一次函数与一次方程(组)(提高)知识讲解_中学教育-中考.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 一次函数与一次方程（组）（提高）【学习目标】1.能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.2.在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y kx b（k 0，b为常数）.当函数y 0 时，就得到了一元一次方程0 kx b，此时自变量x的值就是方程kx b 0 的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b（k 0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值.要点二、一次函数与二

2、元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数2 4 y x 与3 132 2y x 图象的交点为(3，2)，则 就是二元一次方程组2 43 132 2y xy x 的解.2.当二元一次方程组无解时，

3、相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组 无解，则一次函数3 5 y x 与3 1 y x 的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.要点三、方程组解的几何意义 1方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标 2根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解 3对于一个复杂方程组，特别是变

4、化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程【高清课堂：391660 一次函数与一元一次方程（组），例 1】精品资料 欢迎下载 1、方程 3 2 8 x 的解是x _，则函数3 2 y x 在自变量x等于 _时的函数值是 8.【答案】2；2；【解析】解方程3 2 8 x 得到：2 x.函数3 2 y x 的函数值是 8即3 2 8 x，即函数3 2 y x 在自变量x等于 2 时的函数值是 8【总结升华】本题主要考查了一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程都可以转化为0 ax b（a，b为常数，a0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为

5、：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值从图象上看，相当于已知直线y ax b 确定它与x轴的交点的横坐标的值 举一反三：【变式】（2015平顶山三模）直线 y=2x+3 与坐标轴围成的面积是（）A B 3 C D 6【答案】C 解：如图，设直线与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，在 y=2x+3 中，令 y=0，可得 2x+3=0，解得 x=，令 x=0，可得 y=3，A（-，0），B（0，3），OA=，OB=3，SAOB=OAOB=3=，故选 C 类型二、一次函数与二元一次方程组 2、（2016 春 临清市期末）直线 l1：y=x+1 与直线 l2：y=mx+n 的交点 P

6、 的横坐标为 1，则下列说法错误的是（）A点 P 的坐标为（1，2）与一次方程的区别与联系在解决简单的一次函数的问题过程中建立数形结合的思想及转化的思想要点梳理要点一一次函数与一元一次方程的关系一次函数为常数当函数时就得到了一元一次方程此时自变量的值就是方程的解所以解一 定它与轴交点的横坐标的值要点二一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数于是也对应两条直线从数的角度看解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等以及这时的函数为何值从形的角度看解 角坐标系中两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解反过来以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数

7、的图象的交点如一次函数与图象的交点为则就是二元一次方程组的解当二元一次方程组无精品资料 欢迎下载 B关于 x、y 的方程组 的解为 C直线 l1中，y 随 x 的增大而减小 D直线 y=nx+m 也经过点 P【思路点拨】把 x=1 代入 y=x+1，得出 y 的值，再判断即可【答案与解析】解：把 x=1 代入 y=x+1，y=2，所以 A、点 P 的坐标为（1，2），正确；B、关于 x、y 的方程组 的解为，正确；C、直线 l1中，y 随 x 的增大而增大，错误；D、直线 y=nx+m 也经过点 P，正确；故选 C.【总结升华】此题主要考查了两直线相交问题，解决本题的关键是求出直线经过的点的坐

8、标【变式】分别用()f x和()g x表示两个关于x的代数式，在坐标系中，如果函数()y f x 与()y g x 的图象有 3 个交点，那么方程组()()y f xy g x，的解的个数是【答案】3；3、（2014杭州模拟）已知直线 y1=x，的图象如图，若无论x 取何值，y 总取 y1、y2、y3中的最小值，则 y 的最大值为【思路点拨】先判断出 y 的最大值为直线 y2与 y3的交点的纵坐标，然后联立两直线解析式求解即可【答案】2【解析】解：根据题意，y 的最大值为直线 y2与 y3的交点 A的纵坐标，与一次方程的区别与联系在解决简单的一次函数的问题过程中建立数形结合的思想及转化的思想要

9、点梳理要点一一次函数与一元一次方程的关系一次函数为常数当函数时就得到了一元一次方程此时自变量的值就是方程的解所以解一 定它与轴交点的横坐标的值要点二一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数于是也对应两条直线从数的角度看解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等以及这时的函数为何值从形的角度看解 角坐标系中两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解反过来以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点如一次函数与图象的交点为则就是二元一次方程组的解当二元一次方程组无精品资料 欢迎下载 联立，解得，所以，当 x=3 时，y 的值最大为 2【总

10、结升华】本题考查了一次函数的性质，准确识图并判断出 y 取得最大值时的情况是解题的关键，求 A点的坐标就是联立 y2与 y3，求该方程组的解.类型三、一次函数与一次方程（组）的应用 4、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4 千米小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线 O A BC 和线段 OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在图书馆查阅资料的时间为 _分钟，小聪返回学校的速度为 _千米/分钟；(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与历经过的

11、时间t(分钟)之间的函数关系式；(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米?【思路点拨】（1）图象所示 AB段为查阅资料时间.线段 BC 表示小聪返校时的图象.（2）s是 t 的正比例函数，可设 s kt，将（45,4）代入求出 k 即可.（3）先求出直线 BC的解析式，再求出 BC与 OD的交点.【答案与解析】解：(1)15；415；(2)由图象可知，s是t的正比例函数 设所求函数的解析式为：(0)s kt k 代入(45，4)得：4 45k解得445k s与t的函数关系式为4(0 45)45s t t(3)由图象可知，小聪在 30 t 45 的时段内与小明相遇 s是t的一次函

12、数，设函数解析式为(0)s mt n m，与一次方程的区别与联系在解决简单的一次函数的问题过程中建立数形结合的思想及转化的思想要点梳理要点一一次函数与一元一次方程的关系一次函数为常数当函数时就得到了一元一次方程此时自变量的值就是方程的解所以解一 定它与轴交点的横坐标的值要点二一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数于是也对应两条直线从数的角度看解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等以及这时的函数为何值从形的角度看解 角坐标系中两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解反过来以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点如一次函数与图

13、象的交点为则就是二元一次方程组的解当二元一次方程组无精品资料 欢迎下载 代入（30，4），（45，0）得30 445 0m nm n 解得：41512mn 412(30 45)15s t t，令4 41215 45t t，解得1354t 当1354t 时，4 135345 4s 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是 3 千米【总结升华】本题主要考查函数图象的识图与一次函数图象关系式的解法，求函数关系式的一般方法是待定系数法，函数问题是中考的必考知识点，应引起足够重视 与一次方程的区别与联系在解决简单的一次函数的问题过程中建立数形结合的思想及转化的思想要点梳理要点一一次函数与一元一次方程的关系一次函数为常数当函数时就得到了一元一次方程此时自变量的值就是方程的解所以解一 定它与轴交点的横坐标的值要点二一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数于是也对应两条直线从数的角度看解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等以及这时的函数为何值从形的角度看解 角坐标系中两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解反过来以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点如一次函数与图象的交点为则就是二元一次方程组的解当二元一次方程组无