课标理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案Dy=a-1x+1,当x=0时,y=a-1=2,a=3,故选D.4.(2021新高考,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()A.ebaB.eabC.0aebD.0b0且k趋向于0,当x+时,曲线y=ex的切线的斜率k0且k趋向于+,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y=

4、ex的下方,0bea,故选D.解法二:易知曲线y=ex在点P(t,et)处的切线方程为y-et=et(x-t),切线过点(a,b),b-et=et(a-t),整理得et(t-a-1)+b=0.令f(t)=et(t-a-1)+b,则f (t)=et(t-a),当ta时, f (t)a时, f (t)0,f(t)在(-,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,当t=a时, f(t)取得最小值f(a)=-ea+b.由已知得, f(t)的零点的个数即为过点(a,b)的切线条数,f(t)有且仅有2个零点.f(a)=-ea+b0,即bea.若b0,则当ta时,t-a-10,et(t-a-1)0,则f(t)

5、0,f(t)在(-,a)上无零点,而f(t)在a,+)上至多有一个零点,不合题意.若0bea,由以上讨论可知,f(t)在(-,a)上为减函数,在(a,+)上为增函数,f(t)min=f(a)=-ea+b0,f(a+1)=b0,由零点存在性定理可知f(t)在(-,a)和a,+)上各有一个零点,结合f(t)的单调性知f(t)有且只有两个零点.综上,0b0时,y=ln x,设切点坐标为(x0,ln x0),y=1x,切线斜率k=y|x=x0=1x0,故切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0),又知切线过原点(0,0),-ln x0=-1,x0=e,故切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1ex

6、.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-1ex,故过坐标原点的两条切线方程为y=1ex和y=-1ex.7.(2022新高考,15,5分)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.答案 (-,-4)(0,+)解析设f(x)=(x+a)ex,则f (x)=(x+a+1)ex,设切点为(x0,(x0+a)ex0),因此切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0),又切线过原点(0,0),-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(-x0),整理得x02+ax0-a=0,又切线有两条,关于x0的方程x02+ax0-a=0有两不等实根,故=a2+

7、4a0,解得a0或a0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00),函数y=1x的导函数为y=-1x2,曲线y=1x(x0)在点P处的切线的斜率k2=-1x02,则有k1k2=-1,即11x02=-1,解得x02=1,又x00,x0=1.又点P在曲线y=1x(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).18.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.答案y=4x-3解析y=3ln x+1+x3x=3ln x+4,k=y|x

8、=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.19.(2020新高考,21,12分)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)1,求a的取值范围.解析f(x)的定义域为(0,+),f (x)=aex-1-1x.(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f (1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y

9、轴上的截距分别为2e1,2.因此所求三角形的面积为2e1.(2)当0a1时,f(1)=a+ln a1.当a=1时,f(x)=ex-1-ln x,f (x)=ex-1-1x.当x(0,1)时,f (x)0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)1.当a1时,f(x)=aex-1-ln x+ln aex-1-ln x1.综上,a的取值范围是1,+).名师点评:本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a1时,证明f(x)1需

10、要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.20.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析 解法一:由题意可知f (x)=3x2-1, f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1),即y=(3x12-1)x-2x13.因为曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以y=(3x121)x2x13,y=x2+

11、a有且仅有一组解,即方程x2-(3x12-1)x+2x13+a=0有两个相等的实数根,从而=(3x12-1)2-4(2x13+a)=04a=9x148x136x12+1.(1)若x1=-1,则4a=12a=3.(2)4a=9x148x136x12+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h(x)0,得-13x1,令h(x)0,得x-13或0x0,g(x)单调递增.若a=0,显然不满足.若a0,则当x(-1,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,此时g(x)和h(x)在(-1,0)上无交点.若a0,h(x)在(-1,1)

12、上单调递增,当x(1,+)时,h(x)0,h(x)在(1,+)上单调递减.(i)当x+时,h(x)0,g(x)+,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(0,+)上有一个交点,需g(0)h(0),解得a-1;(ii)当x=-1时,h(-1)=ae,当x-1时,g(x)-,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(-1,0)上有一个交点,也需要g(0)h(0),解得a-1.综上所述,a的取值范围为(-,-1).第四章一元函数的导数及其应用4.1导数的概念和运算五年高考考点导数的概念和运算1.(2020课标理,6,5分,易)函数f(x)=x4-2x3的图象在点

13、(1, f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1答案B2.(2023全国甲文,8,5分,中)曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为()A.y=e4xB.y=e2xC.y=e4x+e4D.y=e2x+3e4答案C3.(2019课标文,10,5分,中)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为()A.x-y-1=0B.2x-y-2-1=0C.2x+y-2+1=0D.x+y-+1=0答案C4.(2019课标,文7,理5,5分,中)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b

14、=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1答案D5.(2018课标理,5,5分,中)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D6.(2010江西,5,5分,中)等比数列an中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8),则f (0)=()A.26B.29C.212D.215答案C7.(2021新高考,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()A.ebaB.eabC.0aebD.0bea答案

15、D8.(2021全国甲理,13,5分,易)曲线y=2x-1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为.答案y=5x+29.(2020课标文,15,5分,中)设函数f(x)=exx+a.若f (1)=e4,则a=.答案110.(2013江西,13,5分,中)设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f (1)=.答案211.(2020课标文,15,5分,中)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.答案y=2x12.(2022新高考,14,5分,中)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.答案y=1ex;y=1ex(不分先后)13.(2019江苏,1

16、1,5分,中)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.答案(e,1)14.(2022新高考,15,5分,中)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.答案(-,-4)(0,+)15.(2021新高考,16,5分,难)已知函数f(x)=|ex-1|,x10,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1)和点B(x2, f(x2)处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则|AM|BN|的取值范围是.答案(0,1)16.(2022全国甲,20,12分,中)已知函数f(x)=x3

17、-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析由题意可知f (x)=3x2-1, f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线方程为y-(x13x1)=(3x12-1)(x-x1),即y=(3x121)x2x13.因为曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以y=(3x12-1)x-2x13,y=x2+a有且仅有一组解,即方程x2-(3x121)x+2x13+a=0有两个相等的实数根,从而=(3x121)24(2x13

18、+a)=04a=9x148x136x12+1.(1)若x1=-1,则4a=12a=3.(2)4a=9x148x136x12+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h(x)0,得-13x1,令h(x)0,得x-13或0x1,所以h(x)在-13,0和(1,+)上单调递增,在-,-13和(0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h-13=2027,所以h(x)-4,所以a-1.易错警示不能认为两曲线的公切线切点相同.17.(2020新高考,21,12分,中)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时

19、,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)1,求a的取值范围.解析(1)当a=e时, f(x)=ex-ln x+1, f (1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为-2e-1,2.因此所求三角形的面积为2e-1易错:容易忽略三角形的面积应大于0而把结果写成-2e-1.(6分)(2)当0a1时, f(1)=a+ln a1.当a=1时, f(x)=ex-1-ln x, f (x)=ex-1-1x.当x(0,1)时,f

20、 (x)0.所以当x=1时, f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)1.当a1时, f(x)=aex-1-ln x+ln aex-1-ln x1.综上,a的取值范围是1,+).(12分)18.(2019课标理,20,12分,难)已知函数f(x)=ln x-x+1x-1.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.解析(1)函数的定义域为(0,1)(1,+),对 f(x)求导得f (x)=1xx-1-(x+1)(x-1)2=1x+2(x-1)2,易知f

21、(x)0,所以函数f(x)在(0,1),(1,+)上单调递增.因为f(e-2)=3-e2e2-10,所以函数f(x)在(0,1)上存在一个零点.(函数零点存在定理)又f(e)=1-e+1e-10,所以函数f(x)在(1,+)上存在一个零点.(函数零点存在定理)综上, f(x)有且仅有两个零点.(2)因为x0是函数f(x)的一个零点,所以有ln x0=x0+1x0-1=1+2x0-1.函数y=ln x的导函数为y=1x,结合得曲线y=ln x在A(x0,ln x0)处的切线方程为y=1x0x+ln x0-1=1x0x+2x0-1,函数y=ex的导函数为y=ex,设切点坐标为(x1,ex1),当切

22、线斜率为1x0时,ex1=1x0,解得x1=-ln x0,所以切点坐标为-ln x0,1x0,故曲线y=ex在切点处的切线方程为y-1x0=1x0(x+ln x0),结合式化简为y=1x0x+ln x0+1x0=1x0x+1+2x0-1+1x0=1x0x+2x0-1,所以曲线y=ln x在A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.三年模拟一、单项选择题1.(2022广东3月联考,6,中)吹气球时,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系是V=43r3.当V=43 L时,气球的瞬时膨胀率为()A.14 dm/LB.13 dm/LC.3 L/dmD.4 L/dm答案A2

23、.新背景(2023辽宁大连一模,6,中)牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数f(x)在x0附近一点的函数值可用f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0)代替,该函数零点更逼近方程的解,以此法连续迭代,可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法,解方程x3-3x+1=0,选取初始值x0=12,在下面四个选项中最佳近似解为()A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347答案D3.(2023重庆联合诊断,8,中)在“数学王国”中有许多例如,e等美妙的常数,我们记常数为ln x=1x的根,若曲线y=ex-a与y=ln x存在公切线,则实数a的取值范围是()A.(-

24、,+ln B.(-,-ln C.+ln ,+)D.-ln ,+)答案A4.(2022湖南三湘名校联盟联考,8,中)设函数f(x)=2sin -1x2+(2-sin -3)x(R)的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l的倾斜角的最小值是()A.4B.3C.56D.34答案D二、多项选择题5.(2021江苏淮安六校联考,12,中)若直线l与曲线C:y=f(x)满足以下两个条件:点P(x0,y0)在曲线C:y=f(x)上,直线l的方程为y-y0=f (x0)(x-x0);曲线C:y=f(x)在点P(x0,y0)附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列选项正确的是()A.直线

25、l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln xB.直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2C.直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3D.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x答案CD6.新定义(2023浙江温州模拟,12,难)若函数y=f(x)的图象上存在两个不同的点P,Q,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合,则称函数y=f(x)为“切线重合函数”,下列函数中是“切线重合函数”的是()A.y=sin x+cos xB.y=sin(cos x)C.y=x+sin xD.y=x2+sin x答案ABC三、填空

26、题7.(2023广东茂名二模,14,中)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且x1时, f(x)=ex+x-1,则曲线y=f(x)在点P(2, f(2)处的切线方程为.答案2x+y-4=08.(2023山东德州一模,15,中)过点(-1,1)与曲线f(x)=ln(x+1)-3ex+2相切的直线方程为.答案2x+y+1=09.(2023江苏一模,16,难)直线x=t与曲线C1:y=-ex+ax及曲线C2:y=e-x+ax(aR)分别交于点A,B.曲线C1在A处的切线为l1,曲线C2在B处的切线为l2.若l1,l2相交于点C,则ABC面积的最小值为.答案210.新设问(2023广东二模,16

27、,难)已知f(x)=x3-x,若过点P(m,n)恰能作两条直线与曲线y=f(x)相切,且这两条切线关于直线x=m对称,则m的一个可能值为.答案269或-269或23015或-23015四、解答题11.(2023湖南郴州三模,22,难)已知函数f(x)=x2-ax+1,g(x)=ln x+a(aR).(1)若a=1, f(x)g(x)在区间(0,t)上恒成立,求实数t的取值范围;(2)若曲线f(x)和g(x)有公切线,求实数a的取值范围.解析(1)令h(x)=f(x)-g(x)=x2-ax+1-ln x-a,当a=1时,h(x)=x2-x+1-ln x-1=x2-x-ln x(x0),则h(x)

28、=2x-1-1x=2x2-x-1x=(2x+1)(x-1)x,令h(x)=0,得x=1(舍负),当0x1时,h(x)1时,h(x)0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,h(x)min=h(1)=0.则t的取值范围为(0,1.(2)设曲线f(x)在点(x1, f(x1)处与曲线g(x)在点(x2,g(x2)处有相同的切线,则f (x1)=g(x2)=f(x1)-g(x2)x1-x2,2x1-a=1x2=x12-ax1+1-ln x2-ax1-x2,x1=12x2+a2,代入x1-x2x2=x12-ax1+1-ln x2-a,得14x22+a2x2+ln x2+a24+a

29、-2=0.问题转化为关于x的方程14x2+a2x+ln x+a24+a-2=0有解,令F(x)=14x2+a2x+ln x+a24+a-2(x0),则函数F(x)有零点,F(x)=141x+a2+ln x+a-2,当x=e2-a时,ln x+a-2=0,F(e2-a)0.问题转化为F(x)的最小值小于或等于0.对F(x)求导得F(x)=-12x3a2x2+1x=2x2-ax-12x3,(注意2x2-ax-1=0的判别式大于0)设2x02-ax0-1=0(x00),则当0xx0时,F(x)x0时,F(x)0.F(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,F(x)的最小值为F(x0)

30、=14x02+a2x0+ln x0+a24+a-2.由2x02-ax0-1=0知a=2x0-1x0,故F(x0)=x02+2x01x0+ln x0-2.设(x)=x2+2x-1x+ln x-2(x0),则(x)=2x+2+1x2+1x0,故(x)在(0,+)上单调递增,(1)=0,当x(0,1时,(x)0,F(x)的最小值F(x0)0等价于0x01.又函数y=2x-1x在(0,1上单调递增,a=2x0-1x0(-,1,即实数a的取值范围是(-,1.12.(2023福建福州质检,22,难)已知aR,函数f(x)=(x-a-1)ex-1.(1)讨论f(x)在(-,b)上的单调性.(2)已知点P(m

31、,m).(i)若过点P可以作两条直线与曲线y=ex-1+1(-1x3)相切,求m的取值范围;(ii)设函数h(x)=ex-1+1,-1x1,ln(x-1)+1,1+e-2x1+e2,若曲线y=h(x)上恰有三个点Ti(i=1,2,3)使得直线PTi与该曲线相切于点Ti,写出m的取值范围(无需证明).解析(1)f (x)=(x-a)ex-1,当ab时, f (x)=(x-a)ex-10,所以f(x)在(-,b)上单调递减,当ab时,令f (x)0,则x0,则axb,所以函数f(x)在(-,a)上单调递减,在(a,b)上单调递增.综上,当ab时, f(x)在(-,b)上单调递减;当ab时, f(x

32、)在(-,a)上单调递减,在(a,b)上单调递增.(2)(i)设切点为Q(x1,y1),因为y=ex-1,所以切线的斜率为ex1-1,则切线方程为y-y1=ex1-1(x-x1),因为切线过点P(m,m),所以m-y1=ex1-1(m-x1),即m(1-ex1-1)=ex1-1(1-x1)+1(-1x13),若过点可以作两条直线与曲线y=ex-1+1(-1x3)相切,则上述关于x1的方程至少有两个不同的解,显然x1=1不是该方程的解,所以关于x的方程m=ex-1(1-x)+11-ex-1在(-1,1)(1,3)上至少有两个不同的解,令G(x)=ex-1(1-x)+11-ex-1,x(-1,1)

33、(1,3),则G(x)=ex-1(ex-1+1-x)(1-ex-1)2,x(-1,1)(1,3),令g(x)=ex-1+1-x,x(-1,1)(1,3),则g(x)=ex-1-1,x(-1,1)(1,3),当x(-1,1)时,g(x)0,所以g(x)在(1,3)上单调递增,所以g(x)g(1)=1,所以当x(-1,1)(1,3)时,G(x)0,所以G(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递增,G(x)的大致图象如图所示,因为G(0)=e+1e-1,G(3)=2e2-1e2-1,G(0)G(3),G(-1)=e2+2e2-1,G(2)=1,G(-1)G(2),G(-1)G(3),所以当e2+2e2-1m2e2-1e2-1时,关于x的方程m=ex-1(1-x)+11-ex-1在(-1,1)(1,3)上有两个不同的解,此时过点P可以作两条直线与