2011年湖南高考文科数学真题及答案.pdf

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1、332正视侧视俯视图 120112011 年湖南高考文科数学真题及答案年湖南高考文科数学真题及答案参考公式（1）柱体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高（2）球的体积公式343VR，其中R为球的半径一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集 U=MN=1,2,3,4,5,MCuN=2,4,则 N=A1,2,3B1,3,5C1,4,5D2,3,42若,a bR，i为虚数单位，且()ai ibi则A1a，1b B1,1ab C1,1ab D1,1ab 3“1x”是“1x”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必

2、要条件D既不充分又不必要条件4设图 1 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A942B3618C9122D91825通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由22()()()()()n adbcKad cd ac bd算得，22110(40302020)7.860506050K附表：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是A有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过

3、0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”6设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为320 xy，则 a 的值为A4B3C2D17曲线sin1sincos2xyxx在点 M（4，0）处的切线的斜路为A12B12C22D228已知函数2()1,()43xf xeg xxx，若有()()f ag b，则 b 的取值范围为A22,22B22,22C1,3D1,3二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在 9、10 两题

4、中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）9 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为2cos,3sinxy（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 C2的方程为cossin10，则 C1与 C2的交点个数为10已知某试验范围为10，90，若用分数法进行 4 次优选试验，则第二次试点可以是（二）必做题（1116 题）11若执行如图 2 所示的框图，输入11x，2342,4,8xxx则输出的数等于12已知 f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（-2）=3，则 f（2）=_13设向量 a，b 满足|a|=

5、25，b=（2，1），且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_14设1,m 在约束条件1yxymxxy下，目标函数5zxy的最大值为 4，则m的值为15已知圆22:12,C xy直线:4325.lxy（1）圆C的圆心到直线l的距离为（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于 2 的概率为16给定*kN，设函数*:fNN满足：对于任意大于k的正整数n，()f nnk（1）设1k，则其中一个函数f在1n 处的函数值为；（2）设4k，且当4n 时，2()3f n，则不同的函数f的个数为.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 12

6、分）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 csinA=acosC（I）求角 C 的大小；（II）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角 A、B 的大小.18（本小题满分 12 分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量 X（单位：毫米）有关，据统计，当 X=70 时，Y=460；X 每增加 10，Y 增加 5已知近 20 年 X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160

7、.（）完成如下的频率分布表近 20 年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率（）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率19（本小题满分 12 分）如图 3，在圆锥PO中，已知2,POO的直径2,ABCABDAC点 在上,且 CAB=30为的中点（）证明：AC 平面POD;（）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.20（本小题满分 13 分）某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第 2 年

8、到第 6 年，每年初M的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初M的价值为上年初的 75%（）求第n年初M的价值na的表达式；（）设12.nnaaaAn，若nA大于 80 万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第 9 年初对M更新21（本小题满分 13 分）已知平面内一动点P到点(1,0)F的距离与点P到y轴的距离的差等于 1（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l，设1l与轨迹C相交于点,A B，2l与轨迹C相交于点,D E，求,AD EB 的最小值.22（本小题满分 13 分）设函数1()ln()f xxax aRx.

9、（）讨论函数()f x的单调性.（）若()f x有两个极值点12,x x，记过点11(,(),A xf x22(,()B xf x的直线斜率为k.问：是否存在a，使得2ka？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学试题卷（文史类）参考答案一、选择题(共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分)1、(2011 湖南)设全集U=MN=1，2，3，4，5，MCuN=2，4，则N=()A、1，2，3B、1，3，5C、1，4，5D、2，3，4考点：交、并、补集的混合运算。分析：利用集合间的故选，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N解答：解：

10、全集U=MN=1，2，3，4，5，MCuN=2，4，集合M，N对应的韦恩图为所以N=1，3，5故选B点评：本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具考查数形结合的数学思想方法2、(2011 湖南)若a，bR，i为虚数单位，且(a+i)i=b+i则()A、a=1，b=1B、a=1，b=1C、a=1，b=1D、a=1，b=1考点：复数相等的充要条件。专题：计算题。分析：根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值解答：解：(a+i)i=b+i，ai1=b+i，a=1，b=1，故选C点评：本题考查复数的乘法运算，考查复数

11、相等的条件，是一个基础题，这种题目一般出现在试卷的前几个题目中3、(2011 湖南)“x1”是“|x|1”的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分又不必要条件考点：充要条件。分析：解绝对值不等式，进而判断“x1”“|x|1”与“|x|1”“x1”的真假，再根据充要条件的定义即可得到答案解答：解：当“x1”时，“|x|1”成立即“x1”“|x|1”为真命题而当“|x|1”时，x1 或x1，即“x1”不一定成立即“|x|1”“x1”为假命题“x1”是“|x|1”的充分不必要条件故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“x1”“|x|1”与“|

12、x|1”“x1”的真假，是解答本题的关键4、(2011 湖南)设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A、9+42B、36+18C、9122D、9182考点：由三视图求面积、体积。专题：计算题。分析：由三视图可知，下面是一个底面边长是 3 的正方形且高是 2 的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是 3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加解答：解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是 3 的正方形且高是 2 的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是 3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积 332=18，球的体积是3439()322，几

13、何体的体积是 18+92，故选D点评：本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题5、(2011 湖南)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由22()()()()()n ad bckad cd ac bd算得，22110(40 30 20 20)7.860 50 60 50k附表：p(k2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A、有 99%以上的把握认为“爱好

14、该项运动与性别有关”B、有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C、在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D、在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别五关”考点：独立性检验的应用。专题：计算题。分析：根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”解答：解：由题意知本题所给的观测值，22110(40 30 20 20)7.860 50 60 50k7.86.635，这个结论有 0.01=1%的机会说错，即有 99%以上的把握认为“爱好该项运动

15、与性别有关”故选A点评：本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一个基础题6、(2011 湖南)设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为 3x2y=0，则a的值为()A、4B、3C、2D、1考点：双曲线的简单性质。专题：计算题。分析：先求出双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程，再求a的值解答：解：2221(0)9xyaa的渐近线为y=3xa，y=3xa与 3x2y=0 重合，a=2故选C点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用7、(2011 湖南)曲线si

16、n1sincos2xyxx在点M(4，0)处的切线的斜率为()A、12B、12C、22D、22考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。专题：计算题。分析：先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=4处的导数，从而求出切线的斜率解答：解：sin1sincos2xyxxy=2cos(sincos)(cossin)sin(sincos)xxxxxxxx=21(sincos)xxy|x=4=21(sincos)xx|x=4=12故选B点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基础题8、(2011 湖南)已知函数f(x)=ex1，g(x)=x2+4x3，若

17、有f(a)=g(b)，则b的取值范围为()A、22 22，B、(22，2+2C、1，3D、(1，3)考点：函数的零点与方程根的关系。专题：计算题。分析：利用f(a)=g(b)，整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可解答：解：f(a)=g(b)，ea1=b2+4b3b2+4b2=ea0即b24b+20，求得 22b2+2故选B点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系二、填空题(共 8 小题，每小题 5 分，满分 35 分)9、(2011 湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为23xcosysin(为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x

18、轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为p(cossin)+1=0，则C1与C2的交点个数为2考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程。专题：计算题。分析：先根据同角三角函数的关系消去参数可求出曲线C1的普通方程，然后利用极坐标公式2=x2+y2，x=cos，y=sin进行化简即可求出曲线C2普通方程，最后利用直角坐标方程判断C1与C2的交点个数即可解答：解：由曲线C2的方程为p(cossin)+1=0，xy+1=0即y=x+1；将曲线C1的参数方程化为普通方程为22143xy消去y整理得：7x2+8x8=00，此方程有两个不同的实根，故C1与C2的交点个数为 2故答案为 2点评

19、：本题主要考查椭圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程，求直线与椭圆的交点个数，考查运算求解能力及转化的思想，属于基础题10、(2011 湖南)【选做】已知某试验范围为10，90，若用分数法进行 4 次优选试验，则第二次试点可以是40 或 60(只写出其中一个也正确)考点：分数法的最优性。分析：由题知试验范围为10，90，区间长度为 80，故可把该区间等分成 8 段，利用分数法选取试点进行计算解答：解：由已知试验范围为10，90，可得区间长度为 80，将其等分 8 段，利用分数法选取试点：x1=10+58(9010)=60，x2=10+9060=40，由对称性可知，第二次试点可以是 40 或 60

20、故答案为：40 或 60点评：本题考查的是分数法的简单应用一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑：(1)可能的试点总数正好是某一个(Fn1)(2)所有可能的试点总数大于某一(Fn1)，而小于(Fn+11)11、(2011 湖南)若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=4，x4=8 则输出的数等于154考点：循环结构。专题：计算题；阅读型。分析：先根据流程图分析出该算法的功能，然后求出所求即可解答：解：该算法的功能是求出四个数的平均数故输出的数=12484=154故答案为：154点评：根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要

21、分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模12、(2011 湖南)已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9，g(2)=3，则f(2)=6考点：函数奇偶性的性质。专题：计算题。分析：将等式中的x用 2 代替；利用奇函数的定义及g(2)=3，求出f(2)的值解答：解：g(2)=f(2)+9f(x)为奇函数f(2)=f(2)g(2)=f(2)+9g(2)=3所以f(2)=6故答案为 6点评：本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f(x)=f(x)13、(2011 湖南)设向量a，b满足|a|=25，b=(2，1)，且a与b的方向相

22、反，则a的坐标为(4，2)考点：平面向量共线(平行)的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。专题：计算题。分析：要求向量a的坐标，我们可以高设出向量a的坐标，然后根据a与b的方向相反，及|a|=25，我们构造方程，解方程得到向量a的坐标解答：解：设a=(x，y)a与b的方向相反，故a=b=(2，)(0)又|a|=25，则x2+y2=2052=20解得=2则设a=(4，2)故答案为(4，2)点评：本题考察的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示，平面向量模的计算，其中根据a与b的方向相反，给出向量a的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键14、(2011 湖南)设m1，在约束条件1yx

23、ymxxy下，目标函数z=x+5y的最大值为 4，则m的值为3考点：简单线性规划的应用。专题：计算题；数形结合。分析：根据m1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间(4，2)上，由此我们不难判断出满足约束条件1yxymxxy的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+5y在直线y=mx与直线x+y=1 交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m的取值范围解答：解：满足约束条件1yxymxxy的平面区域如下图所示：当x=11m，y=1mm时，目标函数z=x+5y取最大值为 4，即1 541mm；解得m=3故答案为 3点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数Z

24、=X+my在1()11mmm，点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键15、(2011 湖南)已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25(1)圆C的圆心到直线l的距离为5；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于 2 的概率为16考点：点到直线的距离公式；几何概型；直线与圆的位置关系。专题：计算题。分析：(1)根据所给的圆的标准方程，看出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据做出点到直线的距离(2)本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是 60，根据几何概型概率公式得到结果解

25、答：解：(1)由题意知圆x2+y2=12 的圆心是(0，0)，圆心到直线的距离是d=222534=5，(2)由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于 2，过圆心做一条直线交直线l与一点，根据上一问可知圆心到直线的距离是 5，在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为 3 的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是 60根据几何概型的概率公式得到P=60360=16故答案为：5；16点评：本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，考查几何概型的概率

26、公式，本题是一个基础题，运算量不大16、(2011 湖南)给定kN*，设函数f：N*N*满足：对于任意大于k的正整数n：f(n)=nk(1)设k=1，则其中一个函数f(x)在n=1 处的函数值为a(a为正整数)；(2)设k=4，且当n4 时，2f(n)3，则不同的函数f的个数为16考点：函数的概念及其构成要素；分步乘法计数原理。专题：计算题；探究型。分析：题中隐含了对于小于或等于K的正整数n，其函数值也应该是一个正整数，但是对应法则由题意而定(1)n=k=1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f(1)的值是一个常数(正整数)；(2)k=4，且n4，与条件“大

27、于k的正整数n”不适合，故f(n)的值在 2、3 中任选其一，再由乘法原理可得不同函数的个数解答：解：(1)n=1，k=1 且f(1)为正整数f(1)=a(a为正整数)即f(x)在n=1 处的函数值为a(a为正整数)(2)n4，k=4f(n)为正整数且 2f(n)3f(1)=2 或 3 且f(2)=2 或 3 且f(3)=2 或 3 且f(4)=2 或 3根据分步计数原理，可得共 24=16 个不同的函数故答案为(1)a(a为正整数)(2)16点评：本题题意有点含蓄，发现题中的隐含条件，是解决本题的关键，掌握映射与函数的概念是本题的难点三、解答题(共 6 小题，满分 75 分)17、(2011

28、 湖南)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC(1)求角C的大小；(2)求3sinAcos(B+4)的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小考点：三角函数的恒等变换及化简求值。专题：计算题。分析：(1)利用正弦定理化简csinA=acosC求出 tanC=1，得到C=4(2)B=34A，化简3sinAcos(B+4)=2sin(A+6)因为 0A34，推出116612A求出 2sin(A+6)取得最大值 2得到A=3，B=512解答：解：(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC，因为 0A，所以 sinA0从而 sinC=cosC，又 co

29、sC0，所以 tanC=1，C=4(2)有(1)知，B=34A，于是3sincos()3sincos()4ABAA=3sinA+cosA=2sin(A+6)因为 0A34，所以116612A从而当A+62，即A=3时2sin(A+6)取得最大值 2综上所述，3sinA cos(B+4)的最大值为 2，此时A=3，B=512点评：本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型18、(2011 湖南)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关，据统计，当X=70 时，Y=460；X每增加 10，Y增加

30、 5已知近 20 年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160()完成如下的频率分布表近 20 年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率()假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率考点：频率分布表；互斥事件的概率加法公式。专题：应用题；综合题。分析：(I)从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数，求出频率，完成频

31、率分布图(II)将发电量转化为降雨量，利用频率分布表，求出发电量低于 490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率解答：解：(I)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200毫米的有 3 个，故近 20 年六月份降雨量频率分布表为(II)P(“发电量低于 490 万千瓦时“)=P(Y490 或Y530)=P(X130 或210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=132320202010故今年六月份该水利发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为：310点评：本题考查频率公式：频率=频数样本容量；

32、考查将问题等价转化的能力19、(2011 湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO=2，OD的直径AB=2，点C在AB上，且CAB=30，D为AC的中点()证明：AC平面POD；()求直线OC和平面PAC所成角的正弦值考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法。专题：计算题；证明题。分析：(I)由已知易得ACOD，ACPO，根据直线与平面垂直的判定定理可证(II)由(I)可证面POD平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OHPD于H，则OH平面PAC，OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在RtOHC中，求解即可解答：解(I)因为OA=OC，D是AC的中点，所以ACOD又PO底面

33、O，AC底面O所以ACPO，而OD，PO是平面内的两条相交直线所以AC平面POD(II)由(I)知，AC平面POD，又AC平面PAC所以平面POD平面PAC在平面POD中，过O作OHPD于H，则OH平面PAC连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角在RtODA中，OD=OAsin30=12在RtPOD中，OH=2212223124PO ODPOOD在RtOHC中，2sin3OHOCHOC故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为23点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解，考查了运算推理的能力及空间想象的能力20、(20

34、11 湖南)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第 2 年到第 6 年，每年初M的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初M的价值为上年初的 75%()求第n年初M的价值an的表达式；()设12aaanAnn，若An大于 80 万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新证明：须在第 9 年初对M更新考点：分段函数的应用；数列与函数的综合。专题：综合题。分析：(I)通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值an的表达式；(II)利用等差数列、等比数列的前n项

35、和公式求出An，判断出其两段的单调性，求出两段的最小值，与 80 比较，判断出须在第 9 年初对M更新解答：解：(I)当n6 时，数列an是首项为 120，公差为10 的等差数列an=12010(n1)=13010n当n6 时，数列an是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6=70所以6370()4nna 因此，第n年初，M的价值an的表达式为6130 10(6)370()(7)4nnn nan(II)设Sn表示数列an的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得当 1n6 时，Sn=120n5n(n1)，An=1205(n1)=1255n当n7 时，由于S6=570 故Sn=S6+(a7+a

36、8+an)=6357070 4 1()4n=663780 210()34780 210()4nnnAn因为an是递减数列，所以An是递减数列，又283780 210()474828064A所以须在第 9 年初对M更新点评：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数的问题要分到研究21、(2011 湖南)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于 1()求动点P的轨迹C的方程；()过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD EB ，的最小值考点：直线与圆

37、锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；抛物线的定义。专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论；函数思想；方程思想。分析：()设动点P的坐标为(x，y)，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；()设出直线l1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标，代入AD EB 利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值解答：解：()设动点P的坐标为(x，y)，由题意得22(1)1xyx，化简得y2=2x+2|x|当x0 时，y2=4x；当x0 时，y=0，所以动

38、点P的轨迹C的方程为y2=4(x0)和y=0(x0)()由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的的方程为y=k(x1)由2(1)4yk xyx，得k2x2(2k2+4)x+k2=0设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=2+24k，x1x2=1l1l2，直线l2的斜率为1k设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1故AD EB =()()AFFDEFFB =AF EFAF FBFD EFFD FB =AF FBFD EF =(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4

39、+x3+x4+11+2+24k+1+1+2+4k2+1=8+4(k2+21k)8+42=16，当且仅当k2=21k，即k=1 时，AD EB 的最小值为 16点评：此题是个难题考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力22、(2011 湖南)设函数1()()f xxaInx aRx()讨论函数f(x)的单调性()若f(x)有两个极值点x1，x2，记过点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直线斜率为k问：是否存在a，使得k=2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得

40、极值的条件。专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论。分析：()求导，令导数等于零，解方程，跟据f(x)f(x)随x的变化情况即可求出函数的单调区间；()假设存在a，使得k=2a，根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为k，根据(I)函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题解答：解：(I)f(x)定义域为(0，+)，f(x)=1+22211axaxxxx，令g(x)=x2ax+1，=a24，当2a2 时，0，f(x)0，故f(x)在(0，+)上单调递增，当a2 时，0，g(x)=0 的两根都小于零，在(0，+)上，f(x)0，故f(x)在(0，+)上单调递增，当a2 时，0，g(x)=0 的两根为x1=

41、242aa，x2=242aa，当 0 xx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当xx2时，f(x)0；故f(x)分别在(0，x1)，(x2，+)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减()由(I)知，a2因为f(x1)f(x2)=(x1x2)+1212xxx xa(lnx1lnx2)，所以k=1212()()f xf xx x=1+121x xa1212lnlnxxxx，又由(I)知，x1x2=1于是k=2a1212lnlnxxxx，若存在a，使得k=2a，则1212lnlnxxxx=1，即 lnx1lnx2=x1x2，亦即222212ln0(1)xxxx(*)再由(I)知，函数1()2h ttIntt 在(0，+)上单调递增，而x21，所以112ln1=0，这与(*)式矛盾，故不存在a，使得k=2a点评：此题是个难题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f(x)=0 有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题(II)是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力