2010年四川高考理科数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 0 年 四 川 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案第 卷一、选 择 题：（1）i 是 虚 数 单 位，计 算2 3i i i（A）1（B）1（C）i（D）i（2）下 列 四 个 图 像 所 表 示 的 函 数，在 点 0 x 处 连 续 的 是（A）（B）（C）（D）（3）5 52 l og 10 l og 0.25（A）0（B）1（C）2（D）4（4）函 数2()1 f x x m x 的 图 像 关 于 直 线 1 x 对 称 的 充 要 条 件 是（A）2 m（B）2 m（C）1 m（D）1 m（5）设 点 M 是 线 段 B C 的 中 点，点 A 在 直 线 B

2、C 外，216,B C A B A C A B A C 则A M（A）8（B）4（C）2（D）1（6）将 函 数 s i n y x 的 图 像 上 所 有 的 点 向 右 平 行 移 动10个 单 位 长 度，再 把 所 得 各 点 的 横坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍（纵 坐 标 不 变），所 得 图 像 的 函 数 解 析 式 是（A）s i n(2)10y x（B）s i n(2)5y x（C）1s i n()2 10y x（D）1s i n()2 20y x（7）某 加 工 厂 用 某 原 料 由 甲 车 间 加 工 出 A 产 品，由 乙 车 间 加 工 出 B 产 品 甲

3、 车 间 加 工 一 箱BCDANMO原 料 需 耗 费 工 时 1 0 小 时 可 加 工 出 7 千 克 A 产 品，每 千 克 A 产 品 获 利 4 0 元，乙 车 间 加 工一 箱 原 料 需 耗 费 工 时 6 小 时 可 加 工 出 4 千 克 B 产 品，每 千 克 B 产 品 获 利 5 0 元 甲、乙两 车 间 每 天 共 能 完 成 至 多 7 0 箱 原 料 的 加 工，每 天 甲、乙 两 车 间 耗 费 工 时 总 和 不 得 超 过4 8 0 小 时，甲、乙 两 车 间 每 天 总 获 利 最 大 的 生 产 计 划 为（A）甲 车 间 加 工 原 料 1 0 箱，

4、乙 车 间 加 工 原 料 6 0 箱（B）甲 车 间 加 工 原 料 1 5 箱，乙 车 间 加 工 原 料 5 5 箱（C）甲 车 间 加 工 原 料 1 8 箱，乙 车 间 加 工 原 料 5 0 箱（D）甲 车 间 加 工 原 料 4 0 箱，乙 车 间 加 工 原 料 3 0 箱（8）已 知 数 列 na 的 首 项10 a，其 前 n 项 的 和 为nS，且1 12n nS S a，则 l i mnnnaS（A）0（B）12（C）1（D）2（9）椭 圆2 22 21()x ya ba b 的 右 焦 点 F，其 右 准 线 与 x 轴 的 交 点 为 A，在 椭 圆 上 存 在点

5、P 满 足 线 段 A P 的 垂 直 平 分 线 过 点 F，则 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是（A）20,2（B）10,2（C）2 1,1（D）1,12（1 0）由 1、2、3、4、5、6 组 成 没 有 重 复 数 字 且 1、3 都 不 与 5 相 邻 的 六 位 偶 数 的 个 数 是（A）7 2（B）9 6（C）1 0 8（D）1 4 4（1 1）半 径 为 R 的 球 O 的 直 径 A B 垂 直 于 平 面，垂 足 为 B，B C D 是 平 面 内 边 长 为 R的 正 三 角 形，线 段 A C、A D 分 别 与 球 面 交 于 点 M，N，那 么 M、N

6、两 点 间 的 球 面 距 离 是（A）17a r c c os25R（B）18a r c c os25R（C）13R（D）415R（1 2）设 0 a b c，则2 21 12 10 25()a ac cab a a b 的 最 小 值 是（A）2（B）4（C）2 5（D）5D A BCDMOA B C AB2 0 1 0 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（四 川 卷）数 学（理 工 农 医 类）第 卷二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 4 分，共 1 6 分 把 答 案 填 在 题 中 横 线 上（1 3）631(2)x 的 展 开 式 中 的

7、 第 四 项 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（1 4）直 线 2 5 0 x y 与 圆2 28 x y 相 交 于 A、B 两 点，则 A B _ _ _ _ _ _ _ _（1 5）如 图，二 面 角 l 的 大 小 是 6 0，线 段 A B B l，A B 与 l 所 成 的 角 为 3 0 则 A B 与 平 面 所 成的 角 的 正 弦 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _（1 6）设 S 为 复 数 集 C 的 非 空 子 集 若 对 任 意 x,y S，都 有 x y,x y,x y S，则 称 S为 封 闭 集。下 列 命 题：集 合 S a bi（a,b

8、为 整 数，i 为 虚 数 单 位）为 封 闭 集；若 S 为 封 闭 集，则 一 定 有 0 S；封 闭 集 一 定 是 无 限 集；若 S 为 封 闭 集，则 满 足 S T C 的 任 意 集 合 T 也 是 封 闭 集 其 中 真 命 题 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（写 出 所 有 真 命 题 的 序 号）三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 4 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤。（1 7）（本 小 题 满 分 1 2 分）某 种 有 奖 销 售 的 饮 料，瓶 盖 内 印 有“奖 励

9、一 瓶”或“谢 谢 购 买”字 样，购 买 一 瓶 若 其 瓶盖 内 印 有“奖 励 一 瓶”字 样 即 为 中 奖，中 奖 概 率 为16 甲、乙、丙 三 位 同 学 每 人 购 买 了 一 瓶该 饮 料。（）求 甲 中 奖 且 乙、丙 都 没 有 中 奖 的 概 率；（）求 中 奖 人 数 的 分 布 列 及 数 学 期 望 E（1 8）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 正 方 体 A B C D A C D 的 棱 长 为 1，点 M 是 棱 A A 的 中 点，点 O 是 对 角 线 B D 的 中 点（）求 证：O M 为 异 面 直 线 A A 和 B D 的 公 垂 线；

10、（）求 二 面 角 M B C B 的 大 小；（）求 三 棱 锥 M O B C 的 体 积（1 9）（本 小 题 满 分 1 2 分）（）证 明 两 角 和 的 余 弦 公 式 C:c os()c os c os s i n s i n；由 aC 推 导 两 角 和 的 正 弦 公 式.s i n c os c os s i n)s i n(:a a a Sa（）已 知 A B C 的 面 积123 S A B A C，且35c os B，求 c os C（2 0）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 定 点 1 0 2 0 A(,),F(,)，定 直 线12l:x，不 在 x 轴 上

11、 的 动 点 P 与 点 F 的 距 离 是它 到 直 线 l 的 距 离 的 2 倍 设 点 P 的 轨 迹 为 E，过 点 F 的 直 线 交 E 于 B C、两 点，直 线A B A C、分 别 交 l 于 点 M N、（）求 E 的 方 程；（）试 判 断 以 线 段 M N 为 直 径 的 圆 是 否 过 点 F，并 说 明 理 由（2 1）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 数 列 na 满 足1 20 2 a,a，且 对 任 意 m,n N*都 有21 1 2 1 2)(2 2 n m a an m n m（）求3 5a,a；（）设2 1 2 1 n n nb a a(n

12、N*)证 明：nb 是 等 差 数 列；（）设*),0()(11 2N n q q a a cnn n n，求 数 列 nc 的 前 n 项 和nS（2 2）（本 小 题 满 分 1 4 分）设11xxaf(x)a（0 a 且 1 a），g(x)是 f(x)的 反 函 数（）设 关 于 x 的 方 程21 7atl og g(x)(x)(x)在 区 间 2 6,上 有 实 数 解，求 t 的 取值 范 围；（）当 a e（e 为 自 然 对 数 的 底 数）时，证 明：2222 1nkn ng(k)n(n)；（）当120 时，试 比 较1nkf(k)n 与 4 的 大 小，并 说 明 理 由

13、参 考 答 案一、选 择 题：本 题 考 查 基 本 概 念 和 基 本 运 算。每 小 题 5 分，满 分 6 0 分。1 6：A D C A C C1 1 2：B B D C A B二、填 空 题：本 题 考 查 基 础 知 识 和 和 基 本 运 算。每 小 题 4 分，满 分 1 6 分。（1 3）x160（1 4）3 2（1 5）43（1 6）三、解 答 题（1 7）本 小 题 主 要 考 查 相 互 独 立 事 件、随 机 变 量 的 分 布 列、数 学 期 望 等 概 念 及 相 关 计 算，考查 运 用 所 学 知 识 与 方 法 解 决 实 际 问 题 的 能 力。解：（）设

14、 甲、乙、丙 中 奖 的 事 件 分 别 为 A、B、C，那 么.21625)65(61)()()()(,61)()()(2 C P B P A P C B A PC P B P A P答：甲 中 奖 且 乙、丙 都 没 有 中 奖 的 概 率 是21625（6 分）（）的 可 能 取 值 为 0，1，2，3。的分布列为 所以中奖人数.3,2,1,0,)65()61()(3 43 k C k Pk k 0 1 2 3P21612572257252161.21216137252722512161250 E（1 2 分）（1 8）本 小 题 主 要 考 查 异 面 直 线、直 线 与 平 面 垂

15、直、二 面 角、正 方 体、三 棱 锥 体 积 等 基 础 知识，并 考 查 空 间 想 象 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力，考 查 应 用 向 量 知 识 解 决 数 学 问 题 的 能 力。=（）连 结 A C，取 A C 的 中 点 K，则 K 为 B D 的 中 点，连 结 O K。因 为 点 M 是 棱 A A 的 中 点，点 O 是 D B 的 中 点，所 以 A M D D 21O K所 以 M O A K,.,都相交 和 异面直线 与 又因为所以所以平面 所以 因为得D B A A z O MD B B OD B A KB D B D A K B B A K B D A K

16、A A M O A K A A 的公垂线 和 为异面直线 故 D B A A O M。（4 分）（）取,B C B C M N M N N B B 平面 则 连结 的中点,M H H C B N H N 连结 于 作 过点 则由三垂线定理得，.M H C B 从 而，.的平面角 为二面角 B C B M M H N.2 2421t a n,.42222145 s i n,1 N HM NM H N M N H R tB N N H M N中 在故 二 面 角.2 2 t a n at c B C B M 的大小为（9 分）（）易 知，D A M O A D B C D A O O B C S

17、SO C B D B C 到平面 点 内 都在平面 和 且,.21 h 的距离.24131 h D A S V V VD A M O D A O M O B C M（1 2 分）解 法 二以 点 D 为 坐 标 原 点，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系,x y z D（）因 为 点 M 是 棱,的中点 是 点 的中点 D B O A A=所 以),21,21,21(),21,0,1(O M.,0 02121,0)1,1,1(),1,0,0(),0,21,21(的公垂线 和 为异面直线 故都相交 和 与异面直线 又因为所以D B A A O MD B A A O MD B

18、O M A A O MD B O M A A O MD B A A O M（4 分）（）设 平 面).,(1z y x n C B M 的一个法向量为),1,0,1(),21,1,0(C B B M,0,011C B nM B n即.0,021z xz y.,.311 91c os(),0,1,0().2,1,2(,1,2,22 12 12 121的平面角为锐角 二面角 由图可知的一个法向量为 取平面从而 则 取B C B Mn nn nn nn B C Bn y z z 故 二 面 角.31a r c c os 的大小为 B C B M（9 分）（）易 知，.422 14141 C D A

19、O B CS S)0,0,1(),1,1,1(),(1 1 1 1 C B D Bz y x n O B C 的一个法向量为 设平面.0,031B C nD B n即.0,011 1 1xz y x取).1,1,0(,1,13 1 1 n y z 从而 则点 M 到 平 面 O B C 的 距 离.2 2122131 nn B Md.2412 21423131 d S V O B C A B C M（1 2 分）（1 9）本 小 题 考 查 两 角 和 的 正、余 弦 公 式、诱 导 公 式、同 角 三 角 函 数 间 的 关 系 等 基 础 知 识 及运 算 能 力。解：（）如 图，在 直

20、角 坐 标 系 x O y 内 作 单 位 圆 O，并 作 出 角 的始边 使角 与 a a,O x 为 交 O 于 点 P1，终 边 交 O 于 点 P2；角 的 始 边 为 O P2，终 边 交 O 于 点 P3，角 的 始 边 为 O P2，终 边 交 O 于 点 P4。则),s i n,(c os),0,1(2 1a a P P2 22 24 2 3 143 s i n)s i n(c os)c os()(s i n 1)c os(,).s i n(),(c os(),s i n(),(c os(a aa aP P P PPa a P 得 及两点间的距离公式 由展 开 并 整 理，得)

21、.s i n s i n c os(c os 2 2)c os(2 2 a a a.s i n s i n c os c os)c os(a a a（4 分）由 易 得，.c os)2s i n(,s i n)2c os(a a a a)()2c os()(2c os)s i n(a a a.s i n c os c os s i n)s i n()2s i n()c os()2c os(a aa a.s i n c os c os s i n)s i n(a a a（6 分）（）由 题 意，设 B A B C 的角、C 的 对 边 分 别 为 b、c，则.21s i n21 A bc S.5

22、4s i n,53c os.1010 3c os,1010s i n,1 c os s i n.s i n 3 c os),2,0(,0 3 c os2 2 B BA A A AA A AA bc A C A B得 由题意又.1010s i n s i n c os c os)(9 c os B A B A B A.1010)c os()(c os c os B A B A C 故（1 2 分）（2 0）本 小 题 主 要 考 查 直 线、轨 迹 方 程、双 曲 线 等 基 础 知 识，考 查 平 面 解 析 几 何 的 思 想 方 法及 推 理 运 算 能 力。解：（）设 则),(y x P

23、,212)2(2 2 x y x化 简 得).0(1322 yyx（4 分）（）当 直 线 B C 与 x 轴 不 生 直 时，设 B C 的 方 程 为).0)(2(k x k y与 双 曲 线 方 程 得 联立消去 yyx 1322 4)(2)2)(2(,33 4*34),(),(.0 0 3,0)3 4(4)3(2 1 2 122 122 1222 1222 1 2 2 1 122 2 2 2 x x x x k x x k y ykkx xkkx x y x C y x Bkk x k x k则 设且 由题意知.39)43833 4(2222222kkkkkkk因 为.1,2 1 x

24、x),)1(23,23(.)1(2323(,)1(23,21(),1(122221211 xyF NxyF MxyM xxyy A B同理可得点的坐标为 因此 的方程为 所以直线因 此)23()23(F N F M)1)(1(492 12 1 x xy y0)13433 4(438149222222 kkkkkk 当 直 线 B C 与 x 轴 垂 直 时，其 方 程 为),3,2(),3,2(,2 C B x 则A B 的 方 程 为 点的坐标为 因此 M x y,1).23,23(),23,21(F M同 理 可 得,023)23()23()23(F N F M综 上，.,0 F N F

25、M F N F M 即故 以 线 段 M N 为 直 径 的 圆 过 点 F。（1 2 分）（2 1）本 小 题 主 要 考 查 数 列 的 基 础 知 识 和 化 归，分 类 整 合 等 数 学 思 想，以 及 推 理 论 证、分 析与 解 决 问 题 的 能 力。解：（）由 题 意，令.6 2 2 1,21 2 3 a a a n m 可得再 令.20 8 2 1,31 3 5 a a a n m 可得（2 分）（）即 于是可得 代替 以 由已知 时 当8)(8 2)2(,*1 2 1 2 1)1(2 1)1(21 2 1 2 1 2 n n n nn n na a a aa a am n

26、 N n.81 n nb b所 以，数 列.8 的等差数列 是公差为nb（5 分）（）由（）、（）的 解 答 可 知.8,61 3 1的等差数列 公差为 是首项 a a b bn则 即,2 8 n nb.2 81 2 1 2 n a an n另 由 已 知（令)1 m 可 得，3 1 2)1(2 na aan nn那 么，1 221 2 1 21 na aa an nn nnnn21 222 8 于 是，12nnnq c当).1(2 6 4 2,1 n n n S qn 时当1 2 4 62 6 4 2,1 nnq n q q q S q 时两 边 同 乘 q 可 得.2)1(2 6 4 21

27、 2 2 2 n nnq n q n q q q qS 上 述 两 式 相 减 即 得n nnnq q q q S q 2)1(2)1(1 2 1=nnnqqq2112=qnq q nn n 1)1(121所 以21)1(1)1(2 qq n nqSn nn综 上 所 述，)12(),1(,)1(1)1(2)1()1(21分 qqq n nqq n nSn nn（2 2）本 小 题 考 查 函 数、反 函 数、方 程、不 等 式、导 数 及 其 应 用 等 基 础 知 识，考 查 化 归、分类 整 合 等 数 学 思 想 方 法，以 及 推 理 论 证、分 析 与 解 决 问 题 的 能 力。

28、解：（）由 题 意，得,011yyan故).,1()1,(,11l og)(xxxx ga由11l og)7)(1(l og2 xxx xta a得).5)(1(3 15 18 3 6,2),7()1(22 x x x x tx x x t则列 表 如 下：x2（2，5）5（5，6）6t 0 t 5 极 大 值 2 5所 以 32,5 最大值 最小值t t所 以 t 的 取 值 范 围 为 5，3 2（5 分）（）111531421311)(2 nnn n n n k gnn2)1(1)11534231(1 n nnnnn.),0()(.0)11(112)(,0,12111)(2222上是增函

29、数 在 所以则令 z uz z zz uzzz nzzznz z u)9()1(22)(,02)1(2)1(1)1(210)1()2)1(,0 12)1(22分 即却所以 又因为 n nn nk gn nn nn nnnn nnn nnn（）1)1(21)1()1()(,*,2,2.4 221)1(,132111)1(1,1,1111 k kkp ppk f N k knpf nn nnf ppn则 时 设时 当时 当则 设nP C P C P C242 242421 nnnnn n f k f nnnnnn k f nk k k k C Ck f1224144 1)1()(.114114241)(114 41)1(4121)(1所以从而所以综 上，总 有.4)(1 nnn k（1 4 分）