数学分析教案(华东师大版)第九章定积分_中学教育-试题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第九章 定积分 教学要求：1 知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；4.理解并熟练地应用定积分的性质；5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；2.掌握可积的充要条件及可积函

2、数类，能独立地证明可积性的问题；3.理解并熟练地应用定积分的性质；4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学时数：14 学时 1 定积分概念（2 学时）教学要求：知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；学习必备 欢迎下载 教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景：1.曲边梯形的面积:2.变力所作的功:二、不积分的定义:三、举例:例 1 已知函数在区间上可积.用定义求积分.解 取 等分区间 作为分法,.取.=.由函数在区间 上可积,每个特殊积分和

3、之极限均为该积分值.例 2 已知函数在区间上可积,用定义求积分.解 分法与介点集选法如例 1,有 实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用

4、定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 .上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分.例 3 讨论Dirichlet函数 在区间 上的可积性.四、小结：指出本讲要点 2 Newton Leibniz 公式（2 学时）教学要求：深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.Th9.1 （N L公式）(证)例 1 求 ;例 2 求.3 可积条件（4 学时）教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积

5、函数类，能独立地证明可积性的问题.教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件:实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求

6、和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 Th 9.2 ，在区间 上有界.二、充要条件:1.思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法 及介点 无关的条件.方案:定义上和 和下和.研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件.2.Darboux和:以下总设函数 在区间 上有界.并设,其中 和 分别是函数 在区间 上的下确界和上确界.定义Darboux和,指出Darbo

7、ux和未必是积分和.但Darboux和由分法 唯一确定.分别用、和 记相应于分法 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和 是数集(多值).但总有 ,因此有.和 的几何意义.3.Darboux和的性质:本段研究Darboux和的性质,目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法:表示 是 的加细.性质1 若,则,.即:分法加细,大和不增,小和不减.(证)实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重

8、点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 性质 2 对任何,有,.即:大和有下界,小和有上界.(证)性质 3 对任何 和 ,总有.即:小和不会超过大和.证 .性质 4 设 是 添加 个新分点的加细.则有 +,.证 设 是只在 中第 个区间 内加上

9、一个新分点 所成的分法,分别设 ,.显然有 和 .于是 .添加 个新分点可视为依次添加一个分点进行 次.即证得第二式.可类证第一式.系 设分法 有 个分点，则对任何分法，有 实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些

10、实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载，.证 .4.上积分和下积分:设函数 在区间 上有界.由以上性质2，有上界，有下界.因此它们分别有上确界和下确界.定义 记,.分别称 和 为函数 在区间 上的上积分和下积分.对区间 上的有界函数,和 存在且有限,.并且对任何分法,有 .上、下积分的几何意义.例 1 求 和.其中 是 Dirichlet函数.5.Darboux定理:Th 1 设函数 在区间 上有界,是区间 的分法.则有 =,=.证 (

11、只证第一式.要证:对 使当 时有.是显然的.因此只证 .),对,使 实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教

12、学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 设 有 个分点,对任何分法,由性质4的系,有,由*式,得 即 亦即 .于是取,(可设,否则 为常值函数,=对任何分法 成立.)对任何分法,只要,就有 .此即=.6.可积的充要条件:Th 2 （充要条件 1）设函数 在区间 上有界.=.证 设=,则有=.即对 使当 时有|对 成立.在每个 上取,使,于是,|=.实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握

13、可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 因此,时有|+|+=.此即=.由Darboux定理,=.同理可证=.=.对任何分法,有,而 =.令 和 的共值为,由双逼原理 =.Th 9.3 有界.对.证 ()=0.即

14、对 时,.,由,=.定义 称 为函数 在区间 上的振幅或幅度.易见有 0.可证=Th 9.3 (充要条件 2)有界.对 .实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割

15、近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 Th 3 的几何意义及应用 Th 3 的一般方法:为应用 Th 3,通常用下法构造分法:当函数 在区间 上含某些点的小区间上 作不到任意小时,可试用 在区间 上的振幅 作 的估计,有.此时,倘能用总长小于,否则 为常值函数)的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法 的一部分分点，在区间 的其余部分作分割，使在每个小区间上有 ,对如此构造的分法,有 0.例4 证明不等式.证明分析 所证不等式为 只要证明在 上成立不等式,且等号不恒成立

16、,则由性质4和上例得所证不等式.例 5 证明 .5 微积分基本定理.定积分计算（续）（2 学时）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质

17、熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 一.变限积分与原函数的存在性 引入：由定积分计算引出.1.变限积分:定义上限函数，（以及函数）其中函数.指出这是一种新的函数,也叫做面积函数.Th 9 (面积函数的连续性)思路：表达面积函数.2.微积分学基本定理：Th 10 微积分学基本定理（原函数存在定理）若函数 则面积函数 在 上可导，且=.即当 时,面积函数 可导且在点 的导数恰为被积函数在上限

18、的值.亦即 是 的一个原函数.证 系 连续函数必有原函数.3.积分第二中值定理 Th11 （积分第二中值定理）设函数 在 上可积，（i）若函数 在 上减，且，则存在，使得 实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实

19、际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载（ii）若函数在 上增，且，则存在，使得 推论 函数 在上可积，若 为单调函数，则存在，使得 二换元积分法与分部积分法：1.换元积分法 Th 12 设 函数 满足条件：,且;在 上有连续的导函数.则 .（证）例 1.(P225 )例 2 .(P225)例 3 计算.(P225226)该例为技巧积分.实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基

20、本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 例 4 .该例亦为技巧积分.例 5 已知 ,求 例 6 设函数 连续且有 求积

21、分 例 7 设 是区间 上连续的奇（或偶函数）函数，则 ，（.）例 8 .2.分部积分法 Th13 (分部积分公式)例 9 例 10 计算 .解 =；实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深

22、刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 解得 直接求得，.于是,当 为偶数时,有 ;当 为奇数时,有 .三.Taylor公式的积分型余项:P227229.习 题 课（2 学时）一 积分不等式：1 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：例 1 证明不等式.证 注意在区间 0,1 上有 ,例 2 证明不等式.证 考虑函数,.易见对任何,在区间 上 和 均单调,因此可积,且有 ,注意到 ,就有 .而 实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和

23、取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 ,.因此有.取,.在区间 仿以上讨

24、论,有.而 ，.综上,有不等式.2.某些不等式的积分推广:原理:设函数 和 在区间 上可积.为区间 的 等分分法,.若对任何 和,均有 ,即得.令,注意到函数 和 在区间 上可积,即得积分不等式 实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分

25、所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 .倘若函数 和 连续,还可由 .例 3 证明 Schwarz 不等式(亦称为 Cauchy不等式):设函数和 在区间 上连续(其实只要可积就可).则有不等式 .证法一 (由Cauchy 不等式 Schwarz 不等式.Cauchy 不等式参阅上册:设 和 为两组实数,则有 .)设 为区间 的 等分分法.由Cauchy 不等式,有 ,两端同乘以,有 ,实际问题的数学思想方法深刻

26、理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载

27、令,注意到函数、和 在区间 上的可积性以及函数 的连续性，就有积分不等式 .证法二 （用判别式法）对任何实数，有，,即 对任何实数 成立.即上述关于 的二次不等式的解集为全体实数,于是就有 ,即 .例 4 且.证明不等式 .证 取.对函数 和 应用Schwarz 不等式,即得所证.例 5 设函数 在区间 0,1 上可积.试证明有不等式 实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够

28、熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 .证 先用Jensen不等式法证明不等式:对,有不等式 .设 为区间 的 等分分法.由上述不等式,有 .令,注意到函数 和 在区间 0,1 上的可积性以及函数 和 的连续性，就有积分不等式.仿该例,可得到均值不等式、用Jensen不等式

29、法证明的某些不等式的积分形式.二.面积函数的导数:例 6 求 和 例 7 求 和 例 8 求 .例 9 设时函数连续且.求.(=)实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的

30、思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 例 10 设函数 连续且.求 和.解 令.两端求导,=.例 11 设.=.试证明:=.证 =,=.例 12 设函数在区间上连续且0.试证明:函数 在区间 内严格递增.证 =,而.0,在 内，又 连续，在区间 内 0.因此 在区间 内严格递增.三.含有变限积分的未定型极限:实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条

31、件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 例 13 求极限.(2 )四.定积分的计算:例 14 计算积分.例 15 计算积分=.解 时,=;时,=;时,=.因此,例 16 利用积分 的值,

32、计算积分.解 .实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的

33、面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 ,而 ,.因此，例 17 ,求 (2)例 18 设 是区间 上连续的偶函数.试证明:是 上的奇函数.证法 一 .证法 二 注意到,有 =.五.利用定积分求和式极限:原理:用定积分定义，在函数可积时，能用特殊的分割及介点取法，计算定积分.实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积

34、函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 例 19 求极限.3 P163 E13.与1 例 2 连系.例 20 求极限.解 =.由函数 在区间 0,1 上可积,有=.例 21 求极限.解 =.,.因此,.实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿

35、莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积学习必备 欢迎下载 例 22 试证明:对任何,有不等式 .证 =是函数=在区间 0,1 上相应于 等分分法 的小和.由函数=在区

36、间 0,1 上可积,有时,.又易见.对任何,有 ,即 .实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题深刻理解微积分基本定理的意义能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分理解可积的必要条件以及上和下和的性质掌握可积的积分法并能解决计算问题教学重点深刻理解并掌握定积分的思想能够熟练地应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分掌握可积的充要条件及可积函数类能独立地证明可积性的问题理解并熟练地应用定积分的性质熟练地掌握换元积分法和分所作的功等以及解决这些实际问题的数学思想方法深刻理解并掌握定积分的思想分割近似求和取极限进而会利用定义解决问题学习必备欢迎下载教学重点深刻理解并掌握定积分的思想一问题背景曲边梯形的面积变力所作的功二不积