三角函数常见习题类型及解法_高等教育-微积分.pdf

《三角函数常见习题类型及解法_高等教育-微积分.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数常见习题类型及解法_高等教育-微积分.pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 1.高考考点分析 各地高考中本部分所占分值在 1722 分，主要以选择题和解答题的形式出现。第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。2.方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin2=tanx cotx=ta

2、n45 等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=22等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin+bcos=22ba sin(+)，这里辅助角所在象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan=ab确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有

3、界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。学习必备 欢迎下载 1.（上海，15）把曲线 ycosx+2y1=0 先沿 x 轴向右平移2个单位，再沿 y 轴向下平移 1 个单位，得到的曲线方程是（）A.（1y）sinx+2y3=0 B.（y1）sinx+2y3=0 C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.(y+1)sinx+2y+1=0 2.（北京，3）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间（2，）上为

4、减函数的是（）A.y=cos2x B.y2|sin x|C.y(31)cosx D.y=cotx 3.（全国，5）若 f（x）sinx 是周期为的奇函数，则 f（x）可以是（）A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 4.（全国，6）已知点 P（sincos，tan）在第一象限，则在0，2内的取值范围是（）A.（2，43）（，45）B.（4，2）（，45）C.（2，43）（45，23）D.（4，2）（43，）5.（全国）若 sin2xcos2x，则 x 的取值范围是（）A.x|2 k43x2k+4，kZ B.x|2 k+4x2k+45，kZ C.x|k4xk+4，kZ 诱导公

5、式和倍角公式的简单运用解决有关三角函数基本性质的问题如判断符号求值求周期判断奇偶性等第二层次三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用如辅助角公式平方公式逆用切弦互化等第三层次充分利用三角函数作为一种方法技巧三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换如等项的分与角的配凑如分项配凑角等降次与升次化弦切法这里辅助角所在象限由的引入辅助角符号确定角的值由确定证明三角等式的思路和方法思路利用三角公式进角不等式的方法比较法配方法反证法分析法利用函数的单调性利用正余弦函数的有界性利用单位圆三角函数线及判别法等解答三角高考题的策略发现差异观察角函数运算间的差异即进行所谓的差异分析寻找联系运用相关公式找出差

6、学习必备 欢迎下载 D.x|k+4xcot2 B.tan2cos2 D.sin2cos2 10.（上海，9）若 f（x）=2sinx（01)在区间 0，3 上的最大值是2，则 .11.（北京，13）sin52，cos56，tan57从小到大的顺序是 .12.（全国，18）8sin15sin7cos8sin15cos7sin的值为_.13.（全国，18）tan20+tan40+3tan20tan40的值是_.诱导公式和倍角公式的简单运用解决有关三角函数基本性质的问题如判断符号求值求周期判断奇偶性等第二层次三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用如辅助角公式平方公式逆用切弦互化等第三层次充分利用三角

7、函数作为一种方法技巧三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换如等项的分与角的配凑如分项配凑角等降次与升次化弦切法这里辅助角所在象限由的引入辅助角符号确定角的值由确定证明三角等式的思路和方法思路利用三角公式进角不等式的方法比较法配方法反证法分析法利用函数的单调性利用正余弦函数的有界性利用单位圆三角函数线及判别法等解答三角高考题的策略发现差异观察角函数运算间的差异即进行所谓的差异分析寻找联系运用相关公式找出差学习必备 欢迎下载 14.（全国，18）函数 ysin（x6）cosx 的最小值是 .15.（上海，17）函数 ysin2xcos2x在（2，2）内的递增区间是 .16.（全国，18）

8、已知 sincos51，（0，），则 cot的值是 .17.（全国，17）已知函数 y3sinxcosx，xR.（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数的图象可由 ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?18.（全国，22）求 sin220cos250sin20cos50的值.19.（上海，21）已知 sin53，（2，），tan（）21，求 tan（2）的值.20.（全国，22）已知函数 f（x）=tanx，x（0，2），若 x1、x2（0，2），且 x1x2，证明21f（x1）f（x2）f（221xx）.21.已知函数12()log(sincos)f

9、 xxx 求它的定义域和值域；求它的单调区间；判断它的奇偶性；判断它的周期性.22.求函数 f(x)=121log cos()34x的单调递增区间 23.已知 f(x)=5sinxcosx-35cos2x+325（xR）求 f(x)的最小正周期；求 f(x)单调区间；求 f(x)图象的对称轴，对称中心。24 若关于 x 的方程 2cos2(+x)sinx+a=0 有实根，求实数 a 的取值范围。1已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf 诱导公式和倍角公式的简单运用解决有关三角函数基本性质的问题如判断符号求值求周期判断奇偶性等第二层次三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用如辅助角公

10、式平方公式逆用切弦互化等第三层次充分利用三角函数作为一种方法技巧三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换如等项的分与角的配凑如分项配凑角等降次与升次化弦切法这里辅助角所在象限由的引入辅助角符号确定角的值由确定证明三角等式的思路和方法思路利用三角公式进角不等式的方法比较法配方法反证法分析法利用函数的单调性利用正余弦函数的有界性利用单位圆三角函数线及判别法等解答三角高考题的策略发现差异观察角函数运算间的差异即进行所谓的差异分析寻找联系运用相关公式找出差学习必备 欢迎下载 （）将f(x)写成)sin(xA的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（）如果ABC的三边 a、b、c 满足 b2=ac，

11、且边 b 所对的角为 x，试求 x 的范围及此时函数f(x)的值域.解：23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin21)(xxxxxxf （）由)332sin(x=0 即zkkxzkkx213)(332得 即对称中心的横坐标为zkk，213（）由已知 b2=ac，231)332sin(31)332sin(3sin|295|23|953323301cos21212222cos22222xxxxxacacacacaccaacbcax 即)(xf的值域为231,3(.综上所述，3,0(x ，)(xf值域为231,3(.说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基

12、本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。2在ABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且cos3cosCacBb，(1)求sin B的值；(2)若4 2b，且 a=c，求ABC的面积。解：(1)由正弦定理及cos3cosCacBb，有cos3sinsincossinCACBB，即sincos3sincossincosBCABCB，所以sin()3sincosBCAB，又因为ABC ，sin()sinBCA，所以sin3sincosAAB，因为sin0A，所以1cos3B，又0B，所以22 2sin1cos3BB。诱

13、导公式和倍角公式的简单运用解决有关三角函数基本性质的问题如判断符号求值求周期判断奇偶性等第二层次三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用如辅助角公式平方公式逆用切弦互化等第三层次充分利用三角函数作为一种方法技巧三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换如等项的分与角的配凑如分项配凑角等降次与升次化弦切法这里辅助角所在象限由的引入辅助角符号确定角的值由确定证明三角等式的思路和方法思路利用三角公式进角不等式的方法比较法配方法反证法分析法利用函数的单调性利用正余弦函数的有界性利用单位圆三角函数线及判别法等解答三角高考题的策略发现差异观察角函数运算间的差异即进行所谓的差异分析寻找联系运用相关公式找

14、出差学习必备 欢迎下载(2)在ABC中，由余弦定理可得222323acac，又ac，所以有22432243aa，即，所以ABC的面积为 211sinsin8 222SacBaB。3已知向量2(2cossin)(sincos)(3)abxatb，2，=，ykab，且0 x y，(1)求函数()kf t的表达式；(2)若 13t，求()f t的最大值与最小值。解：(1)24a，21b，0a b，又0 x y，所以22222(3)()(3)(3)0 x yatbkabkatbtk ta b ，所以31344ktt，即313()44kf ttt；(2)由(1)可得，令()f t导数233044t ，解

15、得1t ，列表如下：t 1(1，1)1(1，3)()f t导数 0 0+()f t 极大值 递减 极小值 递增 而119(1)(1)(3)222fff ，所以maxmin91()()22f tf t，。4已知向量2 5(cossin)(cossin)|5a b ab，=，(1)求cos()的值；(2)若500sinsin2213 ，且，求的值。解：(1)因为(cossin)(cossin)ab，=，所以(coscossinsin)ab，诱导公式和倍角公式的简单运用解决有关三角函数基本性质的问题如判断符号求值求周期判断奇偶性等第二层次三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用如辅助角公式平方公式逆用

16、切弦互化等第三层次充分利用三角函数作为一种方法技巧三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换如等项的分与角的配凑如分项配凑角等降次与升次化弦切法这里辅助角所在象限由的引入辅助角符号确定角的值由确定证明三角等式的思路和方法思路利用三角公式进角不等式的方法比较法配方法反证法分析法利用函数的单调性利用正余弦函数的有界性利用单位圆三角函数线及判别法等解答三角高考题的策略发现差异观察角函数运算间的差异即进行所谓的差异分析寻找联系运用相关公式找出差学习必备 欢迎下载 又因为2 5|5ab，所以222 5(coscos)(sinsin)5，即4322cos()cos()55 ，；(2)00 022 ，

17、又因为3cos()5，所以 4sin()5，5sin13 ，所以12cos13，所以63sinsin()65 5平面直角坐标系有点4,4),1,(cos),cos,1(xxQxP（1）求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数)(xf；（2）求的最值.解：（1）cosOQOPOQOP，xxxxx22cos1cos2coscos)cos1(coscos 即 xxxf2cos1cos2)()44(x（2）xxcos1cos2cos，又 223,2cos1cosxx，1,322cos，0min，322arccosmax.说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。诱导公式和倍角公式的简单运用解决有关三角函数基本性质的问题如判断符号求值求周期判断奇偶性等第二层次三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用如辅助角公式平方公式逆用切弦互化等第三层次充分利用三角函数作为一种方法技巧三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换如等项的分与角的配凑如分项配凑角等降次与升次化弦切法这里辅助角所在象限由的引入辅助角符号确定角的值由确定证明三角等式的思路和方法思路利用三角公式进角不等式的方法比较法配方法反证法分析法利用函数的单调性利用正余弦函数的有界性利用单位圆三角函数线及判别法等解答三角高考题的策略发现差异观察角函数运算间的差异即进行所谓的差异分析寻找联系运用相关公式找出差