三角形“四心”向量形式的充要条件应用教师版_中学教育-中考.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 三角形“四心”向量形式的充要条件应用 例题讲解 (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例 1O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足)(ACACABABOAOP，,0则 P 点的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 解析：因为ABAB是 向量AB的 单 位向 量设AB与AC方向上的单位向 量分别为21ee 和，又APOAOP，则原式可化为)(21eeAP，由菱形的基本性质知 AP 平分BAC，那么在ABC中，AP 平分BAC，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2 H 是ABC 所在平

2、面内任一点，HAHCHCHBHBHA点 H 是ABC 的垂心.由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(,同理ABHC，BCHA.故 H 是ABC 的垂心.（反之亦然（证略）例 3.(湖南)P 是ABC 所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则 P 是ABC 的（D）A外心 B内心 C重心 D垂心 解析:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得.即0,0)(CAPBPCPAPB即 则ABPCBCPACAPB,同理 所以 P 为ABC的垂心.故选 D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4 G 是ABC 所在平面内一点，GCGBGA=0点 G 是ABC 的重心.证

3、明 作图如右，图中GEGCGB 连结 BE 和 CE，则 CE=GB，BE=GCBGCE 为平行四边形D 是BC 的中点，AD 为 BC 边上的中线.将GEGCGB代入GCGBGA=0，得EGGA=0GDGEGA2，故 G 是ABC 的重心.（反之亦然（证略）例 5 P 是ABC 所在平面内任一点.G 是ABC 的重心)(31PCPBPAPG.优秀学习资料 欢迎下载 证明 CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG G 是ABC 的重心 GCGBGA=0CGBGAG=0，即PCPBPAPG3 由此可得)(31PCPBPAPG.（反之亦然（证略）例 6 若O 为ABC内一

4、点，0OAOBOC，则O 是ABC 的（）A内心 B外心 C垂心 D重心 解析：由0O AO BO C得OBOCOA，如图 以 OB、OC 为 相 邻两 边 构 作 平行 四 边 形，则O BO CO D，由平行四边形性质知12OEOD，2OAOE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D。(四)将平面向量与三角形外心结合考查 例 7 若O 为ABC内一点，OAOBOC，则O 是ABC 的（）A内心 B外心 C垂心 D重心 解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O 是ABC 的外心，选 B。(五)将平面向量与三角形四心结合考查 例 8已知向量1OP，2OP，3OP满足条件

5、1OP+2OP+3OP=0，|1OP|=|2OP|=|3OP|=1，求证 P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五 B 组第 6 题）证明 由已知1OP+2OP=-3OP，两边平方得1OP2OP=21，同理 2OP3OP=3OP1OP=21，|21PP|=|32PP|=|13PP|=3，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点 O 是正三角形P1P2P3的中心，则显然有1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|.即 O 是ABC 所在平面内一点，1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|点 O 是正P1P2P3的中心.例 9 若 O、H

6、 分别是ABC 的外心和垂心.求证 OCOBOAOH.证明 若ABC 的垂心为 H，外心为 O，如图.连 BO 并延长交外接圆于 D，连结 AD，CD.ABAD，BCCD.又垂心为 H，BCAH，ABCH，AHCD，CHAD，四边形 AHCD 为平行四边形，面上的一定点是平面上不共线的三个点动点满足则点的轨迹一定通过的外心内心重心垂心解析因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为和又则原式可化为平分则知选由菱形的基本性质知平分那么在中二将平面向量与三角一点若则是的外心内心重心垂心解析由得即即则同理所以为的垂心故选三将平面向量与三角形重心结合考查重心定理例是所在平面内一点点是的重心证明作图如

7、图中连结和则为平行四边形是的中点为边上的中线将代入得故是的重心为内一点则是的内心外心垂心重心解析由得如图以为相邻两边构作平行四边形则由平行四边形性质知同理可证其它两边上的这个性质所以是重心选四将平面向量与三角形外心结合考查例若为内一点则是的内心外心垂心重心解析由向优秀学习资料 欢迎下载 OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH.课后巩固练习 1已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足 OP=31(21OA+OB21+2OC),则点 P 一定为三角形 ABC 的 （B ）A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB

8、 边的中点 解析：取 AB 边的中点 M，则OMOBOA2，由OP=31(21OA+OB21+2OC)可得3MCOMOP23，MCMP32，即点P 为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点 P 不过重心，故选 B.2在同一个平面上有ABC及一点满足关系式：2OA2BC2OB2CA2OC2AB，则为ABC的 （D ）外心 内心 C 重心 D 垂心 3已知 O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：)(ACABOAOP，则 P 的轨迹一定通过ABC的 （C ）外心 内心 C 重心 D 垂心 4已知ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足：0PA PCP

9、A PBPBPC，则 P 点为三角形的 （D ）外心 内心 C 重心 D 垂心 5 在 三角 形 ABC中，动点 P 满 足：CPABCBCA222，则 P 点 轨迹 一 定通 过 ABC 的：（B ）外心 内心 C 重心 D 垂心 6.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)BC=0 且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC 为()A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解析：非零向量与满足(|ABACABAC)=0，即角 A 的平分线垂直于 BC，AB=AC，又c os A|A BA CA BA C=12，A=3，所以ABC 为等边

10、三角形，选 D 7.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为 H，)(OCOBOAmOH，则实数 m=1 8.点 O是三角形 ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点 O是ABC的（D）面上的一定点是平面上不共线的三个点动点满足则点的轨迹一定通过的外心内心重心垂心解析因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为和又则原式可化为平分则知选由菱形的基本性质知平分那么在中二将平面向量与三角一点若则是的外心内心重心垂心解析由得即即则同理所以为的垂心故选三将平面向量与三角形重心结合考查重心定理例是所在平面内一点点是的重心证明作图如图中连结和则为平行四边形是的中点为边上的中线将代

11、入得故是的重心为内一点则是的内心外心垂心重心解析由得如图以为相邻两边构作平行四边形则由平行四边形性质知同理可证其它两边上的这个性质所以是重心选四将平面向量与三角形外心结合考查例若为内一点则是的内心外心垂心重心解析由向优秀学习资料 欢迎下载（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高的交点 9.已知 O是ABC所在平面内的一点，动点 P 满足,0,coscos2CACACBABABOCOBOP，则动点 P 一定过ABC的 C A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 10、已知 O是ABC所在平面内的一点，动点 P 满足,0,coscosCAC

12、ACBABABOAOP，则动点 P 一定过ABC的 B A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 面上的一定点是平面上不共线的三个点动点满足则点的轨迹一定通过的外心内心重心垂心解析因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为和又则原式可化为平分则知选由菱形的基本性质知平分那么在中二将平面向量与三角一点若则是的外心内心重心垂心解析由得即即则同理所以为的垂心故选三将平面向量与三角形重心结合考查重心定理例是所在平面内一点点是的重心证明作图如图中连结和则为平行四边形是的中点为边上的中线将代入得故是的重心为内一点则是的内心外心垂心重心解析由得如图以为相邻两边构作平行四边形则由平行四边形性质知同理可证其它两边上的这个性质所以是重心选四将平面向量与三角形外心结合考查例若为内一点则是的内心外心垂心重心解析由向