八年级数学上册几何添辅助线专题_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 DCBA全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平

2、分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三

3、角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是

4、角平分线的性质定理或逆定理（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端

5、点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等 例 1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是_.解：延长 AD至 E使 AE 2AD，连 BE，由三角形性质知 AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是 1AD4 学习必备 欢迎下载 EDFCBAEDCBAPQCBA 例 2、如图，ABC中，E、F 分别在 AB、AC上，DE DF，D是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长 F

6、D至 G使 FG 2EF，连 BG，EG,显然 BG FC，在EFG中，注意到 DE DF，由等腰三角形的三线合一知 EG EF 在BEG中，由三角形性质知 EGBG+BE 故：EFBE+FC 例 3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分BAE.EDCBA 解：延长 AE至 G使 AG 2AE，连 BG，DG,显然 DG AC，GDC=ACD 由于 DC=AC，故 ADC=DAC 在ADB与ADG 中，BDAC=DG，AD AD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDC ADG 故ADB ADG，故有BAD=DAG，即 AD平分BAE 二、截长补短 1、如图，ABC

7、中，AB=2AC，AD平分BAC，且 AD=BD，求证：CD AC 解：（截长法）在 AB上取中点 F，连 FD ADB是等腰三角形，F是底 AB中点，由三线合一知 DF AB，故AFD 90 ADF ADC（SAS）ACD AFD 90即：CD AC 2、如图，AD BC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点 E，求证;ABAD+BC 解：（截长法）在 AB上取点 F，使 AF AD，连 FE ADE AFE（SAS）ADE AFE，ADE+BCE 180 AFE+BFE 180 故ECB EFB FBE CBE（AAS）故有 BFBC 从而;ABAD+BC 3、如图，已知在ABC内，

8、060BAC，040C，P，Q分别在 BC，CA上，并且 AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法,计算数值法）延长 AB至 D，使 BD BP，连 DP 在等腰BPD中，可得BDP 40 间的相等条件常见辅助线的作法有以下几种最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等二个角之间的相等总论全等三角形问题最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等构造二个角之遇到等腰三角形可作底边上的高利折看对称以后关系现角平分线平行线等腰三角形来添角平分线加垂线三线合一试试看线段垂直平分线常向两端把线连要证线段倍与半延长缩短可试验换中的对折法构造全等三角形遇到三角

9、形的中线倍长中线使延长线段与原中线长相以自角平分线上的某一点向角的两边作垂三角形中两中点连接则成中位线三角形中有中线延长中线等中线线利用的思维模式是三角形全等变换中的对折所考知识点常常是角平分线的性等腰三角形三线合一法遇到等腰三角形可作底边学习必备 欢迎下载 DCBAP21DCBA从而BDP 40ACP ADP ACP（ASA）故 AD AC 又QBC 40QCB 故 BQQC BD BP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形 ABCD 中，BC BA,AD CD，BD平分ABC，求证：0180CA 解：（补短法）延长 BA至 F，使 BFBC，连 FD BDF BDC（SAS）故

10、DFB DCB ，FD DC 又 AD CD 故在等腰BFD中 DFB DAF 故有BAD+BCD 180 5、如图在ABC中，AB AC，12，P为 AD上任意一点，求证;AB-AC PB-PC 解：（补短法）延长 AC至 F，使 AF AB，连 PD ABP AFP（SAS）故 BPPF 由三角形性质知 PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA 例 2 如图，在ABC的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN.BD=CE

11、,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证：OE=OD，DC+AE=AC 证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60 度,则BAC+BCA=120 度;AD,CE 均为角平分线,则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF.又

12、 AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;AOF=AOE=60 度.则COF=AOC-AOF=60 度=COD;又 CO=CO;OCD=OCF.故OCD OCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=OD DC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC中，AD平分BAC，DG BC且平分 BC，DE AB于 E，DF AC于 F.（1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接 BD，DC DG垂直平分 BC，故 BD DC 由于 AD平分BAC，DEAB于 E，DF AC于 F，故有

13、ED DF 故 RT DBE RT DFC（HL）故有 BE CF。AB+AC 2AE AE（a+b）/2 BE=(a-b)/2 应用：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：EDGFCBA间的相等条件常见辅助线的作法有以下几种最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等二个角之间的相等总论全等三角形问题最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等构造二个角之遇到等腰三角形可作底边上的高利折看对称以后关系现角平分线平行线等腰三角形来添角平分线加垂线三线合一试试看线段垂直平分线常向两端把线连要证

14、线段倍与半延长缩短可试验换中的对折法构造全等三角形遇到三角形的中线倍长中线使延长线段与原中线长相以自角平分线上的某一点向角的两边作垂三角形中两中点连接则成中位线三角形中有中线延长中线等中线线利用的思维模式是三角形全等变换中的对折所考知识点常常是角平分线的性等腰三角形三线合一法遇到等腰三角形可作底边学习必备 欢迎下载（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若

15、成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为FDFE （2）答：（1）中的结论FDFE 仍然成立。证法一：如图 1，在 AC 上截取AEAG，连结 FG 21，AF 为公共边，AGFAEF AFGAFE，FGFE 60B，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线 6032 60AFGCFDAFE 60CFG 43及 FC 为公共边 CFDCFG FDFG FDFE 证法二：如图 2，过点 F 分别作ABFG 于点 G，BCFH 于点 H 60B，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线 可得6032，F 是ABC的内心 160 GEF，FGFH 又1BHDF

16、HDFGEF 可证DHFEGF FDFE 有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB=AC，BD AC于 D，求证：BAC=2DBC 证明：（方法一）作BAC的平分线 AE，交 BC于 E，则1=2=12BAC 又AB=AC AE BC 2ACB=90o BD AC DBC ACB=90o 2=DBC BAC=2DBC（方法二）过 A作 AE BC于 E（过程略）（方法三）取 BC中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，ABC中，AB=AC，D 为 BC中点，DEAB于 E，DF AC于 F，求证：DE=DF 证明：连

17、结AD.D为 BC中点，BD=CD 又AB=AC AD平分BAC DE AB，DF AC DE=DF 将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，ABC中，AB=AC，在 BA延长线和AC上各取一点 E、F，使 AE=AF，求证：EFBC 证明：延长 BE到 N，使 AN=AB,连结 CN,则 AB=AN=AC B=ACB,ACN=ANC BACB ACN ANC=180o 2BCA 2ACN=180o 21EDCBAFEDCBANFECBA(第 23 题图)O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图 F B E A C D 图 1 2 1 4 3 G F

18、 B E A C D 图 2 2 1 4 3 H G 间的相等条件常见辅助线的作法有以下几种最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等二个角之间的相等总论全等三角形问题最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等构造二个角之遇到等腰三角形可作底边上的高利折看对称以后关系现角平分线平行线等腰三角形来添角平分线加垂线三线合一试试看线段垂直平分线常向两端把线连要证线段倍与半延长缩短可试验换中的对折法构造全等三角形遇到三角形的中线倍长中线使延长线段与原中线长相以自角平分线上的某一点向角的两边作垂三角形中两中点连接则成中位线三角形中有中线延长中线等中线线利用的思维模式是三角形全等变换中的对折所考知识点

19、常常是角平分线的性等腰三角形三线合一法遇到等腰三角形可作底边学习必备 欢迎下载 BCA ACN=90o 即BCN=90o NC BC AE=AF AEF=AFE 又BAC=AEF AFE BAC=ACN ANC BAC=2AEF=2ANC AEF=ANC EFNC EFBC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在ABC中，AB=AC，D在 AB上，E在 AC延长线上，且 BD=CE，连结 DE交 BC于 F 求证：DF=EF 证明：（证法一）过 D作 DN AE，交 BC于 N，则DNB=ACB，NDE=E，AB=AC，B=ACB B=DNB BD=DN 又BD=CE DN

20、=EC 在DNF和ECF中 1=2 NDF=E DN=EC DNF ECF DF=EF（证法二）过 E作 EM AB交 BC延长线于 M,则EMB=B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，ABC中，AB=AC，E在 AC上，D在 BA延长线上，且 AD=AE，连结 DE 求证：DE BC 证明：（证法一）过点 E作 EFBC交 AB于 F，则 AFE=B AEF=C AB=AC B=C AFE=AEF AD=AE AED=ADE 又AFE AEF AED ADE =180o 2AEF 2AED=90o 即FED=90o DE FE 又EFBC DE BC（证法二）过点

21、D作 DN BC交 CA的延长线于 N，（过程略）（证法三）过点 A作 AM BC交 DE于 M，（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形 例：已知，如图，ABC中，AB=AC，BAC =80o ,P为形内一点，若PBC=10o PCB=30o 求PAB的度数.解法一：以 AB为一边作等边三角形，连结 CE 则BAE=ABE=60o AE=AB=BE AB=AC AE=AC ABC=ACB AEC=ACE EAC=BAC BAE =80o 60o=20o ACE=12(180oEAC)=80ACB=12(180oBAC)=50o BCE=ACE ACB =80o50o=30o

22、 PCB=30o PCB=BCE 21NFEDCBA21MFEDCBANMFEDCBAPECBA间的相等条件常见辅助线的作法有以下几种最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等二个角之间的相等总论全等三角形问题最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等构造二个角之遇到等腰三角形可作底边上的高利折看对称以后关系现角平分线平行线等腰三角形来添角平分线加垂线三线合一试试看线段垂直平分线常向两端把线连要证线段倍与半延长缩短可试验换中的对折法构造全等三角形遇到三角形的中线倍长中线使延长线段与原中线长相以自角平分线上的某一点向角的两边作垂三角形中两中点连接则成中位线三角形中有中线延长中线等中线线利用的

23、思维模式是三角形全等变换中的对折所考知识点常常是角平分线的性等腰三角形三线合一法遇到等腰三角形可作底边学习必备 欢迎下载 ABC=ACB=50o,ABE=60o EBC=ABE ABC=60o50o=10o PBC=10o PBC=EBC 在PBC和EBC中 PBC=EBC BC=BC PCB=BCE PBC EBC BP=BE AB=BE AB=BP BAP=BPA ABP=ABC PBC=50o10o=40o PAB=12(180oABP)=70o 解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为一边作等边三角形 BCE，连结AE,则 EB=EC=BC，BEC=EBC=60o

24、EB=EC E在 BC的中垂线上 同理 A在 BC的中垂线上 EA所在的直线是BC的中垂线 EA BC AEB=12BEC=30o=PCB 由解法一知：ABC=50o ABE=EBC ABC=10o=PBC ABE=PBC,BE=BC,AEB=PCB ABE PBC AB=BP BAP=BPA ABP=ABC PBC=50o10o=40o PAB=12(180oABP)=12(180o40o)=70o 1.如图，求ABCDE 的度数。A B E O C D A B E O C D 解：连结 CD ECDBDC=BE =180BOE=180COD ABACEADBE =AECDBDCACEADB

25、 =A（ECDACE）（BDCADB）=AACDADC =180 2.如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE交 AC 于 F。求证：AF=EF。A F E B D C A F E B D C G 解：延长 AD 至 G，使 DG=AD，连结 BG BD=DC，BDG=ADC BGDCAD BG=AC=BE，G=CAD G=BEG=AEF AEF=CAD AF=EF 3.已知 E 是正方形 ABCD 边 CD 上的中点，点 F 在 BC 上，且DAE=FAE。求证：AF=ADCF。解：过 E 作 EGAF 于 G PECBA间的相等条

26、件常见辅助线的作法有以下几种最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等二个角之间的相等总论全等三角形问题最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等构造二个角之遇到等腰三角形可作底边上的高利折看对称以后关系现角平分线平行线等腰三角形来添角平分线加垂线三线合一试试看线段垂直平分线常向两端把线连要证线段倍与半延长缩短可试验换中的对折法构造全等三角形遇到三角形的中线倍长中线使延长线段与原中线长相以自角平分线上的某一点向角的两边作垂三角形中两中点连接则成中位线三角形中有中线延长中线等中线线利用的思维模式是三角形全等变换中的对折所考知识点常常是角平分线的性等腰三角形三线合一法遇到等腰三角形可作底边学习

27、必备 欢迎下载 A D E B F C A D E B F C G D=90，AGE=90 AE 平分DAF ED=EG ED=EC EG=EC EGF=C=90 EF=EF EGFECF（HL）GF=FC ED=EG，AE=AE，D=AGE=90 ADEAGE（HL）AD=AG AF=AGGF=ADFC 即 AF=ADFC 4.已知：在ABC 中，BAC=90，AB=AC，BE 平分ABC，CEBE。求证：CE=12BD。A E B C D F D A E B C 证明：延长 BA 交 CE 的延长线于 F BE 平分ABC，CEBE CE=12CF 又AB=AC，BAC=CAF=90 AC

28、F=ABD=90F ACFABD CF=BD CE=12CFBD 间的相等条件常见辅助线的作法有以下几种最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等二个角之间的相等总论全等三角形问题最主要的是构造全等三角形构造二条边之间的相等构造二个角之遇到等腰三角形可作底边上的高利折看对称以后关系现角平分线平行线等腰三角形来添角平分线加垂线三线合一试试看线段垂直平分线常向两端把线连要证线段倍与半延长缩短可试验换中的对折法构造全等三角形遇到三角形的中线倍长中线使延长线段与原中线长相以自角平分线上的某一点向角的两边作垂三角形中两中点连接则成中位线三角形中有中线延长中线等中线线利用的思维模式是三角形全等变换中的对折所考知识点常常是角平分线的性等腰三角形三线合一法遇到等腰三角形可作底边