2011年重庆高考理科数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 1 年 重 庆 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案满 分 1 5 0 分.考 试 时 间 1 2 0 分 钟.注 意 事 项：1 答 题 前，务 必 将 自 己 的 姓 名，准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 规 定 的 位 置 上.2 答 选 择 题 时，必 须 使 用 2 B 铅 笔 将 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦擦 干 净 后，再 选 其 他 答 案 标 号.3 答 非 选 择 题 时，必 须 使 用 0.5 毫 米 黑 色 签 字 笔，将 答 案 书 写 在 答 题 卡 规 定 的 位 置 上.4

2、所 有 题 目 必 须 在 答 题 卡 上 作 答，在 试 题 卷 上 答 题 无 效.5 考 试 结 束 后，将 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 备 选 项 中，只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的.1 复 数2 3 41i i ii A 1 12 2i B 1 12 2i C 1 12 2i D 1 12 2i 2“x”是“x”的A 充 分 而 不 必 要 条 件 B 必 要 而 不 充 分 条 件C 充 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要

3、3 已 知 l i m()xaxx x，则 a A B 2 C 3 D 64(1 3)(6)nx n N n 其 中 且 的 展 开 式 中5 6x x 与 的 系 数 相 等，则 n=A 6 B 7 C 8 D 95 下 列 区 间 中，函 数 f x=(2)I n x（）在 其 上 为 增 函 数 的 是A（-,1 B 41,3 C 30,2D 1,26 若 A B C 的 内 角 A、B、C 所 对 的 边 a、b、c 满 足2 2a b 4 c（），且 C=6 0，则 a b 的 值 为A 43B 8 4 3 C 1 D 237 已 知 a 0，b 0，a+b=2，则 y=1 4a b

4、 的 最 小 值 是A 72B 4 C 92D 58 在 圆 0 6 22 2 y x y x 内，过 点 E（0，1）的 最 长 弦 和 最 短 弦 分 别 是 A C 和 B D，则 四 边 形A B C D 的 面 积 为A 2 5 B 2 10 C 15 2 D 2 209 高 为24的 四 棱 锥 S-A B C D 的 底 面 是 边 长 为 1 的 正 方 形，点 S、A、B、C、D 均 在 半 径 为 1 的 同一 球 面 上，则 底 面 A B C D 的 中 心 与 顶 点 S 之 间 的 距 离 为A 24B 22C 1 D 21 0 设 m，k 为 整 数，方 程22

5、0 m x k x 在 区 间（0,1）内 有 两 个 不 同 的 根，则 m+k 的 最 小 值 为A-8 B 8 C 1 2 D 1 3二、填 空 题：本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 2 5 分，把 答 案 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上1 1 在 等 差 数 列 na 中，3 737 a a，则2 4 6 8a a a a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 2 已 知 单 位 向 量1e，2e 的 夹 角 为 6 0，则1 22 e e _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 3 将 一 枚 均 匀 的 硬 币 投 掷 6 次，则 正 面 出 现 的

6、 次 数 比 反 面 出 现 的 次 数 多 的 概 率 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 4 已 知1s i n c os2，且 0,2，则c os 2s i n4 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 5 设 圆 C 位 于 抛 物 线22 y x 与 直 线 x=3 所 围 成 的 封 闭 区 域（包 含 边 界）内，则 圆 C 的 半 径 能取 到 的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 5 分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤1 6（本 小 题 满 分

7、1 3 分）设 a R，2c os s i n c os c os2f x x a x x x 满 足 03f f，求 函数()f x 在11,4 24 上 的 最 大 值 和 最 小 值.1 7（本 小 题 满 分 1 3 分）（）小 问 5 分，（）小 问 8 分）某 市 公 租 房 的 房 源 位 于 A，B，C 三 个 片 区，设 每 位 申 请 人 只 申 请 其 中 一 个 片 区 的 房 源，且 申 请 其 中 任 一 个 片 区 的 房 源 是 等 可 能 的 求 该 市 的 任 4 位 申 请 人 中：（）恰 有 2 人 申 请 A 片 区 房 源 的 概 率；（）申 请 的

8、 房 源 所 在 片 区 的 个 数 的 分 布 列 与 期 望1 8（本 小 题 满 分 1 3 分，（）小 问 6 分，（）小 问 7 分）设()f x x ax bx 的 导 数()f x 满 足(),()f a f b，其 中 常 数,a b R（）求 曲 线()y f x 在 点(,()f 处 的 切 线 方 程；（）设()()xg x f x e，求 函 数()g x 的 极 值 1 9（本 小 题 满 分 1 2 分，（）小 问 5 分，（）小 问 7 分）如 题（1 9）图，在 四 面 体 A B C D 中，平 面 A B C 平 面 A C D，A B B C，A D C

9、D，C A D（）若 A D，A B B C，求 四 面 体 A B C D 的 体 积；（）若 二 面 角 C A B D 为，求 异 面 直 线 A D 与 B C 所 成 角 的 余 弦 值 2 0（本 小 题 满 分 1 2 分，（）小 问 4 分，（）小 问 8 分）如 题（2 0）图，椭 圆 的 中 心 为 原 点 O，离 心 率 e，一 条 准 线 的 方 程 为 x（）求 该 椭 圆 的 标 准 方 程；（）设 动 点 P 满 足：O P O M O N u u u r u u u r u u u r，其 中,M N 是 椭 圆 上 的 点，直 线 O M 与 O N 的 斜率

10、 之 积 为，问：是 否 存 在 两 个 定 点,F F，使 得 P F P F 为 定 值？若 存 在，求,F F 的 坐 标；若 不 存 在，说 明 理 由 2 1（本 小 题 满 分 1 2 分，（I）小 问 5 分，（I I）小 问 7 分）设 实 数 数 列 na 的 前 n 项 和nS，满 足)(*1 1N n S a Sn n n（I）若1 2 2,2 a S a 成 等 比 数 列，求2S 和3a；（I I）求 证：对143 03k kk a a 有参 考 答 案一、选 择 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算，每 小 题 5 分，满 分 5 0 分.1 5

11、C A D B D 6 1 0 A C B C D二、填 空 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算，每 小 题 5 分，满 分 2 5 分.1 1 7 4 1 2 3 1 3 11321 4 142 1 5 6 1 三、解 答 题：满 分 7 5 分.1 6（本 题 1 3 分）解：2 2()s i n c os c os s i n f x a x x x x s i n 2 c os 2.2ax x 由3 1()(0)1,2 3.3 2 2 2af f a 得 解 得因 此()3 s i n 2 c os 2 2 s i n(2).6f x x x x 当,2,()4 3

12、 6 3 2x x f x 时 为 增 函 数，当11 3,2,()3 24 6 2 4x x f x 时 为 减 函 数，所 以11(),()2.4 4 3f x f 在 上 的 最 大 值 为又 因 为11()3,()2,4 24f f 故11(),4 24f x 在 上 的 最 小 值 为11()2.24f1 7（本 题 1 3 分）解：这 是 等 可 能 性 事 件 的 概 率 计 算 问 题.（I）解 法 一：所 有 可 能 的 申 请 方 式 有 34种，恰 有 2 人 申 请 A 片 区 房 源 的 申 请 方 式2 242 C 种，从 而 恰 有 2 人 申 请 A 片 区 房

13、 源 的 概 率 为2 2442 8.27 3C 解 法 二：设 对 每 位 申 请 人 的 观 察 为 一 次 试 验，这 是 4 次 独 立 重 复 试 验.记“申 请 A 片 区 房 源”为 事 件 A，则1().3P A 从 而，由 独 立 重 复 试 验 中 事 件 A 恰 发 生 k 次 的 概 率 计 算 公 式 知，恰 有 2 人 申 请 A 片 区 房 源 的概 率 为2 2 24 41 2 8(2)()().3 3 27P C（I I）的 所 有 可 能 值 为 1，2，3.又42 1 3 2 2 2 43 2 4 4 2 34 43 1(1),27 3()(2 2)14

14、14(2)(2)27 27 3 3PC C C C C CP P 或1 2 1 2 33 4 2 4 34 44 4(3)(3).9 9 3 3C C C C AP P 或综 上 知，有 分 布 列 1 2 3P127142749从 而 有1 14 4 651 2 3.27 27 9 27E 1 8（本 题 1 3 分）解：（I）因3 2()1,f x x ax bx 故2()3 2.f x x ax b 令 1,(1)3 2,x f a b 得由 已 知(1)2,3 2 2,3.f a a b a b 因 此 解 得又 令 2,(2)12 4,x f a b 得 由 已 知(2),f b 因

15、 此 12 4,a b b 解 得3.2a 因 此3 23 5()3 1,(1)2 2f x x x x f 从 而又 因 为3(1)2()3,2f 故 曲 线()(1,(1)y f x f 在 点 处 的 切 线 方 程 为5()3(1),6 2 1 0.2y x x y 即（I I）由（I）知2()(3 3 3)xg x x x e，从 而 有2()(3 9).xg x x x e 令21 2()0,3 9 0,0,3.g x x x x x 得 解 得当(,0),()0,()(,0)x g x g x 时 故 在 上 为 减 函 数；当(0,3),()0,()x g x g x 时 故

16、在（0，3）上 为 增 函 数；当(3,)x 时，()0,()(3,)g x g x 故 在 上 为 减 函 数；从 而 函 数1()0 g x x 在 处 取 得 极 小 值2(0)3,3 g x 在 处 取 得 极 大 值3(3)15.g e1 9（本 题 1 2 分）（I）解：如 答（1 9）图 1，设 F 为 A C 的 中 点，由 于 A D=C D，所 以 D F A C.故 由 平 面 A B C 平 面 A C D，知 D F 平 面 A B C，即 D F 是 四 面 体 A B C D 的 面 A B C 上 的 高，且 D F=A D s i n 3 0=1，A F=A

17、D c o s 3 0=3.在 R t A B C 中，因 A C=2 A F=2 3，A B=2 B C，由 勾 股 定 理 易 知2 15 4 15,.5 5B C A B 故 四 面 体 A B C D 的 体 积1 1 1 4 15 2 15 4.3 3 2 5 5 5A B CV S D F（I I）解 法 一：如 答（1 9）图 1，设 G，H 分 别 为 边 C D，B D 的 中 点，则 F G/A D，G H/B C，从 而 F G H 是 异 面 直 线 A D 与 B C 所 成 的 角 或 其 补 角.设 E 为 边 A B 的 中 点，则 E F/B C，由 A B

18、B C，知 E F A B.又 由（I）有 D F 平 面 A B C，故 由 三 垂 线 定 理 知 D E A B.所 以 D E F 为 二 面 角 C A B D 的 平 面 角，由 题 设 知 D E F=6 0 设,s i n.2aA D a D F A D C A D 则在3 3,c ot,2 3 6aR t D E F E F D F D E F a 中从 而1 3.2 6G H B C E F a 因 R t A D E R t B D E，故 B D=A D=a，从 而，在 R t B D F 中，12 2aF H B D，又1,2 2aF G A D 从 而 在 F G

19、H 中，因 F G=F H，由 余 弦 定 理 得2 2 23c os2 2 6F G G H F H G HF G HF G G H F G 因 此，异 面 直 线 A D 与 B C 所 成 角 的 余 弦 值 为3.6解 法 二：如 答（1 9）图 2，过 F 作 F M A C，交 A B 于 M，已 知 A D=C D，平 面 A B C 平 面 A C D，易 知 F C，F D，F M 两 两 垂 直，以 F 为 原 点，射 线 F M，F C，F D 分 别 为 x轴，y 轴，z 轴 的 正 半 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 F x y z.不 妨 设 A D=2，由

20、 C D=A D，C A D=3 0，易 知 点 A，C，D 的 坐 标 分 别 为(0,3,0),(0,3,0),(0,0,1),(0,3,1).A C DA D 则显 然 向 量(0,0,1)k 是 平 面 A B C 的 法 向 量.已 知 二 面 角 C A B D 为 6 0，故 可 取 平 面 A B D 的 单 位 法 向 量(,)n l m n，使 得1,60,.2n k n 从 而2 2 23,3 0,.661,.3n A D m n ml m n l 由 有 从 而由 得设 点 B 的 坐 标 为6(,0);,3B x y A B B C n A B l 由 取，有2 24

21、 63,0,9,()6 33(3)0,7 3,3 69x y xxyx yy 解 之 得 舍 去易 知63l 与 坐 标 系 的 建 立 方 式 不 合，舍 去.因 此 点 B 的 坐 标 为4 6 7 3(,0).9 9B 所 以4 6 2 3(,0).9 9C B 从 而2 22 33()39c os,.6|4 6 2 33 1()()9 9A D C BA D C BA D C B 故 异 面 直 线 A D 与 B C 所 成 的 角 的 余 弦 值 为3.62 0（本 题 1 2 分）解：（I）由22,2 2,2c aea c 解 得2 2 22,2,2 a c b a c，故 椭

22、圆 的 标 准 方 程 为2 21.4 2x y（I I）设1 1 2 2(,),(,),(,)P x y M x y N x y，则 由2 O P O M O N 得1 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2(,)(,)2(,)(2,2),2,2.x y x y x y x x y yx x x y y y 即因 为 点 M，N 在 椭 圆2 22 4 x y 上，所 以2 2 2 21 1 2 22 4,2 4 x y x y，故2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22(4 4)2(4 4)x y x x x x y y y y 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2

23、1 2 1 2(2)4(2)4(2)20 4(2).x y x y x x y yx x y y 设,O M O Nk k 分 别 为 直 线 O M，O N 的 斜 率，由 题 设 条 件 知1 21 21,2O M O Ny yk kx x 因 此1 2 1 22 0,x x y y 所 以2 22 20.x y 所 以 P 点 是 椭 圆2 22 21(2 5)(10)x y 上 的 点，设 该 椭 圆 的 左、右 焦 点 为 F1，F2，则 由 椭 圆的 定 义|P F1|+|P F2|为 定 值，又 因2 2(2 5)(10)10 c，因 此 两 焦 点 的 坐 标 为1 2(10,

24、0),(10,0).F F 2 1（本 题 1 2 分）（I）解：由 题 意22 2 1 22 22 2 1 1 22,2,S a aS SS a S a a 得，由 S2是 等 比 中 项 知2 20.2.S S 因 此由2 3 3 3 2S a S a S 解 得2322 2.1 2 1 3SaS（I I）证 法 一：由 题 设 条 件 有1 1,n n n nS a a S 故11 111,1,1 1n nn n n nn nS aS a a SS a 且从 而 对 3 k 有11 21 1 2 1 1211 1 2 1 1111.1 1 111kkk k k k kkkk k k k

25、kkkaaS a S a aaaS a S a aaa 因2 2 21 1 1 11 31()0 02 4k k k ka a a a 且，由 得 0ka 要 证43ka，由 只 要 证2121 14,3 1kk kaa a 即 证2 2 21 1 1 13 4(1),(2)0.k k k ka a a a 即此 式 明 显 成 立.因 此4(3).3ka k 最 后 证1.k ka a 若 不 然212,1kk kk kaa aa a 又 因220,1,(1)0.1kk kk kaa aa a 故 即 矛 盾.因 此1(3).k ka a k 证 法 二：由 题 设 知1 1 1 n n n

26、 n nS S a a S，故 方 程21 1 10n n n nx S x S S a 有 根 和（可 能 相 同）.因 此 判 别 式21 14 0.n nS S 又 由22 1 2 2 1 2 121.1nn n n n n n nnaS S a a S a Sa 得 且因 此22 2 22 222 240,3 4 01(1)n nn nn na aa aa a 即，解 得240.3na 因 此40(3).3ka k 由110(3)1kkkSa kS，得1 1121 11221 11(1)(1)1 1110.1 31()2 4k k kk k k k kk k k kkk kk kkS S Sa a a a aS a S SSa aS SS 因 此1(3).k ka a k