一线三等角典型例题_机械制造-汽车工程手册.pdf

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1、.word.“一线三等角模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角模型的提炼 例 1、2021 年卷(1)问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，DPC=A=B=90.求证：ADBC=APBP.(2)探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当DPC=A=B=时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经历解决问题：如图 3，在ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边 AB 向点 B 运动，且满足DPC=A.设点 P 的运动时间为 t秒，当以 D 为圆心，以 D

2、C 为半径的圆与 AB相切，求 t 的值.变式 1(2021 年)(1)问题探究 如图 6，分别以ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E2，过点 C 作直线 KH 交直线 AB 于点 H，使AHK=ACD1作 D1M KH，D2N KH，垂足分别为点M、N试探究线段D1M 与线段 D2N 的数量关系，并加以证明(2)拓展延伸 1 如图 7，假设将“问题探究中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线 K1H1，K2H2，分别交直线 AB 于点 H1、H2，使AH1K1=BH2K2=ACD1作 D1M K1H1，D2NK2H2，垂足分别为点 M

3、、N D1M=D2N 是否仍成立?假设成立，给出证明;假设不成立，说明理由 2 如图 8，假设将中的“正三角形改为“正五边形，其他条件不变 D1M=D2N 是否仍成立?(要求:在图 8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明).word.二、添加辅助线后运用根本图形 例 1、在ABC 中，AB=2，B=45，以点A 为直角顶点作等腰tADE，点 D 在 BC 上，点 E 在 AC 上，假设 CE=5，求 CD 的长。例 2、(2021 年海淀区一模 22 题最后一问)如图，l1、l2、l3是同一平面的三条平行线，l1、l2之间的距离是 21/5，l2、l3 之间的距离是 21/10，等边

4、ABC 的三个顶点分别在 l1、l2、l3 上，求ABC 的边长 例 3、如图，在矩形纸片 A中，在边上取点，现将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，当时，求的长。图在四边形中点为上一点当时上述结论是否依然成立说明理由应用请利用获得的经历解决问题如图在中点以每秒个单位长度的速度由点出发沿边向点运动且满足设点的运动时间为秒当以为圆心以为半径的圆与相切求的值变式年问题拓展延伸如图假设问题探究中的正方形改为正三角形过点作直线分别交直线于点使作垂足分别为点是否仍成立假设成立给出证明假设不成立说明理由如图假设中的正三角形改为正五边形其他条件不变是否仍成立要求在图中补全图形腰点在上点在上假设求的长例年海淀区一

5、模题最后一问如图是同一平面的三条平行线之间的距离是之间的距离是等边的三个顶点分别在上求的边长例如图在矩形纸片中在边上取点现将纸片沿翻折使点落在边上的点处当时求的长三应.word.三、应用举例 1、等腰三角形底边上的一线三等角 例 1、如图 5，在三角形 ABC 中，AB=AC,D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作MDN=B.(1)如图 5，当射线 DN 经过 A 时，DM 交 AC 边于点 E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形 ADE相似的三角形。(2)如图 6，将MDN 绕点 D 逆时针方向旋转，DM,DN 分别交线段 AC,AB 于 E,F 点，E 和 A 点不重合，不添加辅助线，写出

6、图中所有相似的三角形，并证明。(3)在图 6 中，假设 AB=AC=10，BC=12，当三角形 DEF 的面积等于三角形面积的 1/4 时，求线段 EF的长。例 2、如图 8，在 RtABC 中，AB=AC=2，A=90，现取一块等腰直角三角板，将 45 角的顶点放在 BC 中点 O 处，三角板的直角边与线段 AB、AC 分别交于点 E、F，设 BE=x，CF=y，BOE=(45 90)(1)试求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值围;(2)试判断BEO 与OEF 的大小关系?并说明理由;(3)在三角板绕 O 点旋转的过程中，OEF 能否成为等腰三角形?假设能，求出对应 x 的值;假

7、设不能，请说明理由 【例 3】2021卷如图，ABC 和DEF 两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，图在四边形中点为上一点当时上述结论是否依然成立说明理由应用请利用获得的经历解决问题如图在中点以每秒个单位长度的速度由点出发沿边向点运动且满足设点的运动时间为秒当以为圆心以为半径的圆与相切求的值变式年问题拓展延伸如图假设问题探究中的正方形改为正三角形过点作直线分别交直线于点使作垂足分别为点是否仍成立假设成立给出证明假设不成立说明理由如图假设中的正三角形改为正五边形其他条件不变是否仍成立要求在图中补全图形腰点在上点在上假设求的长例年海淀区一模题最后一问如图是同一平面的三条平行线之间的距离

8、是之间的距离是等边的三个顶点分别在上求的边长例如图在矩形纸片中在边上取点现将纸片沿翻折使点落在边上的点处当时求的长三应.word.DEF 的顶点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合将DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q（1）如图，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：BPECQE；（2）2如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当 BP=a，CQ=9a/2 时，P、Q 两点间的距离用含 a 的代数式表示 6、东城一模 24.等边ABC边长为 6，P为BC边上一点，MPN=

9、60，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.1如图 1，当点P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状；2如图 2，假设点P在BC边上运动，且保持PEAB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；3如图 3，假设点P在BC边上运动，且MPN绕点P旋转，当CF=AE=2 时，求PE的长.2、四边形中的一线三等角 例 1、如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N 分别是 BC、CD 上两个动点，且始终保持 AM MN，设 BM 的长为 x cm，的长为 y cm.求点 M 在 BC 上的运动过程中 y 的最大值 图在四边形中点为上一点

10、当时上述结论是否依然成立说明理由应用请利用获得的经历解决问题如图在中点以每秒个单位长度的速度由点出发沿边向点运动且满足设点的运动时间为秒当以为圆心以为半径的圆与相切求的值变式年问题拓展延伸如图假设问题探究中的正方形改为正三角形过点作直线分别交直线于点使作垂足分别为点是否仍成立假设成立给出证明假设不成立说明理由如图假设中的正三角形改为正五边形其他条件不变是否仍成立要求在图中补全图形腰点在上点在上假设求的长例年海淀区一模题最后一问如图是同一平面的三条平行线之间的距离是之间的距离是等边的三个顶点分别在上求的边长例如图在矩形纸片中在边上取点现将纸片沿翻折使点落在边上的点处当时求的长三应.word.例

11、2 例 3、如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，BC=4AD=4 2，B=45，点 E、F 分别在边 BC、CD 上移动，且AEF=45，那么点 E 移动过程中，线段 AF 长 的最小值是 图在四边形中点为上一点当时上述结论是否依然成立说明理由应用请利用获得的经历解决问题如图在中点以每秒个单位长度的速度由点出发沿边向点运动且满足设点的运动时间为秒当以为圆心以为半径的圆与相切求的值变式年问题拓展延伸如图假设问题探究中的正方形改为正三角形过点作直线分别交直线于点使作垂足分别为点是否仍成立假设成立给出证明假设不成立说明理由如图假设中的正三角形改为正五边形其他条件不变是否仍成立要求在图中补全图形

12、腰点在上点在上假设求的长例年海淀区一模题最后一问如图是同一平面的三条平行线之间的距离是之间的距离是等边的三个顶点分别在上求的边长例如图在矩形纸片中在边上取点现将纸片沿翻折使点落在边上的点处当时求的长三应.word.例 4如图,在梯形中，点分别在线段上点与点不重合，且，设，求与 的函数表达式；当 为何值时，有最大值，最大值是多少？例 4、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=8，34tan CAD，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点点E与点A、D不重合，且FEC=ACB，设DE=x，CF=y.1求AC和AD的长；2求y与x的函数关系式；3当EFC为等腰三角形时，求x的

13、值.FCBDAE yxxyDFyAEx120BEFAD，EADDC，EF，60ABC6ABDCADADBCABCD 图在四边形中点为上一点当时上述结论是否依然成立说明理由应用请利用获得的经历解决问题如图在中点以每秒个单位长度的速度由点出发沿边向点运动且满足设点的运动时间为秒当以为圆心以为半径的圆与相切求的值变式年问题拓展延伸如图假设问题探究中的正方形改为正三角形过点作直线分别交直线于点使作垂足分别为点是否仍成立假设成立给出证明假设不成立说明理由如图假设中的正三角形改为正五边形其他条件不变是否仍成立要求在图中补全图形腰点在上点在上假设求的长例年海淀区一模题最后一问如图是同一平面的三条平行线之间的

14、距离是之间的距离是等边的三个顶点分别在上求的边长例如图在矩形纸片中在边上取点现将纸片沿翻折使点落在边上的点处当时求的长三应.word.3、函数问题中的一线三等角 例 1、在直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=x2在第二象限上的点，连结 OA，过点 O 作 OB OA，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC如图，当点 A 的横坐标为1/2 时，求点 B 的坐标 图在四边形中点为上一点当时上述结论是否依然成立说明理由应用请利用获得的经历解决问题如图在中点以每秒个单位长度的速度由点出发沿边向点运动且满足设点的运动时间为秒当以为圆心以为半径的圆与相切求的值变式年问题拓展延伸如图假设问

15、题探究中的正方形改为正三角形过点作直线分别交直线于点使作垂足分别为点是否仍成立假设成立给出证明假设不成立说明理由如图假设中的正三角形改为正五边形其他条件不变是否仍成立要求在图中补全图形腰点在上点在上假设求的长例年海淀区一模题最后一问如图是同一平面的三条平行线之间的距离是之间的距离是等边的三个顶点分别在上求的边长例如图在矩形纸片中在边上取点现将纸片沿翻折使点落在边上的点处当时求的长三应.word.例 2、如图，直线 y=kx 与抛物线y=4/27 x2+22/3 交于点 A(3，6)假设点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段 OA 上(与点 O、A 不重合)，点 D(m，0)是 x 轴正

16、半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD 试探究:m 在什么围时，符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、2 个?图在四边形中点为上一点当时上述结论是否依然成立说明理由应用请利用获得的经历解决问题如图在中点以每秒个单位长度的速度由点出发沿边向点运动且满足设点的运动时间为秒当以为圆心以为半径的圆与相切求的值变式年问题拓展延伸如图假设问题探究中的正方形改为正三角形过点作直线分别交直线于点使作垂足分别为点是否仍成立假设成立给出证明假设不成立说明理由如图假设中的正三角形改为正五边形其他条件不变是否仍成立要求在图中补全图形腰点在上点在上假设求的长例年海淀区一模题最后一问如图是同一平面的三条平行线之间的距离是之间的距离是等边的三个顶点分别在上求的边长例如图在矩形纸片中在边上取点现将纸片沿翻折使点落在边上的点处当时求的长三应