黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第一次高考模拟考试数学试题含解析.docx
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1、2023年哈三中高三学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题(共60分)(一)单项选择题(共8小题,每小题5分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 2. 在中,“”是“是钝角三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 定义在上的奇函数满足当时,则( )A. B. 4C. 14D. 04. 苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家,在诗词文书画等方面都有很深的造诣蝶恋花春景是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作,表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到:“墙里秋千墙外道墙外行人,墙里佳人笑笑渐
2、不闻声渐悄,多情却被无情恼”假如将墙看作一个平面,秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线,那么道路和墙面平行,当秋千静止时,秋千板与墙面垂直,秋千绳与墙面平行在佳人荡秋千的过程中,下列说法中错误的是( )A. 秋千绳与墙面始终平行B. 秋千绳与道路始终垂直C 秋千板与墙面始终垂直D. 秋千板与道路始终垂直5. 已知,若直线上存在点,使得,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 6. 长郡中学体育节中,羽毛球单打12强中有3个种子选手,将这12人任意分成3个组(每组4个人),则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为( )A. B. C. D. 7. 在边长为的菱形中,将绕直线旋转到,使得四面体
3、外接球的表面积为,则此时二面角的余弦值为( )A. B. C. D. 8. 已知,则()A. B. C. D. (二)多项选择题(共4小题,每小题5分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)9. 已知函数,则下列说法中正确的是( )A. 的最小正周期为B. 的图象关于对称C. 若的图象向右平移()个单位后关于原点对称,则的最小值为D. 在上的值域为10. 已知圆锥SO(O是圆锥底面圆圆心,S是圆锥的顶点)的母线长为3,底面半径为若P,Q为底面圆周上的任意两点,则下列说法中正确的是( )A. 圆锥SO的侧面积为B. SPQ面积的最大值为C.
4、三棱锥O-SPQ体积的最大值为D. 圆锥SO的内切球的体积为11. 已知抛物线,O为坐标原点,F为抛物线C的焦点,点P在抛物线上,则下列说法中正确的是( )A. 若点,则的最小值为4B. 过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条C. 若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上,则ODE的周长为D. 点H为抛物线C上任意一点,当t取最大值时,GFH的面积为212. 已知且,则下列说法中错误是( )A. B. 若关于b的方程有且仅有一个解,则C. 若关于b的方程有两个解,则D. 当时,二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 的展开式中,常数项为_14. 已知,且,则的最小值为_15
5、. 设是数列的前n项和,令,则_16. 如图,椭圆与双曲线有公共焦点,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,点为两曲线的一个公共点,且,则_;为的内心,三点共线,且,轴上点满足,则的最小值为_三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设ABC外接圆的半径为R,且(1)求角A的大小;(2)若D为BC边上的点,求18. 已知递增等差数列满足:,成等比数列(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和19. 如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,PAD为等边三角形,平面平面ABCD,(1)求点A到平面PBC的距离;(
6、2)E为线段PC上一点,若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为,求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值20. 在数学探究实验课上,小明设计了如下实验:在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球,现从盒子中一次摸一个球,不放回(1)若盒子中有8个球,其中有3个红球,从中任意摸两次求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率;记摸出红球个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望(2)若1号盒中有4个红球和4个白球,2号盒中有2个红球和2个白球,现甲、乙、丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒,然后丁从2号盒中任取一球已知丁取到红球,求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率21. 已知平面内动点M到
7、定点F(0,1)的距离和到定直线y=4的距离的比为定值(1)求动点M的轨迹方程;(2)设动点M的轨迹为曲线C,过点的直线交曲线C于不同的两点A、B,过点A、B分别作直线x=t的垂线,垂足分别为、,判断是否存在常数t,使得四边形的对角线交于一定点?若存在,求出常数t的值和该定点坐标;若不存在,说明理由22. 已知函数(1)当a=0时,求函数的最小值;(2)当的图像在点处的切线方程为y=1时,求a的值,并证明:当时,2023年哈三中高三学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题(共60分)(一)单项选择题(共8小题,每小题5分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合,则(
8、)A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合M表示函数,在上的值域,则;集合N表示函数,在上的值域,则.后由交集定义可知.故选:D2. 在中,“”是“是钝角三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设与的夹角为,因为,即,所以,又为内角的补角,所以,是钝角三角形;当为钝角三角形时,不一定是钝角所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件,故选:A.3. 定义在上的奇函数满足当时,则( )A. B. 4C. 14D. 0【答案】A【解析】因为,令,则,所以,即,因为是定义在上的奇函数,所以,所以,则,故的周期是4,因为当时
9、,所以.故选:A.4. 苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家,在诗词文书画等方面都有很深的造诣蝶恋花春景是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作,表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到:“墙里秋千墙外道墙外行人,墙里佳人笑笑渐不闻声渐悄,多情却被无情恼”假如将墙看作一个平面,秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线,那么道路和墙面平行,当秋千静止时,秋千板与墙面垂直,秋千绳与墙面平行在佳人荡秋千的过程中,下列说法中错误的是( )A. 秋千绳与墙面始终平行B. 秋千绳与道路始终垂直C. 秋千板与墙面始终垂直D. 秋千板与道路始终垂直【答案】B【解析】显然,在荡秋千的过程中,秋千绳与墙面始终平行,但与道路所成的角在
10、变化,则秋千绳与道路的位置关系在发生变化,而秋千板始终与墙面垂直,故也与道路始终垂直故选:B.5. 已知,若直线上存在点,使得,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】若,则点在以,为直径的圆上(点不能是、),以,为直径的圆的圆心为,半径,则圆的方程为,即直线与圆:有公共点(公共点不能是、),当直线与圆:有公共点时,则,解得;当直线与圆:的公共点为A或B时,则直线即为x轴,即;综上所述:实数的取值范围为,故选:B.6. 长郡中学体育节中,羽毛球单打12强中有3个种子选手,将这12人任意分成3个组(每组4个人),则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为( )A. B. C
11、. D. 【答案】B【解析】由已知条件得将12人任意分成3组,不同的分组方法有 种,3个种子选手分在同一组的方法有 种,故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为,故选:.7. 在边长为的菱形中,将绕直线旋转到,使得四面体外接球的表面积为,则此时二面角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可知,和均为正三角形,设为中点,延长,作交于点,则是二面角的平面角,作的中心,则在上,且,作,可知四面体外接球的球心在上,又,在和中,由,解得,二面角的余弦值为,故选:A8. 已知,则()A. B. C. D. 【答案】C【思路分析】构造函数,利用导数研究其单调性,从而得到;再构造函数,
12、进而得到,由此得解.【解析】令,则,故在上单调递减,所以,即,即,故;令,则,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,令,所以,所以在上单调递增,所以,所以;综上:,故选:C.【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理(二)多项选择题(共4小题,每小题5分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)9. 已知函数,则下列说法中正确的是( )A. 的最小正周期为B. 的图象关于对称C.
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