教案----微积分基本定理_高等教育-微积分.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第三节 微积分基本公式 在第一节的例 1，我们学习了利用定积分的定义来计算定积分102dxx。通过这个例子我们看到，虽然被积函数只是简单的二次函数2()f xx，但是直接按定义来计算它的定积分102dxx已经很复杂了。如果被积函数是其它更复杂的函数，则复杂程度更大了。于是，我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法。下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法。先来下面这个例子：变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体作直线运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴。时刻t时物体所在的位置为)(ts，速度为()v t。（为讨论方便，假设()0v t。）物

2、体在时间间隔,21TT内经过的路程可以用速度函数)(tv在,21TT上的定积分来表达，即 21)(TTdxtv；另一方面，这段路程又可以通过位置函数)(ts在区间,21TT上的增量来表示，即 21()()s Ts T。于是，位置函数)(ts与速度函数()v t之间有如下关系：2211()()()TTv t dxs Ts T。注意到()()s tv t（我们称)(ts是)(tv的原函数）。上式表明，tv在区间,21TT上的定积分21)(TTdxtv恰好等于其原函数 ts在区间,21TT上的增量21()()s Ts T。上面提到了)(ts是)(tv的原函数，对于一般情况，我们给出如下定义：定义：设

3、函数 ,F xf x在区间I上有定义，Ix，若有 xF xf，则 称 xF是 xf 在区间I上的一个原函数。也称)(xf为)(xF在区间I 上的的导函数。原函数与导函数是一种互逆关系。问题：引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下是否具有普遍性？下面介绍微积分基本定理（也叫 Newton Leibniz 公式）：牛顿莱布尼兹（Newton Leibniz）公式 设函数 xf在区间 ba,上连续，且)(xF是)(xf在区间,a b上的一个原函数，即对,xa b，有 xfxF，则 aFbFdxxfba)(也称作微积分基本公式。证明见本节附录。注：（1）为了计算中书写方便，通常将 Newton

4、 Leibniz公式写作：aFbFxFdxxfbaba)()(；（2）牛顿莱布尼茨公式表明：一个连续函数在区间,a b上的定积分等于它的任意一个原函数在区间,a b上的增量，这给计算定积分提供了一个简洁又有效的方法；（3）牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系。阅读材料 牛顿莱布尼兹公式的证明 一、积分上限函数及其导数 学习必备 欢迎下载 设函数)(xf在,ba上连续，并且设x为,ba上任一点，考察定积分()xaf t dt 如果上限x在区间,ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分()xaf t dt有一个对应值，所以它在,ba上定义了一个函数，记为()()xaxf t dt(

5、)axb 我们称它为积分上限函数。问题：（1）积分上限函数()()xaxf t dt具有怎样的性质，是否可导？（2）积分上限函数()()xaxf t dt与被积函数)(xf有怎样的关系？（i）当),(bax时，设x有增量x，其绝对值足够小，使得(,)xxa b，则积分上限函数()x在xx 处的函数值为()()xxaxxf t dt 由此我们得到()x的增量为)()()(xxxx ()()xxxaaf t dtf t dt()()()xxxxaxaf t dtf t dtf t dt =()xxxf t dt。由积分中值定理，则在x与xx 之间至少存在一点，使得()()xxxf t dtfx，即

6、()()xfx。上式两端同除以x，得)()(fxx。由于位于x与xx 之间，所以当0 x时，有x。于是，对上式两端取极限(0)x，可得 00()limlim()lim()xxxxffx 又因为函数)(xf在,ba上连续，故有 lim()()xff x 于是，结合上面两式，可得()()xf x 这说明()x在点x处可导，并且有()()xf x；（ii）当xa或xb时，考虑其单侧导数，类似可得 ()()af a，()()bf b。我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解

7、决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 综合（i）,(ii),我们可得如下 定理 1 如果函数)(xf在区间,ba上连续，则积分上限函数 xadttfx)()(在,ba上可导，并且它的

8、导数是()()()xadxf t dtf xdx（bxa）。由定理 1，可得下面结论 定理 2 如果函数)(xf在区间,ba上连续，则函数 xadttfx)()(是)(xf在区间,ba上的一个原函数。注：（1）定理证明了连续函数的原函数是存在的；（2）揭示了定积分与原函数之间的关系，同时为通过原函数计算定积分开辟了道路。二、牛顿莱布尼兹（Newton Leibniz）公式的证明 现在，我们可以根据上面的定理来证明牛顿莱布尼兹公式。牛顿莱布尼兹（Newton Leibniz）公式 设函数 xf在区间 ba,上连续，且)(xF是)(xf在区间,a b上的一个原函数，即对,xa b，有 xfxF，则

9、 aFbFdxxfba)(也称作微积分基本公式。证明：已知)(xF是)(xf在区间,ba上的一个原函数，又由定理 2，积分上限函数 xadttfx)()(也是)(xf在区间,ba上的一个原函数。故有()()F xxC （bxa）即()()F xxC。取xa，可得()()F aaC 又由于()()0aaaf t dt 代入上式，可得 ()F aC （1）取xb，可得()()F bbC 又由于()()babf t dt 代入上式，可得()()baF bf t dtC (2)(2)-(1),可得 aFbFdxxfba)(。第四节 不定积分 由牛顿莱布尼茨（Newton Leibniz）公式 aFbF

10、xFdxxfbaba)()(我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的

11、这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 可知，一个连续函数在区间,a b上的定积分等于它的原函数在区间,a b上的增量。因此，求 xf的定积分问题就转化为求其原函数的问题。问题：对于连续函数 xf，如何求其原函数呢？一、原函数与不定积分 在第三节，我们提到了原函数的概念，现在一起来回顾一下：设函数 ,F xf x在区间I上有定义，Ix，若有 Fxf x，则称 xF是 xf 在区间I上的一个原函数。也称)(xf为)(xF在区间I 上的的导函数。原函数与导函数是 一种互逆关系。例如：(1)如果质点的路程函数为 tss，速度函数为)(tv，已知)(tvts，由定义，ts是 tv的一个原

12、函数；(2)xxcossin，故xsin是xcos的一个原函数；(3)2211)1ln(xxx，故)1ln(2xx是211x的一个原函数；问题：在什么条件下，一个函数一定有原函数？若原函数存在,如何求原函数?原函数是否唯一？若不唯一它们之间有什么联系？原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I 上连续，则)(xf在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(xF，使得对任一Ix，都有)()(xfxF。证明略。注：1 初等函数在定义区间内连续，故初等函数在其定义区间内一定有原函数（但是初等函数的原函数不一定还是初等函数）；2 如果)(xf有一个原函数，则)(xf就有无穷多个原函数。设)(

13、xF是)(xf的原函数，即 Fxf x。则对任意常数C，显然也有)()(xfCxF，表明CxF)(也为)(xf的原函数，其中C为任意常数。所以原函数不唯一；3 如果)(xF与)(xG都为)(xf在区间I 上的原函数，则)(xF与)(xG最多相差一个常数，即 CxGxF)()(（C为常数）。证：设 xF、xG都是函数 xf的原函数，即 xfxF，xfxG，对任意的x，有 0F xG xFxGxfxfx 由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，则有 F xG xC（C为常数）表明)(xF与)(xG最多只相差一个常数。4 根据注 3，如果已知 xf的一个原函数为 xF，则 xf的所有的原函数可 以

14、表示为 F xC，即 xf的原函数的全体为 F xC，称为 xf的原函数 我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在

15、区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 族。由以上的注，我们引入以下定义：定义：设 xf在区间I上的原函数的全体为 F xC，称其为 xf在区间I上 的不定积分，记作 f x dxF xC。其中为积分号，xf为被积函数，x为积分变量，dxxf为被积表达式。由此定义，由于 tvts，则 v t dxs tC；由于 xxcossin，则cossinxdxxC；由于2211)1ln(xxx，则221ln(1)1dxxxCx；注：由不定积分的定义，xf的不定积分为 cxF是一族曲线，称之为积分曲 线族。其特点：只要作出其中一条曲线)(xFy

16、的图，通过沿y轴的上下平移，即可得到所有的积分曲线cxFy)(的图形。由原函数与不定积分的概念，可得如下积分与微分（导数）的关系：（1）f x dxf x或 df x dxf x dx；（2）CxFdxxF)()(或 dF xF xC。注：在忽略任意常数的基础上，积分与微分互为逆运算；对于性质 Fx dxF xC，不能写成：Fx dxF x；二、基本积分表 由于积分运算是微分运算的逆运算，很自然地可以从导数公式得到对应的积分公式。例如，因为 21(arctan)1xx 所以就有 2arctan1dxxCx 类似地可以得到其它积分公式。下面我们由已知的基本初等函数的导数公式，直接推出以下 16

17、个基本积分公式：1)0 dxC 2)Ckxkdx(k为常数)3)Cxdxx11 (1)4)1ln|dxxCx 5)Cedxexx 我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有

18、定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 6)Caadxaxxln 7)Cxxdxsincos 8)Cxxdxcossin 9)Cxxdxxdxtanseccos22 10)Cxxdxxdxcotcscsin22 11)Cxxdxxsectansec 12)Cxxdxxcsccotcsc 13)2arctanarccot1dxxCxCx 14)2arcsinarccos1dxxCxCx 15)shchxdxxC 16)chshxdxxC 其中sh2xxeex，ch2xxeex。注：

19、（1）对于公式1lndxxCx说明如下：0 x时，此时xxlnln，所以 xxx1lnln；0 x时，此时xx lnln，所以 11lnln()xxxxx。把以上两种情况合起来，可写为 xx1)|(ln 因此x1的原函数是xln，即 1ln|dxxCx；（2）利用基本积分公式时，必须严格按照公式的形式。比如 sincosxdxxC，但 sin 2cos2xdxxC。以上 16 个基本积分公式，是求不定积分的基础，必须牢记，下面先举例来熟悉一下幂函数的积分公式。例 1求不定积分：（1）3xx dx；（2）2 31dxxx；我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复

20、杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 解：（1）7179232227912xxx dx

21、x dxCxC；（2）71743332 3137413xdxxdxCxCxx 。小结：当遇到被积函数中幂函数用根式或分式表示时，应先把它化为x的形式，然后再利用幂函数的积分公式来求不定积分。问题：由基本积分公式，我们知道，Cedxexx，3414x dxxC，那么不定积分3()xex dx该如何求呢？是否恰好等于3xe dxx dx？为了解决上面的问题，我们有必要先来研究一下不定积分的性质：性质 1 和的积分等于积分的和，即 dxxgdxxfdxxgxf)()()()(；证：设 xfxF，xgxG，则由定义，可得 f x dxg x dx 12F xCG xC F xG xC 又由于 F xG

22、 x FxGx f xg x 表明，F xG x是 f xg x的一个原函数，则 f xg xdxF xG xC f x dxg x dx。注：此性质可推广到有限多个函数之和的情况：推广：若1()(),niiif xk f x则 1()d()dniiif xxkf xx 性质 2非零常数因子可以从积分号中提出来，即 dxxfkdxxkf)()(，（k为常数，0k）请同学们自己证明。例 2.求3(5)x xx dx 解：73322(5)5x xx dxxxdx 73225x dxx dx 73225x dxx dx 我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函

23、数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 952222595xxC 42229xxxxC 注：由

24、于积分运算与求导运算互逆，所以，如果担心积分结果算错，只要对最后的结果求导，看它的导数是否等于被积函数，如果相等就是算对了，否则就是计算出错了。比如对例 2 最后的结果求导，则有 954222222299xxxxCxxC 73225xx 3(5)x xx 例 3求dxxx23)1(解：33222(1)331 xxxxdxdxxx 2313xdxxx 2313xdxdxdxdxxx 21133xdxdxdxdxxx 2133ln|2xxxCx 例 4求dxexexxx)2cos3(解：(3cos2)xxxexe dx 3cos2xxxe dxxdxe dx 3 cos(2)xxe dxxdxe

25、dx(2)3sinln(2)xxeexCe(2)3sin1ln2xxeexC 例 5求dxxxxx)1(122 解：22221(1)(1)(1)xxxxdxdxxxxx 2111dxxx 2111dxdxxx ln|arctanxxC 我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函

26、数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 例 6求42d.1xxx 解：4422(1)1dd11xxxxxx 222(1)(1)1d1xxxx 2211d1xxx 22ddd1xxxxx 31arctan3xxxC 例 7.求xdx2tan 解：22tan(sec1)xdxxdx 2sec xdxdx tan xxC 例 8求dxx2sin2 解：21 cossin22xxdx

27、dx 1cos2dxxdx 1(sin)2xxC 例 9求221sincos22dxxx 解：22214sinsincos22dxdxxxx 24 csc xdx 4cot xC 注：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.例 10设曲线过点)2,1(，且其上任一点处的切线斜率为该点横坐标的两倍，求 曲线的方程。解：设所求的曲线方程为)(xfy，依题意，曲线上任一点),(yx处的切线的斜率为 xdxdy2，从而 Cxxdxy22 我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我

28、们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 由曲线过点)2,1(，即2)1(y，得 221C 即 1C，因此所求曲线方程为 12xy。最后，我们有必要指出，利用 1

29、6 个基本积分公式及不定积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的。因此，如果同学们感兴趣的话，可以自己去查阅相关的微积分教材，进一步去学习求不定积分的方法。当然，对于我们常见的初等函数来说，在其定义区间上都是可积的。但是其原函数不一定是初等函数，故不一定能求出其原函数。比如：dxex2，2dxex，dxxxsin，2sindxx，dxxln1，dxx411，31dxx以及221sind(01)kx xk 等等，就不能求出其原函数。练习：1 求下列不定积分：（1）1103cosxxdxx（2）54d xxx（3）2(32)xxdx（4）3(1)(1)xxdx（5）2(1)xdxx（6）21(1

30、)x xdxx（7）2(5)d.xxex（8）dxxx232（9）2232().11dxxx（10）22212(1)xdxxx（11）221.(1)dxxx（12）4223351xxdxx（13）31d1xxexe（14）1.1 cos 2dxx（15）21cos.1cos 2xdxx 我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数

31、在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载（16）22sin cosd.xxx（17）2cos2xdx（18）dxxxxsincos2cos（19）22cos 2cossinxdxxx（20）221sincosdxxx（21）sec(sectan)xxx dx（22）2222sinsec1xxxdxx（23）1111xxdxxx

32、 2已知 xxf2sectan，20 f，求 xf。3问x2sin21，x2cos41，x2cos21是否是同一函数的原函数？是哪一个函数的原函数？4设曲线过点2(,3)e，且其上任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，求 曲线的方程。5.已知一曲线()yf x在点(,()x f x处的切线斜率为2secsinxx，且此曲线与y轴的交点为(0,5)，求此曲线的方程。6计算dxxxf1)(ln，)(lndxxf。7.xe是()f x的原函数，求2(ln)dx fxx。我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分

33、的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 8 曲线 xfy 在点 yx,处的切线的斜率为22311xxk，试求曲线的方程，已知点1,0在曲线上。思考

34、题：1.求下列不定积分：（1）1 dxx；（2）max1,x dx；（3）2()xxdx。2.已知2222dd111xxxAxxBxx求,A B。我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义

35、设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 第五节 定积分的计算 由牛顿莱布尼茨公式可知：一个连续函数在区间,a b上的定积分等于它的任意一个原函数在区间,a b上的增量，这样，求定积分问题就转化为求原函数的问题.例 1.计算下列定积分：（1）120 x dx （2）31211dxx（3）12xdx （4）10 xe dx 解：（1）313031333103102xdxx；（2）332111arctan1dxxx arctan3arctan(1)34 712；（3）1

36、ln1lnln111exdxxee；（4）4110021xxe dxeeee 。例 2.计算正弦曲线xysin在,0 上与x轴所围成平面图形的面积。解：00sincos 1 12Axdxx 例 3计算下列定积分：（1）42xdx；（2221 cos 2xdx；（3）20f x dx，其中 21103xxxxxf。分析：因为被积函数都是分段函数，所以要分段积分。解：（1）40404222022011()281022xdxx dxxdxxx xyo我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是

37、从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载（2）222221 cos 22sinxdxxdx 222|sin|x dx sinsin22200 xdxxdx 02022

38、cos2cosxx 22 2 2（3）2120013f x dxxdxx dx 1220113xdxdxxdx 1222210111322xxx 13322 2 例 4、设()f x为连续函数，且0()sin()f xxf x dx 求()f x。分析：由于定积分0()f x dx是一个常数，则()f x可写为()sinf xxA，其中 A为定积分0()f x dx的值。再对()sinf xxA两边在区间0,积分即可。解：注意到0()f x dx是一个常数，不妨设0()f x dxA，则有()sinf xxA 两边积分，可得 00()(sin)f x dxxA dx 即 00sinAxdxAd

39、x 所以有 0cosAxA 解得 21A 因此 2()sin1f xx 我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区

40、间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 探究一：第一步：计算下列定积分：（1）131x dx；（2）22sin xdx；（3）44sectanxxdx。第二步：这些被积函数都有什么共性？积分区间有什么特征？结合第一步的计算结果，你发现了什么规律？第三步：上面的规律能否推广到一般情况？利用定积分的几何意义，你是否能给出解释？探究二：第一步：计算下列每组中各定积分的值：（1）323(1)xdx，023(1)xdx与320(1)xdx；（2）22cos xdx，02cos xdx与20cos xdx；（3）32311dxx，02311dxx与

41、32011dxx。第二步：这些被积函数都有什么共性？积分区间有什么特征？结合第一步的计算结果，你发现了每组中各定积分的值之间的关系吗？第三步：上面的规律能否推广到一般情况？利用定积分的几何意义，你是否能给出解释？探究三：第一步：计算下列每组中各定积分的值：（1）20cos xdx，322cos xdx与744cos xdx；（2）10()xx dx，3212()xx dx与21()xx dx。第二步：这些被积函数都有什么共性？积分区间有什么特征？结合第一步的计算结果，你发现了每组中各定积分的值之间的关系吗？第三步：上面的规律能否推广到一般情况？利用定积分的几何意义，你是否能给出解释？我们看到虽

42、但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习

43、必备 欢迎下载 练习：1.计算下列定积分：（1）bnax dx（2）20sin2xdx（3）22211()xdxx（4）20(2cossin1).xxdx （5）423xdx（6）201 sin2 d.x x（7）420213311xxdxx（8）94(1)xx dx（9）20(2cossin1).xxdx（10）20sin x dx 2计算定积分 20f x dx：（1）201()512xxf xx ；（2）201122xxf xxx .3.()f x为连续函数，且21200()()d2()df xxxf xxf xx，求()f x。我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被

44、积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 4设()f x，()g x为连续

45、函数，且有 220()3()df xxg xx，2320()3()dg xxxf xx 求()f x，()g x。思考题 1.计算下列定积分：（1）222max,x xdx；（2）2221min,xdxx 220sin2dsinnnxIxx的递推公式。第六节 广义积分 前面学习的定积分，要求积分区间必须为有限区间。但是，在一些实际问题中，我们经常会碰到积分区间为无穷区间，他们已经不属于我们研究过的定积分了。这时，我们又该如何去研究这种新的积分呢？它与我们学过的定积分有什么联系与区别呢？引例.设 xexf，则 xf在区间,0上连续。0b，图中阴影部分的面积为 001bxxbbS be dxee

46、曲线 xexf，x轴和y轴所围成的开口曲边梯形的面积 记为 0 xSe dx 其含义可理解为 limbSS b 且有 0limlimlim 11bxbbbbSS be dxe。b01我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原

47、函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 根据上面的讨论，我们给出如下定义：定义：设函数 xf在区间,a上连续，,ab，积分 badxxf均存在。若极限 babdxxflim 存在，称 xf在区间,a上可积，并称此极限为函数 xf在无穷区间,a上 的广义积分，记作adxxf)(，即 ()limbaabf x dxf x dx 这时也称广义积分adxxf)(收敛；如果上述极限不存在,函数)(xf在无穷区间,a上的广义积分adxxf)

48、(就没有意义，习惯上称为广义积分adxxf)(发散,这时记号adxxf)(不再表示数值了。类似地，设函数)(xf在区间b,上连续,(,)ab，如果极限 lim()baaf x dx 存在，则称此极限为函数)(xf在无穷区间b,上的广义积分，记作bdxxf)(，即()lim()bbaaf x dxf x dx 这时也称广义积分bdxxf)(收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分bdxxf)(发散。设函数)(xf在区间(,)上连续，如果广义积分 0)(dxxf 和 0)(dxxf(c为任意取定的常数)都收敛，则称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间(,)上的广义积分，记作dxxf)(，即()

49、()()ccf x dxf x dxf x dx lim()lim()cbacabf x dxf x dx 这时也称广义积分dxxf)(收敛；否则就称广义积分dxxf)(发散。例 1.计算广义积分 dxx211。解：02220111111dxdxdxxxx xoy211 xy我们看到虽但是直接按定义来计算它的定积分已经很复杂了如果被积函数是其它更复杂的函数则复杂程度更大了于是我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法先来下面这个例子然被点正方向单位长度使其成为一数轴时刻时物体所在的位置为速度为为论方便假设物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分

50、来表达即另一方面这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表示即于是位置函数与速面提到了是的原函数对于一般情况我们给出如下定义定义设函数在区间上有定义在区间上的一个原函数也称是一种互逆关系若有为则称是在区间上的的导函数原函数与导函数问题引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下学习必备 欢迎下载 022011limlim11baabdxdxxx 00lim arctanlim arctanbaabxx lim arctanlim arctanabab 22 注：由广义积分211dxx可知：当,ab 时，虽然图中的曲线211x向左，右无限延伸，但它与x轴所“围成”的面积却有有限值。除上述方法