数学解题方法与技巧数学思想方法总结_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数学解题方法技巧 一、换元法 “换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。在解题过程中，把题中某一式子如 f(x)，作为新的变量 y 或者把题中某一变量如 x，用新变量 t 的式子如 g(t)替换，即通过令 f(x)=y 或 x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换 f(x)=y 或 x=g(t)。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代

2、换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的

3、互化等问题中，都有着广泛的应用。例1 分解因式：(x2-x-3)(x2-x-5)-3 例2 在实数集上解方程：4141433xx 例3 设 sinx+siny=1，求 cosx+cosy 的取值范围.例4 设 x,yR，且1422yx，求函数 f(x,y)=x2+2xy+y2+x+2y 的最小值和最大值。二、消元法 对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。用消元法解

4、题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。例1 解方程组：11514yx x+1=y x-y-z=6 例 2 解方程组：y-z-x=0 z-x-y=-12 例 3、设 a,b,c 均为不等于 1 的正数，若 ax=by=cz 0111zyx 学习必备 欢迎下载 求证：abc=1 三、待定系数法 按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。一、比较系数法 比较系数

5、法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，即 a0 xn+a1xn-1+anb0 xn+b1xn-1+bn 的充分必要条件是 a0=b0,a1=b1,an=bn。二、特殊值法 特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。待定

6、系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。例1 设二次函数的图象通过点 A（-1，0），B（7，0），C（3，-8），求此二次函数的解析式。例2 以 x-1的幂表示多项式 x3-x2+2x+2。例3 分解因式：6x2+xy-2y2+x+10y-12.四、判别式法 实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的判别式=b2-4ac具有以下性质：0，当且仅当方程有两个不相等的实数根 0，当且仅当方程有两个相等的实数根；0，当且仅当方程没有实数根。对于二次函数 y=ax2+bx+c

7、(a0)它的判别式=b2-4ac具有以下性质：0，当且仅当抛物线与 x 轴有两个公共点；0，当且仅当抛物线与 x 轴有一个公共点；0，当且仅当抛物线与 x 轴没有公共点。利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。在具体运用判别式时，中的系数都可以是含有参数的代数式。例1 已知关于 x 的二次方程 x2+px+q=0 有两正根 求证：对于一切实数 r0，方程 qx2+(p-2rq)x+1-p=0也必有两正根。例2、x,y,zR,aR+，且 x+y+z=a,助于数量关系明朗化变繁为简化

8、难为易给出简便巧妙的解答在解题过程中把题中某一式子如作为新的变量或者把题中某一变量如用新变量的式子如替换即通过令或进行变量代换得到结构简单便于求解的新解题方法通常称为换元法或是多种多样的常用的有有理式代换根式代换指数式代换对数式代换三角式代换反三角式代换复变量代换等宜在解题实践中不断总结经验掌握有关的技巧例如用于求解代数问题的三角代换在具体设计时宜遵以下原则全面考虑三角函数联系只有全面考虑以上原则才能谋取恰当的三角代换换元法是一种重要的数学方法在多项式的因式分解代数式的化简计算恒等式条件等式或不等式的证明方程方程组不等式不等式组或混合组的求解函数表达式定义域值域或最值的推学习必备 欢迎下载 x

9、2+y2+z2=21a2 试确定 x,y,z 的取值范围。例3、已知 a,x 为实数，|a|0）（1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域。（2）求鱼群年增长量的最大值。例 4：某公司有资金 100 万元，董事会决定全部投资到甲、乙两工厂，投资甲厂可获得的利润为投资额的20%；投资乙厂可获得的利润由公式 M=19516x(M 为利润额，x 为投资额，单位均为万元)确定，问公司如何分配 100 万元资金投资这两个工厂，使获得利润最大？最大利润是多少？作业：1、设 x 的二次方程 x2-2x+lg(2a2-a)=0有一正根和一负根，求 a 的范围。2、（1994 年高考题）在测

10、量某物理的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 a1,a2,an共 n 个数据。我们规定所测物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其它近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从 a1,a2,an，推出的 a 的值。3、塑料厂销售科计划出售一种塑料鞋，经营人员不是仅仅根据估计的生产成本来确定塑料鞋的销售价格，而是通过对经营塑料鞋的零售商进行调查，看看在不同的价格下会进多少货。通过一番调查，确定的需求关系是 p=-750 x+15000（p 为零售商进货的总数量，x 为每双鞋的出厂价），并求得工厂生产塑料鞋固定成本是 7000 元，估计生产每双塑料鞋的材料和劳动生产

11、费用为 4 元，为了获得最大利润，工厂应把每双鞋的出厂价定为多少元？4、建筑一个容积为 2400 米3，深为 6 米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为 a 元，池底每平方米粉的造价为 2a 元，则如何建造才能使总造价为最小。4、某一信托公司，考虑投资 1600 万元建造一座涉外宾馆。经预测，该宾馆建成后，每年年底可获利 600万元，假设银行每年复利计息，利率为 10%。若需要在三年内收回全部投资，每年至少应该收益多少万元（结果保留一位小数）？七、试验法 解答数学题，需要多方面的信息。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信息，为分析问题和解决问题提供必要的依据。用试验法处理数学问题时，必须从问

12、题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围；在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的解答。任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试验法，必须勤于观察，善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。例 1：在正整数集 N+上解方程：xy+3x-5y=3 例 2、已知方程 x2+(m+1)x+2m-1=0 的两个根都是整数，求 m 的整数值。例 3、求所有的实数 k，使得方程 kx2+(k+1)x+(k-1)=0 的根都是

13、整数。八、分类法 分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。助于数量关系明朗化变繁为简化难为易给出简便巧妙的解答在解题过程中把题中某一式子如作为新的变量或者把题中某一变量如用新变量的式子如替换即通过令或进行变量代换得到结构简单便于求解的新解题方法通常称为换元法或是多种多样的常用的有有理式代换根式代换指数式代换对数式代换三角式代换反三角式代换复变量代换等宜在解题实践中不断总结经验掌握有关的技巧例如用于求解代数问题的三角代换在具体设计时宜遵以下原则全面考虑三角函数联系只有全面考虑以上原则才能谋取恰当的三角代换换元法是一种重要的数学方法在多项式的因式分解代

14、数式的化简计算恒等式条件等式或不等式的证明方程方程组不等式不等式组或混合组的求解函数表达式定义域值域或最值的推学习必备 欢迎下载 不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植到数学中来，用以指导解题的方法，通常称为分类或分域法。用分类法解题，大体包含以下几个步骤：第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合 A；第二步：寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合 A 分为若干个便于求解的非空真子集 A1，A2，An;第三步：在子集A1，A2

15、，An内逐类讨论；第四步：综合子集内的解答，归纳结论。以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其中的一项关键性的工作。从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件。例 1：求方程2)lg(2lg axx的实数解，其中 a为实参数。例 2：ABC 中，ADBC 于点 D，M 是 BC 的中点，且B=2C。求证：DM=21AB 例 3：解方程：2|x+2|-|2x+1-1|=2x+1+1

16、九、数形结合法 数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。

17、中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。就具体方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。例：方程 sinx=2x解的个数为 A、1 B、2 C、3 D、4 例：已知实数 x,y 满足 3x+4y-1=0，求22)2()1(yx的最小值。例：设 xR，求80817222xxxx的最小值。例：对每个实数 x，记-x,x2,x+2 三者中的最大者为 F(x)，求 F(x)及 F(x)的最小值。例：如果方程|x2-4x+3|=p

18、x 有四个不同的实数根，求 p 的取值范围 十、反证法与同一法 反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。（一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。助于数量关系明朗化变繁为简化难为易给出简便巧妙的解答在解题过程中把题中某一式子如作为新的变量或者把题中某一变量如用新变量的式子如替换即通过令或进行变量代换得到结构简单便于求解的新解题方法通常称为换元法或是多种多样的常用的有有理式代换根式代换指数式代换对数式代换三角式代换反三角式代换复变量代换等宜在解题实践中不断总结经验掌握有关的技巧例如用于求解代数问题的三角代换在具体设计时宜遵以下原则全面

19、考虑三角函数联系只有全面考虑以上原则才能谋取恰当的三角代换换元法是一种重要的数学方法在多项式的因式分解代数式的化简计算恒等式条件等式或不等式的证明方程方程组不等式不等式组或混合组的求解函数表达式定义域值域或最值的推学习必备 欢迎下载 反证法的解题步骤：第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。第二步：归谬。由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。反证法的三个步骤是互相联系

20、的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确地作出反设，合乎逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。例 1：已知 A1，A2，An是凸 n 边形的 n(n3)个内角。求证：这 n 个内角中至多有 3 个内角是锐角。例 2：设平面平面，直线 l平面=A。求证：直线 l 与平面相交。例 3：求证：方程 x=qsinx+a (0q0.2、已知，（0，2），且 sin(+)=2sin。求证：3、在梯形 ABCD 中，E 为一腰 BC 上的一点，已知AED 的面积是梯形 ABCD 的面积的一半，求证：CE=EB 助于数量关系明朗化变繁为简化难为易给出简便巧妙的解答在解题过程中把题中某一式子如作为新的变量或者把题中某一变量如用新变量的式子如替换即通过令或进行变量代换得到结构简单便于求解的新解题方法通常称为换元法或是多种多样的常用的有有理式代换根式代换指数式代换对数式代换三角式代换反三角式代换复变量代换等宜在解题实践中不断总结经验掌握有关的技巧例如用于求解代数问题的三角代换在具体设计时宜遵以下原则全面考虑三角函数联系只有全面考虑以上原则才能谋取恰当的三角代换换元法是一种重要的数学方法在多项式的因式分解代数式的化简计算恒等式条件等式或不等式的证明方程方程组不等式不等式组或混合组的求解函数表达式定义域值域或最值的推