三角函数及解三角形专题训练_中学教育-中考.pdf

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1、 -.-.可修编-.三角求值与解三角形专项训练 1 三角公式运用【通俗原理】1三角函数的定义：设(,)P x y，记xOP R，22|rOPxy，则sin,cos,tan(0)yxyxrrx.2基本公式：22sinsincos1,tancos.3诱导公式：4两角和差公式：sin()sincoscossin，cos()coscossinsin，tantantan()1tantan.5二倍角公式：sin22sincos，2222cos2cossin2cos112sin ，22tantan21tan.6辅助角公式：22sincossin()abab，其中由tanba及点(,)a b所在象限确定.22

2、sincoscossincos()ababab，其中由tanba 及点(,)a b所在象限确定.【典型例题】1已知R，证明：sin()cos2.-.-.可修编-.2若(0,)2，tan2，求sincos的值.3已知sin()1，1sin()2，求tantan的值.4求cos15tan15的值.5证明：3cos34cos3cos.式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角

3、边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.【跟踪练习】1已知3sin()35，求cos()6的值.2若1sin22，求tan的值.三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 1三角形边角关系：在ABC中，,ABC 的对边分别为,a b c，ABC ；若abc，则abc；等边对等角，大边对

4、大角.2正弦定理：2sinsinsinabcRABC(R是ABC外接圆的半径).变形：2 sinaRA，2 sin,2 sinbRB cRC.3余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC .变形：222cos2bcaAbc，其他同理可得.4三角形面积公式：111sinsinsin222ABCSabCbcAacB.5与三角形有关的三角方程：sin2sin2ABAB或22AB ；cos2cos2ABAB.6与三角形有关的不等式：sinsincoscosabABAB.7解三角形的三种题型：知三个条件(知三个角除外)，求其他(角、边、面积、周长等)；式二倍

5、角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得

6、 -.-.可修编-.知两个条件，求某个特定元素或围；知一边及其对角，求角、边、周长、面积的围或最值.【典型例题】1在ABC中，若coscosaAbB，试判断ABC的形状.2在ABC中，证明：sinsincoscosabABABAB .3在ABC中，1a，6A，3b，求角C的大小.4在ABC中，2CA，2ca，求角A的大小.5在ABC中，sin3cosacCA，求角 A的大小.式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式

7、解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.6在ABC中，3c，3C.(I)求ABC面积的最大值；(II)求ABC周长的取值围.【跟踪练习】1在BCA中，(sinsin)()(sinsin)aABcbCB，求角C.式二倍角公式辅助角公式其中

8、由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.

9、2在BCA中，222acbac(I)求B的大小；(II)求CAcoscos的最大值 3在BCA中，2223bcabc，23B，2 3b.(I)求BC边上的中线AD的长；(II)求BAC的角平分线AE的长.式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例

10、题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.参考答案 5.1 三角公式【典型例题】1证明：如图，在单位圆中，记xOP，=2xOQ，有(,),(,)P x y Q yx，则sin()2x，而cosx，sin()cos2.2解法一：(0,)2，tan2，有sin2cos，代入22sincos1得21cos5，则5cos5，2 5sin5，3 5sincos5.解法二：(0,)2，tan2，2(sincos)12si

11、ncos 222sincos1sincos 22tan91tan15，又sincos0，有3 5sincos5.3解：由sin()1，1sin()2，得sincoscossin11sincoscossin2，则31sincos,cossin44，O y P(x,y)Q(y,x)2 x 式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条

12、件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.tantansinsincoscos3sincossincos.4解：cos15cos(4530)cos45 cos30sin45 sin30 23212622224，tan45tan30tan15tan(4530)1tan45 tan30332333，cos15tan1526234.5

13、证明：cos3cos(2)coscos2sinsin2 22cos(2cos1)2cossin 322coscos2cos(1cos)34cos3cos.【跟踪练习】1解：()()632，且3sin()35，3cos()cos()sin()62335 .2解：由1sin22得12sincos2，即22sincos1sincos4，2tan1tan14，即2tan4tan10，解得tan23.由5cos5得5cos(2)25k，即55sinsin55.由2 5sin5得2 5sin(2)25k，即2 52 5coscos55，式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型

14、例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.4 52sincos5.5.3 解三角形【典

15、型例题】1解：由coscosaAbB及正弦定理得sincossincosAABB，即sin2sin2AB，又,(0,)A B，有22AB或22AB ，即AB或2AB，ABC是等腰三角形或直角三角形.2证明：abAB，由ab及正弦定理得2 sin2 sinsinsinRARBAB，而函数()cosf xx在(0,)上单调递减，有0()()BAf Bf A ，coscosABA，sinsincoscosabABABAB .3解：由正弦定理得sinsinabAB，得sin13sin322bABa 因为31ba，所以BA，故3B或3 当3B时，()()632CAB 当23B时，2()636CAB 角C

16、为2或6.4解：ac2，由正弦定理有 sinC=2sinA 又C=2A，即 sin2A=2sinA，于是 2sinAcosA=2sinA，在ABC中，sinA0，于是 cosA=22，A=4 5解：由条件结合正弦定理得，sinsin3cosacaCAA，从而sin3cosAA，tan3A，0A ，3A.式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他

17、同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.6解：(I)3,3cC，由余弦定理得222(3)2cos3abab，2232ababababab，仅当ab时等号成立，ABC的面积1133 3sinsin322344SabCab，当3ab 时，ABC面积的最大值为3 34；(II)由(I)得223abab，即23()3

18、abab，221()1()32ababab，则2()12ab，即2 3ab，仅当ab时等号成立.ABC的周长2 333 3abc ，仅当3ab 时等号成立，而3abc ，故2 3abc ，ABC周长的取值围是(2 3,3 3.【跟踪练习】1解：由已知以及正弦定理，得 a abcbcb ，即222abcab.，2221cos22abcCab，又0C，所以3C.2解：(I)由已知得:212cos222acbcaB，0B ，23B；(II)由(I)知:3AC，故033ACC ,，所以33coscoscos()cossincos322ACCCCC3sin()3C，30,sin()1323CC，3cos

19、cos23CA.3解：(I)由2223bcabc及余弦定理得2223cos22bcaAbc，式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明

20、如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.又(0,)A，6A，则6CAB ，即ac，而2 3b，由sinsinsinabcABC得2 3sinsinsin636ac，即2ac.AD是BC边上的中线，则1()2ADABAC，2221(2cos)746ADcbbc，有|7AD，即BC边上的中线长为7；(II)由(I)得2,2 3cb，6A，又AE是BAC的平分线，由ABECAEABCSSS得111sinsinsin21221226c AEb AEbc，2(31)sin2 312AE，即(31)sin312AE，又32126

21、2sinsin()123422224 ，6AE，即BAC的角平分线6AE.式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有

22、则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.5.2 三角函数的图象与性质【通俗原理】1三个基本三角函数的图象与性质 sinyx(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；(2)对称性：关于(,0)k中心对称，关于 2xk 轴对称；(kZ，下同)(3)周期性：周期为2T ；(4)单调性：在2,222kk 上递增，在2,222kk 上递减；(5)最值性：当22xk 时，max1y，当22xk 时，max1y；(6)有界性：当xR时，sin 1,1x.cosyx(1)奇偶性：偶函数，图象关于y轴对称；(2)对称性：关于(,0)2k 中心对称，关于x

23、k 轴对称；(kZ，下同)(3)周期性：周期为2T ；(4)单调性：在2,2kk 上递减，在2,22 kk 上递增；(5)最值性：当2xk 时，max1y，当2xk 时，max1y；(6)有界性：当xR时，sin 1,1x.tanyx(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；(2)对称性：关于(,0)2k中心对称，不是 轴对称图形；(kZ，下同)(3)周期性：周期为T ；(4)单调性：在(,)22kk 上递增.tanyx yx sinyx(1)切线：曲线sinyx在0 x 处的切线 为yx，曲线tanyx在0 x 处的切线也为yx；(2)不等式：当(0,)2x时，sintanxxx，当(,0)2

24、x 时，tansinxxx，式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解

25、证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.2函数图象平移与伸缩变换(1)左右平移：()()yf xayf xa向右平移 个单位；同理有如下结果：(2)上下平移：()()yf xbybf x 向上平移 个单位，即()yf xb；说明：当0a 时，()yf x向右平移a个单位得()yf xa，当0a 时，()yf x向左平移|a个单位得()yf xa；当0b 时，()yf x向上平移b个单位得()ybf x，即()yf xb，当0b时，()yf x向下平移|b个单位得()ybf x，即()yf xb.(3)横向伸缩：1()()()yf xxAyfxA横向伸长到原来的倍；(4)纵向伸缩：

26、1()()()yf xyByf xB纵向伸长到原来的倍，即()yBf x.说明：当1A时，表示伸长，当01A 时，表示缩短；当1B 时，表示伸长，当01B 时，表示缩短.【典型例题】1已知函数()sin(2)3f xx.(1)求()f x的对称轴及对称中心；(2)求()f x的单调递增区间及在0,上的单调递增区间；(3)求()f x在,02上的最大值与最小值，并求出相应的x的值.式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不

27、等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.3把函数()sinf xx的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数1()2cos13g xx的图象？【跟踪练习】1函数|tan2|yx的对称轴是.2已知0a，0，函数()sin()f xx，把

28、()yf x的图象向右平移a个单位得到一个偶函数()yg x的图象，把()yf x的图象向左平移a个单位得到一个奇函数()yh x的图象，当|取得最小值时，求()yf x在0,2 上的单调递减区间.3若把函数2()2xf xx的图象向左平移 1 个单位，再把横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数()yg x的图象，求函数()yg x的解析式.式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条

29、件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.5.2 三角函数的图象与性质【典型例题】1解：(1)由232xk 得212kx，即()f x的对称轴为212kx，由23xk 得26kx，即()f x的对称轴为(,0)26k，kZ；(2)由222232kxk 得1212k

30、xk ，()f x的单调递增区间为,1212kkk Z，当0,x时，2,333x，由2332x 或2233x 得012x 或12x ，()f x在0,上的单调递增区间是0,1212；(3)由,02x得2,333x ，当233x ，即0 x 时，max3()(0)sin32f xf，当232x ，即12x时，min()()sin()1122f xf.2证明：锐角ABC中，有2AB ，即022AB ，又函数()sinf xx在(0,)2上单调递增，有()()2fAf B，sin()sincossin2ABAB，同理cossinBC，cossinCA，sinsinsincoscoscosABCABC

31、.3解：方法一(先平移再伸缩)：()sincos()2f xxxcos()2x，把xa代换x得，cos()2yxa，把1xA代换x得1cos()2yxaA，与1cos3yx 对比得02113aA ，23aA，即把()sinf xx的图象向左平移2个单位，再将横坐标式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知

32、一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.伸长到原来的3倍得1cos3yx的图象，再将纵坐标伸长到原来的 2 倍得12cos3yx的图象，后向上平移1 个单位得1()2cos13g xx的图象.方法二(先伸缩再平移)：()sincos()2f xxxcos()2x，把1xA代换x得1cos()2yxA，再将xa代换x得1cos()2yxaA11cos

33、()2xaAA，与1cos3yx对比得 113102AaA，32Aa，即把()sinf xx的图象横坐标伸长到原来的 3 倍，再向左平移2个单位得1cos3yx的图象，再将纵坐标伸长到原来的 2 倍得12cos3yx的图象，后向上平移1 个单位得1()2cos13g xx的图象.【跟踪练习】14kx，kZ.解：由22kx得4kx，即|tan2|yx的对称轴是4kx，kZ.2解：可得()()sin()g xf xaxa 为偶函数，()()sin()h xf xaxa 为奇函数，1122(21)22(2)2akkakk ，则12()24kk，又0，当120kk时，|取得最小值4，这时4，即()si

34、n()4f xx，由0,2 x得,444x，由242x 得44x，()sin()4f xx在0,2 上的单调递减区间是,44.3解：把2()2xf xx的图象向左平移 1 个单位得21(1)2xyx，再把横坐标缩短为原式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判

35、断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得 -.-.可修编-.来的12倍(纵坐标不变)得221221(21)24421xxyxxx，221()4421xg xxx.式二倍角公式辅助角公式其中由及点所在象限确定其中由及点所在象限确定典型例题已知证明若求的值已知求的值求的值证明可修编跟踪练习已知求的值若求的值三角求值与解三角形专项训练解三角形三角形边角关系在中的对边分与三角形有关的不等式解三角形的三种题型知三个条件知三个角除外求其他角边面积周长等可修编变形其他同理可得或知两个条件求某个特定元素或围知一边及其对角求角边周长面积的围或最值在中若试判断的形状典型例题在中证可修编在中求的大小求的最大值在中求边上的中线的长求的角平分线的长可修编可修编参考答案三角公式典型例题证明如图在单位圆中记有则而解法一有代入得则解法二又有解由得则可修编解证明跟踪练习解且解由得即即解得由得