数学思维训练教材六年级上册_小学教育-小学考试.pdf

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1、第 1 讲 比较大小 在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目：（1）比较这几个分数的大小：52、73、2310、2912、3715（2）试比较77755和7777555，那个分数大？如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。例 1：已知 A321=B43 =C109=D54=E511(ABCDE 都不等于 0)，将 A、B、C、D、E 按从大倒小的顺序排叠起来。分析与解 为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来的算式就变成 A321=B311=C109=D54=E65。下面我们可以运用倒

2、数的知识来解决这一问题。首先我们可以假设所有算式的运算结果等于 1。那么，A 就是321的倒数，即53；同理，B 应是43，C 是911，D 是411，E 是511。这样，我们很容易就能比较出这五个数的大小。因为4115119114353,所以 DECBA.随堂练习一：如果 a=b521=65c=d54(a、b、c、d 均不等于 0)，a、b、c、d 四个数中，谁最大?谁最小？例 2：将下列分数从小到大排列起来：52、73、2310、2912、3715。分析与解 比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，分母

3、大的分数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。因为 2、3、10、12、15、的最小公倍数是 60，根据分数的基本性质，可以把它们分别化为：15060、14060、13860、14560、14860。由 150148 145 140 138，可以得到：1506014860145601406013860，即5237152912732310。方法点评 如果几个分数的公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。随堂练习二：把下列分数按从小到大的顺序排列起来。175、196、4615、3310、3730 例

4、 3：已知 A=55555555555553，B=666663666661。试比较 A 与 B 的大小。分析与解 这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小2。我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与1 的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。因为比 A 比 1 少55555552，B 比 1 少6666632，而555555526666632，所以 AB。方法点评 如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与

5、1 的差，再确定这两个数的大小。随堂练习三：试比较下列两个分数的大小。445443和559557 例 4：比较77755和7777555，那个分数大？分析与解 这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14 倍多 7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？77755的倒数是55714，7777555的倒数是555714，因为55714555714，所以777557777555。方法点评 从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有

6、相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。随堂练习四：试比较19219和17217的大小。例 5：试比较下面两个分数的大小。10061207和20062207 分析与解 观察这两个分数，你会发现用上面的几种方法无法解答。但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子 2207=1207+1000，分母 2006=1006+1000，即第一个大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就

7、能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成分数10061207的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数20062207。方法点评 当 ab 时，bakbka,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，得到的新分数比原分数小，所以1006120720062207。同理

8、，一个真分数的分子和分母都加上同一个数，得到的分数比原分数大。随堂练习五：比较2329与123129的大小 拓展训练 1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。1918、3736、3231、4847、1615 2、比较下面两个分数的大小。999499和1001501 3、比较332221和665443的大小。4、比较123456789987654321与20091234567892009654321987的大小。5、比较83837171与838383717171的大小。大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小

9、的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成第 2 讲 速算与巧算 专题简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题

10、。因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。例 1：计算下面各题。（1）171649 （2）2003200420032003 分析与解 同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：可以把（1）17164分成一个 9的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以 2003 后，计算就很简便了。（1）171649 （2）2003200420032003 =（63+1711）9 =（20032003）（2004200320032003）

11、=63 9+17119 =1（20032003+200420032003）=7+911718 =1200411 =1727 =20052004 方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。随堂练习一：计算：（1）555655 （2）167168167167 例 2：计算：（1+61514131）（1+5141）（1+5141）（61514131）分析与解 这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方

12、便简算。设61514131=A 1+5141=B，原来的算式可以转化成：（1+A）B-BA=B+AB-AB=B 所以本题的结果为：1+5141=2091 大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易

13、了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。随堂练习二：计算：（1+978573）（52+978573）-（1+52+978573）（978573）例 3：计算.313233323121222111 501502.50485049505050495048.503502501 分析与解 这组分数的特点是：分母为 1 的分数有 1 个，分母为 2 的分数有 3 个，分母为 3 的分数有 5 个且同分母的分数的和依次为 1

14、，2，3，4，5这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）项数2=数列的和。原式=1+2+3+4+49+50=（1+50）502=1275 方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。随堂练习三：计算：.313233323121222111+201.202.201920202019.203202201 例 4：计算：（1）（1321111213）（135115）（2）032003200320200320032003022002200220200220022002 分析与解（1）被除数与除数

15、中两个分数的分母分别相同，经试验发现：1321111213=1314511145=145(131111),135115=5(131111).所以，原式=（1314511145）（135115）=145(131111)5(131111)=145 5=29（2）我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由 2002和 2003 组成。因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。因为 2002=20021 20022002=200210001 200220022002=20021000110001 所以 2002+20022002+200220022002=20

16、02（1+10001+100010001）同理 2003+20032003+200320032003=2003（1+10001+100010001）原式=)100010001100011(2003)100010001100011(2002=20032002 大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排

17、列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成随堂练习四：计算：（1）（91111119）（94114）（2）2323232323232323232317171717171717171717 例 5：计算 20191.431321211 分析与解 这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下：211=1-21，321=3121，.201

18、91=201191 20191.431321211=1-21+3121+201191=1-201=2019 方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。当 ab 时,ba 1=(ba11)ab 1 随堂练习五：计算100991.321211 拓展训练 1.、计算（1+5141 ）（5141+61）-（1+5141+61）（5141）2、计算（34398.343634343432）-（68699.68656863）3、计算232323232323232

19、323232323232323191919191919191919191919191919 4、计算16131131011071741411 5、计算（1+21）（1-21）（1+31）（1-31）（1+501）（1501-）大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小

20、课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成 第 3 讲 比的意义和应用 比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍”。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。例 1：两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是12,另一只杯子中盐与比是 15。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？分析与解 要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别

21、是多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为1，则第一支杯子中的盐占211，水占212；第二只杯子中的盐占511，水占515。两只杯子中的盐水混合后，盐为211+511=21，水为212+515=23。所以，混合液中的盐与水的比为：（211+511）（212+515）=2123=13。答：混合后，盐与水 的比为 13。方法点评：求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率，然后再进行解答。随堂练习一：六年（1）班男、女人数的比是 54，六年（2）班男、女人数的比是 21，两班人数相等。求六年（1）班男男生与六年（2）班男生的人数比。例 2：如右图，原形中的阴影部分面

22、积占圆面积的41，占正方形面积的31，三角形中阴影部分的面积占三角形面积的51，占正方形面积的41。圆，正方形、三角形面积的最简整数比是多少?分析与解 要求圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形的面积有关，我们就设正方形的面积为 12，那么圆的面积就是:12 3141=16；三角形的面积为：12 4151=15。所以这三个图形的面积比就是：（123141）12（124151）=161215 方法点评 在求几个量的比时，我们可以先假设其中一个量等于几，然后根据条件大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我

23、们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成计算出其他量，再求比，这样解决问题比较容易。随堂练习二：如图

24、，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的71，相当于小长方形面积的41。这两个长方形的面积比是多少？例 3：有大小两个长方形，大长方形的长比小长方形的长多41，而小长方形的宽比大长方形的宽多.101。求这两个长方形的面积比。分析与解 大长方形的长比小长方形的长多41，可以把小长方形的长看做 4 份，大长方形的长就是 1+4=5 份；小长方形的宽比大长方形的宽多.101。可以理解成八大长方形的宽看做 10 份，小长方形的宽是 1+10=11 份。所以，这两个长方形的面积比为：(510)(411)=5544=25 22 答：大小两个长方形的面积比为 25 22 。随堂练习三：有大小两个正方形

25、，大正方形的边长比小正方形的边长多41。求两个正方形的周长比。例 4：六年（1）班男人数的32与女生人数的54相等，已知男生比女生多 5 人，这个班男、女生各有多少人？分析与解 根据男人数的32与女生人数的54相等，可以列出数量关系：男生人数32=女生人数54。假设男人数的32与女生人数的54都是 1，则男生人数为 132=23；女生人数为154=45。所以，男、女生人数的比为：（132）（154）=2345=65 每一份的人数就是：5（6-5）=5（人）男生人数就是：56=30（人）女生人数就是：55=25（人）答：男生有30 人，女生有25 人。大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很

26、难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成随堂练习四：拔一根绳子按 53 截成甲

27、、乙两段，已知乙比甲短 1.2 米。这根绳子原来全长多少米？例 5：小丽读一本书，已读的页数和未读的页数 的比是 1 5 ，若再读 45页，则已读的页数和未读的页数的比是3 5。这本书共有多少页？分析与解 根据“已读的页数和未读的页数的比 15”可知，把未读的页数看做1 份，未读的页数看 5 份，总页数就是 1+5=6 份，已读的页数占总页数的511。若再读45 页，则已读的页数和未读的页数的比是 3 5.即把这时已读的页数看做 3 份，未读的页数看做 5 份，总页数就是 3+5=8 份，这时已读的页数占总数的533。45 页占总页数的533-511=245，这本书共有的页数是：45（533-

28、511）=45245=216（页）答：这本书共有 216 页。随堂练习五：一条路，已修的米数和未修的米数比为 23，后来又修了 2000 米，这时已修的米数与未修的米数比为 32。这条路全长多少米？拓展训练 1、两个西服厂，一个月内生产的西服数量比是 65，两个厂西服价格比是 1110.求两个厂这个月生产西服总产值的比。2、如图，求图中阴影部分与圆环的面积比。3、把 100 克纯酒精装在一个玻璃瓶里，正好装满。用去 20 克后，加满蒸流水；又用去 20 克 后，再加满蒸馏水。求这时瓶里蒸馏水与纯酒精的比。4、一个长方形长与宽的为73，如果把长减少 12 厘米，宽增加 16 厘米，正好变成一个正

29、方形。这个长方形的面积是多少平方厘米？5、水池里直立着两根木桩，露出水面部分的长度比为 101，当水面下降 20 厘米后，露出水面那部分的长度之比为52。求木桩原来露出的部分是多少厘米？大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成

30、同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成 第 4 讲 按比例分配 例 1：有一块长方形的土地，测得周长为 60 米，.长与宽的比是 32.求这块地的面积。分析与解 求长方形的面积必须知道长与宽，已知长方形的周长为 60 米，那么，长与宽的和就是：602=30(m)；它的长就是：30323=18（米）；它的宽就是：30322=12（米。）至此，长方形的面积很容易求出。602=30(m)30323=18（米）30323=18（米）1812=216（

31、平方米）答：这块长方形土地的面积是216 平方米。方法点评：此题的解题关键是先求出长与宽的和，然后在按比例分配球出长与宽，进而求出它的面积。随堂练习一：长方体的棱长总和为 220 厘米，已知长、宽、高的比为 542.这个长方体的体积是多少立方厘米？例 2：西园村挖一条水渠，全长 420 米，第一、二两队所挖米数比是 34，第二、三两队所挖米数比是67。三个队各挖了多少米？分析与解 我们注意到，这题给出两个比，两个比中都含有第二队，但第二队在这两个比中所占的份数却不同。因此，要解决问题，必须首先把这两个比进行统一，转化成连比。这里利用比的基本性质，把两个比中的第二队所占的份数转化为相同。第一队第

32、二队第三队 34=（33）（43）=912 67=（62）（72）=1214 这样，我们可以得到第一、二、三队所挖的米数比为 91214，下面只需将 420米按比例分配就行了。9+12+14=35 420359=108（米）4203512=144（米）4203514=168（米）答：第一队挖了 108 米，第二队挖了 144 米，第三队挖了 168 米。大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就

33、能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成方法点评：这道题的解题关键是：应用比的基本性质，把三个队的米数之间的联系有两个独立的比转化成一个连比。随堂练习二：人民路小学六年级的学生分三批去幼儿园参观海狮表演，第一批与第二批的人数比为 54，第二批与第三批的人数比为 32.已知六年级

34、共有学生 210 人，第二批有多少人？例 3：工厂把 10000 元奖金分给三个车间，第一车间与第二车间所得奖金的比是32，第三车间比第二车间多200 元。三个车间各得多少元？分析与解 根据题意，把第一车间所得奖金看做 3 份，第二车间所得奖金数是 2份，第三车间所得将金属应为 2 份多 200 元。从 10000 元奖金中先拿出 200 元给第三车间，那么剩下的 9800 元中，三个车间应得奖金的比是 322，再按比例进行分配。最后第三车间的奖金加上先分得的 200 元就行了。3+2+2=7 10000-200=9800（元）980073=4200（元）980072=2800（元）2800+

35、200=3000（元）答：第一车间分得 4200 元，第二车间分得 2800 元，第三车间分得 3000 元。随堂练习三：甲、乙、丙三堆煤共 450 吨，甲堆煤与乙堆煤的重量比为 54，丙堆煤的重量是乙堆煤的 1.5 倍。三堆煤各重多少吨?例 4：A、B 两桶油共重 90 千克，若把 A 桶中油的41倒入 B 桶，则两桶油的重量比是 12.A、B 两桶油原来各多少千克？分析与解 把 A 桶油的41倒入 B 桶，两桶油的总重量没有变，还是 90 千克。因此可以按比例分配求出现在 A 桶油的重量：90211=30（千克）。A 桶倒出41后是 30千克，即 30 千克占 A 桶油原有油的43，这样可

36、以倒推 A 桶原有油的重量。则就可求出 B桶油的重量。90211=30（千克）3043=40（千克）9040=50（千克）答：A 桶原有油 40 千克，B 桶原有油 50 千克。方法点评 解决这道题的关键是抓住两桶油的总重量不变，先求出 A 桶油现在的重量，再倒推出原有油的重量。随堂练习四：大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中

37、谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成两个书架一共放书 360 本，如果从第一个书架取出41放入第二个书架，则第一个书架上的书与第二个书架上的书的本数比是 911.两个书架上原来各有多少本书？例 5：水果批发部运来苹果、橘子、和香蕉三种水果。出售时，苹果、橘子、和香蕉每千克的价格比为 456.已知上周这三种水果售出数量比是 324，又知苹

38、果共卖得 2160 元，这个批发部上周出售水果的收入是多少元？分析与解 根据这三种水果的单价比为 456.，以及数量比为 324，可以先计算出这三种水果的总价比（43）（52）（64）=121024=6512 由此可知，苹果的总价占售出水果总价的23612566。因此售出水果的总价很容易求出。（43）（52）（64）=6512 2160236=8280（元）答：这个批发部上周售出水果的总价为 8280 元。方法点评 解答这个题的关键是根据三种水果的单价比和数量比，先求出总价比，进而求出总价。随堂练习五：甲乙两个三角形，他们的底边之比为 23，高之比为 35.已知甲三角形的面积比乙三角形的面积小

39、 30 平方厘米，求这两个三角形的面积。拓展训练 1、一个长方体，长、宽、高的比是 437.已知这个长方体的底面周长为 56 厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？2、甲数和乙数的比是 23，乙数和丙数的比是 45，甲数和丙数的比是多少？3、大、小两筐苹果共 60 千克，把大筐苹果重量的73放入小筐后，大、小两筐苹果的重量比为 23。大、小两筐原来各装多少千克苹果？4、商店现有梨、苹果、橘子若干千克，重量比为 495.两天后，三种水果工卖出780 千克，这时苹果还余 50 千克，梨还余 20 千克，橘子余下的是卖出的41。原来三种水果各有多少千克？5、学校田径队和游泳队共有 32 个男生、18

40、 个女生。已知田径队中男生人数与女生人数的比为 53，游泳队中男生人数与女生人数的比是 21，那么，田径队中女生有多少人？6、商店购进奶糖和酥糖这两种糖果所用钱数之比是 21，已知奶糖每千克 6 元，酥糖每千克 2 元。如果把这两中堂混在一起成为什锦糖，那么，什锦糖的成本为每千克多少元？大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最

41、大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成第五讲 分数第应用题（一）例 1：一池水，第一天放出 60 吨，第二天放出 65 吨，剩下的水比原来这池水的41少 5 吨。原来水池有多少吨？分析与解 这道题把原来这池水的吨数看作单位“1”，但具体数量与分率之间的关系却不容易看出，关键是剩下的水不是正好占单位“1”的41。我们可以假设第二天少放出 5 吨

42、水，那么剩下的水 就正好占单位“1”的41，两天共用去（60+65-5）吨的水，的对应分率就是（141）。（60+65-5）（141）=12043=160（吨）答：原来水池有水 160 吨。随堂练习一：一批稻谷放在两个粮库中，甲库所存稻谷的数量是乙库的83，后来向甲库运进 45 吨，向乙库运进 36 吨，这时两库稻谷重量相等。甲库原有稻谷多少吨？例 2：五年级的图书窗内有文艺书、科技书、故事书共 96 本。已知科技书是故事书的31，是文艺术的41，三种图书各有多少本？分析与解 这道题出现了两个不同的单位“1”，因而，我们需要将他转化成同一个单位“1”。把故事书看作单位“1”，科技书的对应分率就

43、是31，文艺书的对应分率是3141=34 故事书的本数：96（1+31+3141）=96322=36（本）科技书的本数：3631=12（本）文艺书的本数：1241=48（本）答：故事书有 36 本，科技书有 12 本，文艺书有 48 本 方法二：这道题也可以把科技书的本数看作单位“1”，故事书的对应分率就是 1大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以

44、如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成31=3 文艺书的对应分率就是 141=4 96（1+131+141）=968=12（本）科技书的本数 1231=36（本）故事书的本数 1241=48（本）文艺书的本数 答：(略)方法点评：在分数应用题中，如果遇到单位“1”不同时，就要注意将各分率进行转化，将这些分率转化成同一个

45、单位“1”的几分之几或几倍，然后再去寻找分率与具体数量之间的对应关系。随堂练习二：某校四、五、六年级共有学生 580 人，四年级的学生人数是五年级的98，五年级的人数是六年级的43。三个年级各有多少人？拓展训练 1、小明和小虎都是小集邮迷，他们两人共有邮票 285 张，现在小明拿出自已邮票的51，现在小虎拿出 15 张，送到少年宫参加邮票展，两人剩下的邮票张数正好相等。两人原来有多少张邮票？2、某厂男职工比全厂职工总数的53还多 60 人，女职工的人数是男职工的31。这个厂公有制共多少人？3、东方小学六年级有 23 人、五年级有 18 人参加数学竞赛，结果五、六年级的获奖人数相等，五年级未获奖

46、人数比六年级少31。两个年级共有多少人获奖？4、甲乙丙三人合作一批机器零件，甲做零件的歌数是乙丙的21，乙做零件的个数是甲丙的31，丙做了 450 个，这批零件有多少个？5、国庆节前，两位工人给某个城市装彩灯，他们工作了 5 天后，还剩下需装彩灯数量的91，这时若再增加 200 只彩灯的装饰任务，才正好够两人一天的工作量。原来准备装彩灯多少只?大如果我们不去研究其中的规律相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这

47、五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成第 6 讲 分数应用题（二）例一：人民商场运来空调和冰箱共240 台，其中空调占52。后来有几台空调因质量问题要退回厂家，这时空调台数占总数的135。退回空调多少台？分析与解 根据题意题目中空调的数量在变化，而并向的数量是不变量。我们可以先求出冰箱

48、的台数;240(1-52)=24053=144(台)根据“这时空调台数占总数的135”，我们把现在空调与冰箱的总数看作单位“1”，冰箱占总数的（1-135），这样我们可以求出现在空调与冰箱的总数：144（1-135）=234（台）最后用原来空调与冰箱的总数减去现在空调与冰箱的总数，就是退回的空调台数；240-234=6（台）答：退回空调 6 台。随堂练习一：幼儿班图书角共有连环画与漫画书 216 本，其中连环画占31。后来又卖来一些连环画，这时连环画占图书总数的5923。后来又买来多少本连环画？例 2：由甲乙两个车间，驾车简单公认的人数是乙车间的75。如果从乙车间调 12人到甲车间，甲车间的人

49、数是乙车间的54。原来甲乙两个车间各有人多少人？分析与解 根据题意，原来甲车间公认的人数是乙车间的75，从乙车间调 12 人到甲车间，甲车间的人数是乙车间的54，说明甲乙两个车间的人数都发生了变化，甲乙两个车间的总人数是不变的。因此可以把甲乙两个车间的总人数看作单位“1”，则原来甲车间人数占两个车间总数的755，同时把甲车间的人数是乙车间的54转化成现在甲车间的人数占两个车间总数的544。根据题目中所说“从乙车间调 12 人到甲车间”，可知甲车间现在的人数比原来的人数多 12 人，它的对应分率应是（544-755）就可以求出辆车间的总人数，再求两车间的人数就简单了。大如果我们不去研究其中的规律

50、相信大家一定会很难解决这样的题目本讲我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法例已知将按从大倒小的顺序排叠起来分析与解为了方便比较我们首先将这五个算式统一写成乘法形式这样原于那么就是的倒数即同是是是这样我们很容易就能比较出这五个数的理应是大小为随堂练习一所以如果均不等于四个数中谁最大谁最小例将下列分数从小到大排列起来分析与解比较几个分数的大小课本上介绍的主要方法是先通分再分数先化成同分子的分数在进行比较就比较容易了为的最小公倍数是根据分数的基本性质可以把它们分别化为由可以得到即方法点评如果几个分数的公分母比较大时采用先通分再比较的方法比较复杂我们可以考虑将这些分数先化成12（544-755）