教案四线性规划的单纯形法_高等教育-统计学.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 教案四 线性规划的单纯形法 教学内容 第三节 单纯形法 1单纯形法 2单纯形法的基本原理 3单纯形解法 4大M法 教学学时 9 学时 教学目标 1理解单纯形法的解题思想 2掌握单纯形法的基本原理 3掌握单纯形解法和大M法 重点难点 重点单纯形法的基本原理、单纯形解法和大M法，难点单纯形法的基本原理 教学方法及手段 教师讲解 使用多媒体课件 教学过程 一、复习巩固 1线性规划图解法的步骤（见课件）2线性规划数学模型解的几种情况（见课件）二、讲授新课 1单纯形法基本概念（见课件）典型方程组 一般线性规划问题标准形式的约束条件如下式（2-1），是一个有n个未知学习必备 欢迎下载

2、数、m个方程的线性方程组如果这m个方程是独立的（即其中任一方程均不能由其它方程代替），则通过初等变换，必能使式（2-1）化成式（2-2）形式的同解方程组：njijijbxa1 mi,2,1 （2-1）1x +11221111bxaxaxannmmmm 2x +22222112bxaxaxannmmmm （2-2）mx+mnmnmmmmmmbxaxaxa2211 式中nxxx,21是重新排序后的变量式（2-2）被称为典型方程组即如果在一个线性方程组中的每一个方程中都有系数为 1，并且不再出现在其它方程的一个未知量，则此方程组称为典型方程组 基本变量 如果变量jx在某一方程中系数为 1，而在其它一

3、切方程中的系数为零，则称jx为该方程中的基本变量 否则为非基本变量 如式（2-2）中的mxxx,21为基本变量，nmmxxx,21为非基本变量基本变量的个数为线性无关的方程的个数事实上，n个变量中任意m个都可能作为基本变量，因此由排列组合知识可知，基本变量的组数为mnc个，n为未知变量的个数，m为线性无关的方程的个数 基本解 在典型方程中，设非基本变量为零，求解基本变量得到的解，称为基本解 基本解的个数为mnc个 基本可行解 设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗

4、透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 基本变量为非负的一组基本解称为基本可行解，基本可行解的个数最多不超过mnc个 例如，对方程组 32 4321xxxx 13 2421xxx 施行

5、初等变换（2）,可以得到：32 4321xxxx 572 432xxx (1):32 4321xxxx 572432xxx （1）:25431xxx 572432xxx 式和为典型方程组，基本变量是1x和2x，非基本变量为3x和4x设非基本变量3x和4x为零，则1x和2x分别等于-2 和 5，即对应于典型方程组和，基本解为：X=T0052 因基本变量中1x为负值，所以此解不是基本可行解 根据方程组和有 4个未知变量，因此通过初等变换可得到24c组（即 6 组）典型方程组和基本解若令2x和4x为基本变量，通过初等变换，方程组和可变换为：（1）:32 4321xxxx 25 431xxx （1/5

6、）:324321xx xx 设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适

7、应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 4.0202.0431x x.x （2）:2.2604.1321 x .xx 4.0202.0431x x.x 此时，典型方程组的基本变量为2x和4x，非基本变量为1x和3x基本解为：TX）（0.4 0 2.2 0，因为基本变量为非负值，所以此基本解也为基本可行解 2单纯形法的基本原理（见课件）理论上已经证明，线性规划的基本可行解与可行域的顶点是一对一的这就决定了线性规划可行域的顶点个数最多也不超过mnc个上面讨论线性规划问题解的特点时已指出，如果线性规划有最优解，一定可以在可行域的某个顶点处达到因此，单纯形法的基本思路是：根据问题的标准形

8、式，从可行域中的一个基本可行解（一个顶点）开始，转换到另一个基本可行解（顶点），并且使目标函数的值逐步增大；当目标函数达到最大值时，问题就得到了最优解 在用单纯形法求解线性规划问题时，应考虑的问题：建立初始基本可行解 在用单纯形法求解时，首先应将线性规划问题以标准形式表达、约束条件以右端常数非负的典型方程组表示，确定初始基本可行解 在前面的阐述中，已讨论了如何将一般线性规划问题转化为标准形式的线性规划问题，如何将约束条件通过初等变换以典型方程组形式表示，以及如何得出基本可行解（最初得到的基本可行解也称初始基本可行解），此处不再赘述经过变换，典型方程组和初始基本可行解可用式（2-3）表示：1x

9、+11221111bxaxaxannmmmm 2x +22222112bxaxaxannmmmm （2-3）设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要

10、来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 mx+mnmnmmmmmmbxaxaxa2211 初始基本可行解：TmbbX)00(10 最优性检验 得到一个基本可行解后，我们要判断它是不是最优解一般情况下，经过迭代后式（2-3）变为 nmjjijiixabx1 （mi,2,1）（2-4）将式（2-4）代入目标函数式，整理后得 nmjmijijijmiiixaccbcZ111)(（2-5）令 miiibcZ10,miijijacZ1,nmmj,2,1 于是 nmjjjjxZcZZ10)(（2-6）由于当mj,

11、2 ,1时，jmiijijcacZ 1，即0jjZc（mj,2 ,1），所以式（2-6）也可写作 mjjjjnmjnmjjjjjjjxZcxZcZxZcZZ11100)()()(njjjjxZcZZ10)(nj,2 ,1 再令 jjjZcC nj,2 ,1 jC为变量jx的检验数则 njjjxCZZ10 （2-7）（1）最优解判别 若)0(XTmbbb)00(21为基本可行解，且对一切nj,2 ,1,有0jC，则)0(X为最优解 设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手

12、段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载（2）无有限最优解判别 若)0(XTmbbb)00(21为一基本可行解，有一个kC0，且对一切mi,2,1有0ik（ik为约束条件方程中的系数

13、，nk,2,1），那么该线性规划问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解）事实上，应用向量的乘法，可以将检验数的求法表示得简明一些令jc表示目标函数中变量jx的系数，BC表示基本变量在目标函数中的系数行向量，jP表示变量jx在典型方程中的系数列向量，则 mjjjBjjBjjjjaaaCcPCcZcC21 nj,2 ,1 （2-8）基本变量的检验数总等于0目标函数值bCZB.基本可行解的改进 若初始基本可行解)0(X不是最优解及不能判别无最优解时，需找一个新的基本可行解具体方法是：首先确定进基变量，再确定出基变量 进基变量的确定：由式（2-7）可知，检验数jC对线性规划问题的实际意义是：jC表示

14、当变量jx增加 1 个单位时，目标函数的增加量；其经济意义表示相对利润当0jC时，说明非基本变量jx增加 1 个单位，目标函数可以增加，即现在的函数值不是最优，还能增加 这时要将某个非基本变量换到基本变量中去（称为进基变量）为了使目标函数值增长最快，所以应选择jC值最大的一项所对应的非基本变量进基,kC)0jC(max.则对应的kx为进基变量 进基变量所在的列（k）称为枢列 出基变量的确定：当进基变量确定后（假设ix是进基变量），出基变量的选定是应用“最小比值规则”即用此时的各约束方程右端的常数项ib（非负数）与设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就

15、业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 相应方程中kx的正系数ik相比，并选取最小商值的基本变量

16、lx为出基变量（将由基本变量变为非基本变量）lklikikiibb0minmin 出基变量所在的行（l）称为枢行枢行与枢列交点处的元素（lk）称为枢元然后通过初等变换，将约束条件转为关于新的基本变量的典型方程组，并求得新的基本可行解对于新的基本可行解可再进行上述的最优性检验 3 单纯形解法（见课件）上面介绍的单纯形法原理看似复杂，但如用表格形式计算，则比较容易操作单纯形法的计算步骤：第 1 步：找出初始基本可行解，建立初始单纯形表 第 2 步：检验对应于非基本变量的检验数jC，若对所有的0jC，则已得到最优解，计算最优值miiibcZ1，即可结束否则，转入下一步 第 3 步：在所有0jC中，若

17、有一个kC对应kx的系数列向量，即对mi,2,1均有0ik，则此问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解），停止计算否则转入下一步 第 4 步：根据 0maxjCkC，确定kx为进基变量，再依据“最小比值规则”（lklikikiibb0minmin）确定lx为出基变量 第 5 步：实施以枢元素为中心的初等变换，使约束方程组变为关于新的基本变量的典型方程组，得到新的单纯形表，重复第二步，一直到没有新的非基本变量可以改善目标函数为止 若线性规划模型为：设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能

18、不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 CXZ Min .ts bAX 0X 上述计算步骤仍有效，只是其中的第二步改为：若对所有的0jC（nj,2,1），则已得到

19、最优解；第三步改为在所有0jC中，若有一个kC对应kx的系数列向量，即对mi,2,1均有0ik，则此问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解）；第四步改为)0min(jCkC，确定kx为进基变量 例 2-8 现以例 2-1来说明单纯形法的表上解法 0,124164821222.3002002121212121xxxxxxxxtsxxZMax 解 首先将线性规划问题标准化，引入松弛变量3x、4x、5x、6x，则：21300200Max xxZ 12 22321xxx 8 2421xxx.ts 16 451xx 12 462xx 0,621xxx 此时约束方程组已为典型方程组，根据上述线性规划模型

20、可以列出初始单纯形表（表 2-4）：表 2-4 单纯形法求解例 2-1（1）BC jc 200 300 0 0 0 0 b jx BX 1x 2x 3x 4x 5x 6x 设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向

21、前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 0 3x 2 2 1 0 0 0 12 6 0 4x 1 2 0 1 0 0 8 4 0 5x 4 0 0 0 1 0 16 0 6x 0 4 0 0 0 1 12 3 jC 200 300 0 0 0 0 Z=0 表 2-4中：100040010004001021000122 为典型方程组中变量的系数，jx为规划中出现的变量，jc为变量jx在目标函数中的系数，BX为基本变量，BC为基本变量在目标函

22、数中的系数，b为典型方程组右端常数项（非负值），为确定 出基 变 量的商 值，ikiib （0ik），jC为变量jx的检验 数，jPCcCBjj，Z 为此时目标函数值，bCZB 根据初始单纯形表可以看出：初始基本可行解是01x，02x，123x，84x，165x，126x 此时目标函数值12168120000Z0 检验数111PCcCB20004120000200 222PCcCB30040220000300 设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化

23、活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 3C=4C=5C6C0（基本变量的检验数总等于零）由于01C，02C，所以初始基本可行解非最优解又由于12CC，所以确定2x为进基变量 进一步求最小值：33,4

24、,6min412,28,212min0minminikikiib 即从第 4 个方程中算出的商值最小，而第 4 个方程中的基本变量是6x，于是6x为出基变量表中给第 4 个约束方程中2x的系数 4 加上方括号以突出其为枢元 接下去是将2x取代6x，表 2-4中的约束方程化为以3x、4x、5x和2x为基本变量，1x和6x为非基本变量的典型方程从表 2-4中可以看到，只需对方程组实行初等变换，使枢元位置变成 1，而枢列中的其它元素变为零就可以了 此处可先将第 4 个方程除以 4，使枢元位置变成 1；然后用新得到的第 4 个方程乘以（-2）后分别加到第 1 个和第 2 个方程上，使枢列中的第 1 个

25、和第二个方程所在位变为零这样我们可以得到新的单纯形表（表 2-5）表 2-5给出的新的基本可行解是1x0，2x3，3x6，4x2，5x16，6x0 此时目标函数值31626300000Z900 检验数111PCcCB200-0412300000200 设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向

26、的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 666PCcCB0-410212130000075 2C3C=4C=5C0（基本变量的检验数总等于零）表 2-5 单纯形法求解例 2-1（2）BC jc 200 300 0 0 0 0 b jx BX 1x 2x 3x 4x 5x 6x 0 3x 2 0 1 0 0 21 6 3 0 4x 1 0 0 1 0 21 2

27、2 0 5x 4 0 0 0 1 0 16 4 300 2x 0 1 0 0 0 41 3 jC 200 0 0 0 0-75 Z=900 由于01C，所以此时基本可行解非最优解，确定1x为进基变量 进一步计算最小值：24,2,3min416,12,26min0minminikikiib 即从第 2 个方程中算出的商值最小，而第 2 个方程中的基本变量是4x，于是4x为出基变量 接着进行第二次迭代，将1x取代4x，表 2-5中的约束方程化为以3x、1x、5x和2x为基本变量，4x和6x为非基本变量的典型方程，以便求出新的单纯形表 重复单纯形法计算第 2 步第 5 步，一直到没有新的非基本变量可

28、以改善目标函设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我

29、国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 数为止（见表 2-6和表 2-7）表 2-6 单纯形法求解例 2-1（3）BC jc 200 300 0 0 0 0 b jx BX 1x 2x 3x 4x 5x 6x 0 3x 0 0 1-2 0 21 2 4 200 1x 1 0 0 1 0 21 2 0 5x 0 0 0-4 1 2 8 4 300 2x 0 1 0 0 0 41 3 12 jC 0 0 0-200 0 25 Z=1300 表 2-7 单纯形法求解例 2-1（4）BC jc 200 300 0 0 0 0 b jx BX 1x 2x 3x 4x 5x 6x 0 3x 0 0 1-1

30、41 0 0 200 1x 1 0 0 0 41 0 4 0 6x 0 0 0-2 21 1 4 300 2x 0 1 0 21 81 0 2 jC 0 0 0-150 225 0 Z=1400 设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体

31、现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 表 2-7中：目标函数值244030002000Z=1400 检验数444PCcCB=0-2120130002000=-150 555PCcCB=0-8121414130002000=225 1C=2C=3C=6C=0（基本变量的检验数总等于零）由于0jC，6,2,1j，所以此基本可行解41x，22x，03x，04x，05x，46x，即为最优解，最优值为 Z*1400 与前面

32、图解法求解结果一致 为了加深对单纯形法基本思想的理解，不妨将表 2-4、表 2-5、表 2-6、表 2-7 和图2-1 进行对照，可以发现表2-4 给出的基本可行解对应于图中可行域顶点0，表2-5 给出的基本可行解对应于顶点A，表 2-6给出的基本可行解对应于顶点B，表 2-7给出的最优解对应于顶点C线性规划问题有无穷多个可行解，应用单纯形法可以高效率地求解此类问题 例 2-9 用单纯形法求解下列规划问题 43213Min xxxxZ 4 22321xxx.ts 6 3421xxx 0,4321xxxx（解略，见课件）设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求

33、量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 4 大M法（1）人工变量（见课件）单纯形法求解的一

34、个重要前提是：线性规划问题必须是标准形式，并且约束条件必须化为典型方程组 这样才能得到初始基本可行解，并制作出初始的单纯形表 但许多线性规划问题不是以标准形式出现，约束条件也未以典型方程组形式表示，因此我们往往先要把线性规划问题化为标准形式，然后再使约束方程变为典型方程组 如果给定的线性规划问题中，约束条件都是“njijijbxa1”型的，那么将每一个约束条件的左边添加一个松弛变量后，不仅约束条件化为了标准形式，而且也得到了典型方程组，如下列所示),2,1(00,0,21212211222222121111212111mibxxxxxxbxxaxaxabxxaxaxabxxaxaxaimnnn

35、nmmnnmnmmnnnnnn 但是，大多数的线性规划中的约束条件为njjijxa1（或）ib的形式，化为典型方程组就不那么容易 在这种情况下，比较简单的方法是先将约束不等式化为等式，然后对每一个约束方程再添加一个非负变量（如果约束方程没有明显的基本变量），使方程组成为典型方程组形式这种外加的变量不同于松弛变量（或剩余变量），没有实际意义，只是一种形式的存在，本质上应当等于零，所以被称为人工变量（2）大M法求解（见课件）在一个线性规划问题的约束条件中加入人工变量，成为典型方程组后，即设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与

36、繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 可用单纯形表求解 由于一开始人工变量是作为基本变量的，而它们本质上应当为零，所以必须设

37、法尽快将它们从基本变量中剔除，成为非基本变量（基本可行解中，非基本变量的值为零）为此，将人工变量记入目标函数中，并赋予一个极大的负系数习惯上，这种系数记作M，其中M是极大的正数由于标准形式的线性规划是极大化问题，目标函数中添加 1 个或 1 个以上以M为系数的人工变量后，人工变量取任何非负值均不可能为最优解 从而，在应用单纯形法过程中，人工变量一定会尽快地变成非基本变量，而对原问题的最优解不产生丝毫影响 对于目标函数为极小化时，规定人工变量在目标函数中的系数为极大的正系数（M）这种方法称为大M法 例 2-10 用大M法求解下列问题 0,18231224.5321212121xxxxxxtsxx

38、ZMax 解 先通过加入松弛变量3x和4x使此线性规划问题化为标准形式 0,18231224.53432121423121xxxxxxxxxxtsxxZMax 然后通过加入人工变量5x使约束方程组变为典型方程组 2153M a x xxZ-5Mx 4 31xx 12 2 42xx 18 23521xxx 0,54321xxxxx 用单纯形法解之，结果如下表 2-11：.t s 设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术

39、团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 表 2-11 大M法求解例 2-10 BC jc 3 5 0 0-M b jx BX 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 1 0 1 0 0 4 4 0 4x 0 2 0 1 0 12 -M

40、 5x 3 2 0 0 1 18 6 jC 3+3M 5+2M 0 0 0 Z=-18M 3 1x 1 0 1 0 0 4 0 4x 0 2 0 1 0 12 6-M 5x 0 2-3 0 1 6 3 jC 0 5+2M-3-3M 0 0 Z=12-6M 3 1x 1 0 1 0 0 4 4 0 4x 0 0 3 1-1 6 2 5 2x 0 1 23 0 21 3 jC 0 0 29 0 M25 Z=27 3 1x 1 0 0 31 31 2 0 3x 0 0 1 31 31 2 5 2x 0 1 0 21 0 6 jC 0 0 0 23-1-M Z*=36 最后计算得出最优解21x，62x

41、，23x，04x，05x，最优值Z*=36 例 2-11 有一线性规划问题 3213M in xxxZ 设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制

42、定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 11 2 321xxx 32 4 321xxx 1 2 31xx 0,321xxx 试用大M法求解 解 在上述问题的约束条件中加入松弛变量、剩余变量和人工变量，得到 763213M in MxMxxxxZ 11 2 4321xxxx 3 2 4 65321xxxxx 1 2 731xxx 0,7654321xxxxxxx 这里M是一个很大的正数 大M法计算见表 2-12 最优解：1x4，2x1，3x9，4x5x6x7x0；最优值：Z-2 在用大M法求解时，如果得到人

43、工变量不为零的最优解，则说明原问题不可行，即原问题无解另外，若极小比值相等，则人工变量先出基 在线性规划问题中，如果线性规划已化为标准形式而约束方程仍没有明显的基本变量，则除可用大M法求解外，还可用二阶段法求解（可参阅其他运筹学书籍）单纯形法是线性规划问题的通用解法尽管求解效率较高，但由于在许多实际问题的应用过程中，往往有很多的决策变量和约束条件，人工计算费时且易出现计算错误 计算机技术的发展，使线性规划问题的求解可以通过有关计算机程序完成，极大地增强了线性规划方法解决实际问题的能力 本书第十三章就介绍了用 Excel 以电子表格的形式建立与求解线性规划模型的方法 表 2-12 大M法计算例

44、2-11.t.s.t.s 设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应

45、社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 BC jc-3 1 1 0 0 M M b jx BX 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 0 4x 1-2 1 1 0 0 0 11 11 M 6x-4 1 2 0-1 1 0 3 23 M 7x-2 0 1 0 0 0 1 1 1 jC-3+6M 1-M 1-3M 0 M 0 0 Z=4M 0 4x 3-2 0 1 0 0 10 M 6x 0 1 0 0-1 1 1 1 1 3x-2 0 1 0 0 0 1 jC-1 1-M 0 0 M 0 Z=1+M 0 4x 3 0 0 1-2 12 4 1 2x 0 1 0 0-1 1 1 3

46、x-2 0 1 0 0 1 jC-1 0 0 0 1 Z=2-3 1x 1 0 0 31 32 4 1 2x 0 1 0 0-1 1 1 3x 0 0 1 32 34 9 jC 0 0 0 31 31 Z=-2 三、课堂练习（见课件）四、本次课小结 （见课件）设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事

47、舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现学习必备 欢迎下载 五、作 业 （见课件）设和文化大发展大繁荣的大好时期全国各地对舞蹈艺术人才的需求量越来越大社会需求量高就业前景广阔随着经济的不断发展与繁荣社会文化的需求日渐提高舞蹈的功能不仅仅是一种文化手段渗透在各层次的文化活动与教育活动中化及企业文化的艺术团体这都是我们拓宽办学规模重组专业设置对舞蹈教育的层面加以的布局是培养舞蹈艺术人才在市场经济条件下发展的一个极好良机从事舞蹈方向的技术人才远远满足不了目前所需日渐增多的全国专业艺术团体现在良好的社会现状我们向前行进的每一步都必须务实正确制定学生的培养目标按社会的发展及需要来制定和调整我们的教学课程和设置已成为我们必须明确的一个前提我国舞蹈艺术也即将适应社会的发展从我国目前舞蹈发展的现