八年级数学上册 《勾股定理》特色题讲解 北师大版_小学教育-小学考试.pdf

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1、 点击勾股定理之特色题 本文将在各地课改实验区的中考试题中，涉及勾股定理知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏 一、清新扮靓的规律探究题 例 1（成都市）如图，如果以正方形 ABCD 的对角线 AC为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 AE为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，已知正方形 ABCD 的面积1S为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为2 3S S，Sn（n 为正整数），那么第 8 个正方形的面积8S _【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一 般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题对于 此题，由勾

2、股定理、正方形的面积计算公式易求得：211 1 S，22(2)2 S 232 4 S 24(2 2)8 S 照此规律可知：254 16 S，观察数 1、2、4、8、16 易知：0 1 2 3 41 2,2 2,4 2,8 2,16 2，于是可知12nnS 因此，8 1 782 2 128 S 二、考查阅读理解能力的材料分析题 例 2（临安）阅读下列题目的解题过程：已知 a、b、c 为 ABC的三边，且满足a c b c a b2 2 2 2 4 4，试判断 ABC的形状 解：a c b c a b A2 2 2 2 4 4()2 2 2 2 2 2 22 2 2()()()()()ABCc a

3、 b a b a b Bc a b C 是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代ABCDEFGHIJ 号：；（2）错误的原因为：（3）本题正确的结论为：.【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，本题属于“判断纠错型”题目集中考查了因式分解、勾股定理等知识在由a c b c a b2 2 2 2 4 4 得到等式2 2 2 2 2 2 2()()()c a b a b a b 没有错，错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子2 2a b 若2 20 a b，则有()()0 a b a b，从而得a b，这时，ABC为等腰三角形因此：(1)选

4、C(2)没有考虑2 20 a b(3)ABC 是直角三角形或等腰三角形 三、渗透新课程理念的图形拼接题 例 3（长春）如图，在 Rt ABC 中，C=90，AC=4，BC=3 在 Rt ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示 要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用 0.5 毫米的黑色签字笔画出正确的图形）示例图 备用图【解析】：要在 Rt ABC 的外部拼接一个 合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直

5、角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识下面四种拼接方法可供参考 者学习鉴赏一清新扮靓的规律探究题例成都市如图如果以正方形的对角线为边作第二个正方形再以对角线为边作第三个正方形如此下去已知正方形的面积为按上述方法所作的正方形的面积依次为为正整数那么第个正方形的面积解析 用其一般规律求解所要解决的问题对于此题由勾股定理正方形的面积计算公式易求得照此规律可知观察数易知于是可知因此二考查阅读理解能力的材料分析题例临安阅读下列题目的解题过程已知为的三边且满足试判断的形状解是直 题是近年中考的热点命题其类型多种多样本题属于判断纠错型题目集中考查了因式分解勾股定理等知识在由得到等式没有错错在将这个等式两边

6、同除了一个可能为零的式子若则有从而得这时为等腰三角形因此选没有考虑是直角三角 四、极具“热点”的动态探究题 例 4（泉州）:如图，一架长 4 米的梯子 AB斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON上，梯子与地面的倾斜角 为60 求 AO与 BO的长；若梯子顶端 A沿 NO下滑，同时底端 B 沿 OM 向右滑行.如图 2，设 A点下滑到 C 点，B 点向右滑行到 D点，并且 AC:BD=2:3，试计算梯子顶端 A沿 NO下滑多少米?【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边

7、等于斜边的一半”，结合勾股定理求解，还是容易解答的 AOB Rt中,O=90,=60,OAB=30，又 4 米，122OB AB 米.由勾股定理得：2 2OA AB OB 2 24 2 12 2 3（米）.设2,3,AC x BD x 在COD Rt中,2 3 2,2 3,4 OC x OD x CD 者学习鉴赏一清新扮靓的规律探究题例成都市如图如果以正方形的对角线为边作第二个正方形再以对角线为边作第三个正方形如此下去已知正方形的面积为按上述方法所作的正方形的面积依次为为正整数那么第个正方形的面积解析 用其一般规律求解所要解决的问题对于此题由勾股定理正方形的面积计算公式易求得照此规律可知观察数

8、易知于是可知因此二考查阅读理解能力的材料分析题例临安阅读下列题目的解题过程已知为的三边且满足试判断的形状解是直 题是近年中考的热点命题其类型多种多样本题属于判断纠错型题目集中考查了因式分解勾股定理等知识在由得到等式没有错错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子若则有从而得这时为等腰三角形因此选没有考虑是直角三角 根据勾股定理:2 2 2OC OD CD 2222 3 2 2 3 4 x x-213 12 8 3 0 x x 0 x 0 3 8 12 13 x 8 3 1213x 所以，AC=2x=16 3 2413 即梯子顶端 A沿 NO 下滑了16 3 2413米.者学习鉴赏一清新扮靓的规

9、律探究题例成都市如图如果以正方形的对角线为边作第二个正方形再以对角线为边作第三个正方形如此下去已知正方形的面积为按上述方法所作的正方形的面积依次为为正整数那么第个正方形的面积解析 用其一般规律求解所要解决的问题对于此题由勾股定理正方形的面积计算公式易求得照此规律可知观察数易知于是可知因此二考查阅读理解能力的材料分析题例临安阅读下列题目的解题过程已知为的三边且满足试判断的形状解是直 题是近年中考的热点命题其类型多种多样本题属于判断纠错型题目集中考查了因式分解勾股定理等知识在由得到等式没有错错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子若则有从而得这时为等腰三角形因此选没有考虑是直角三角勾股定理中的常

10、见题型例析 勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点 考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题 例 1 如图 1，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以正方形 ABCD 的对角线 AC为边作第二个正方形 ACEF，再以第二个正方形的对角线 AE为边作第三个正方形 AEGH，如此下去（1）记正方形 ABCD 的边长为1a 1，依上述方法所作的正方形的边长依次为2a，3a，4a，na，求出2a，3a，4a的值（2）根据以上规律写出第 n 个正方形的边长na的表达式 分析：依次运用勾股定理求出 a2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律 解：(1)四边

11、形 ABCD 为正方形，AB=BC=CD=AD=1 由勾股定理，得 AC 2 22 AB BC，同理，AE=2，EH=2 2即 a2=2，a3=2，a4=2 2(2)011(2)a，122(2)a，232(2)a，342 2(2)a，1(2)nna 1,n n 是自然数 点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用 二、动手操作题 例 2 如图 2，图（）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c图（）是以 c 为直角边的等

12、腰直角三角形请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；者学习鉴赏一清新扮靓的规律探究题例成都市如图如果以正方形的对角线为边作第二个正方形再以对角线为边作第三个正方形如此下去已知正方形的面积为按上述方法所作的正方形的面积依次为为正整数那么第个正方形的面积解析 用其一般规律求解所要解决的问题对于此题由勾股定理正方形的面积计算公式易求得照此规律可知观察数易知于是可知因此二考查阅读理解能力的材料分析题例临安阅读下列题目的解题过程已知为的三边且满足试判断的形状解是直 题是近年中考的热点命题其类型多种多样本题属于判断纠错型题目集中考查了因式分解勾股定

13、理等知识在由得到等式没有错错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子若则有从而得这时为等腰三角形因此选没有考虑是直角三角（）用这个图形证明勾股定理；（）假设图（）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）解：（1）所拼图形图 3 所示，它是一个直角梯形（2）由 于 这 个 梯 形 的 两 底 分 别 为 a、b，腰 为（a+b），所 以 梯 形 的 面 积 为21 1()()()2 2a b a b a b 又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：21 1 12 2 2ab ab c

14、2 21 1 1 1()2 2 2 2a b ab ab c 2 2 2a b c（3）所拼图形如图 4 点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。三、阅读理解题 例 3 已知 a，b，c 为 ABC 的三边且满足 a2c2 b2c2=a4 b4，试判断 ABC 的形状小明同学是这样解答的 解：a2c2 b2c2=a4 b4，2 2 2 2 2 2 2c a b a b a b 2 2 2?c a b 订正：ABC 是直角三角形 横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但

15、解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程”请你帮助小明订正此题，好吗？分析：这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺因此，本题可作如下订正：解：a2c2 b2c2=a4 b4，2 2 2 2 2 2 2c a b a b a b 2 2 2 2 20 a b c a b，2 20 a b 或2 2 2c a b a b 或2 2 2c a b ABC 是等腰三角形或直角三角形 者学习鉴赏一清新扮靓的规律探究题例成都市如图如果以正方形的对角线为边作第二个正方形再

16、以对角线为边作第三个正方形如此下去已知正方形的面积为按上述方法所作的正方形的面积依次为为正整数那么第个正方形的面积解析 用其一般规律求解所要解决的问题对于此题由勾股定理正方形的面积计算公式易求得照此规律可知观察数易知于是可知因此二考查阅读理解能力的材料分析题例临安阅读下列题目的解题过程已知为的三边且满足试判断的形状解是直 题是近年中考的热点命题其类型多种多样本题属于判断纠错型题目集中考查了因式分解勾股定理等知识在由得到等式没有错错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子若则有从而得这时为等腰三角形因此选没有考虑是直角三角点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧 解决的关键是抓住

17、疑问点，补全漏洞 四、方案设计题 例 4 给你一根长为 30cm 的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？请你设计三种方案 分析：构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决 解：方案一：分别截取 3cm，4cm，5cm；方案二：分别截取 6cm，8cm，10cm；方案三：分别截取 5cm，12cm，13cm 点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成既要思考，又要动手让学生在这个过程中，体会做数学的快乐 五、实际应用题 例 5 如图 5，三个正方形形状的土地面积分别是 74 英亩、116 英亩、370 英亩，三个

18、正方形恰好围着一个池塘 现要将这 560 英亩的土地拍卖，如果有人能计算出池塘的面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送，英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？分析：巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积 74、116、370 相当于池塘的三条边的平方，因而联想到勾股定理，得74=52+72，116=42+102，370=92+172于是作出图 6，运用勾股定理的逆定理，问题就得以解决 解：74=52+72，AB是两直角边分别为5 和 7 的直角三角形的斜边，作出这个直角三角形，得 Rt ABE 同理，作 Rt BCF，其中 BF=4，FC=10延长 AE、CF 交于 D，

19、则 AD=9，CD=17，而AC2=370=92+172=AD2+CD2，ACD 是直角三角形，ADC=90 ABC ADC AEB BCF EDFBS S S S S=1 1 117 9 7 5 10 4 4 7 112 2 2 点拨：本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形，用构造法解题的思想，有者学习鉴赏一清新扮靓的规律探究题例成都市如图如果以正方形的对角线为边作第二个正方形再以对角线为边作第三个正方形如此下去已知正方形的面积为按上述方法所作的正方形的面积依次为为正整数那么第个正方形的面积解析 用其一般规律求解所要解决的问题对于此题由勾股定理正方形的面积计算公式易求得照此规律可知观

20、察数易知于是可知因此二考查阅读理解能力的材料分析题例临安阅读下列题目的解题过程已知为的三边且满足试判断的形状解是直 题是近年中考的热点命题其类型多种多样本题属于判断纠错型题目集中考查了因式分解勾股定理等知识在由得到等式没有错错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子若则有从而得这时为等腰三角形因此选没有考虑是直角三角助于提高运用数学知识解决实际问题的能力 勾股定理的逆定理典例分析 例 1 如果一个三角形的三边长分别为，则这三角形是直角三角形 分析：验证 三边是否符合勾股定量的逆定理 证明：C 说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算

21、算出来 例 2 已知：如图，四边形 ABCD 中，B，AB 3，BC 4，CD 12，AD 13求四边形 ABCD 的面积 分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个三角形的面积和 解：连结 AC B，AB 3，BC 4 者学习鉴赏一清新扮靓的规律探究题例成都市如图如果以正方形的对角线为边作第二个正方形再以对角线为边作第三个正方形如此下去已知正方形的面积为按上述方法所作的正方形的面积依次为为正整数那么第个正方形的面积解析 用其一般规律求解所要解决的问题对于此题由勾股定理正方形的面积计算公式易求得照此规律可知观

22、察数易知于是可知因此二考查阅读理解能力的材料分析题例临安阅读下列题目的解题过程已知为的三边且满足试判断的形状解是直 题是近年中考的热点命题其类型多种多样本题属于判断纠错型题目集中考查了因式分解勾股定理等知识在由得到等式没有错错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子若则有从而得这时为等腰三角形因此选没有考虑是直角三角 AC 5 ACD 说明：求四边形的面积问题转化为两个三角形的面积问题，在此利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形 例 3 如图，已知：CDAB 于 D，且有 求证：ACB 为直角三角形 分析：根据勾股定理的逆定理，只需证 即可 证明：CDAB 又 者学习鉴赏一清新扮靓的规律探

23、究题例成都市如图如果以正方形的对角线为边作第二个正方形再以对角线为边作第三个正方形如此下去已知正方形的面积为按上述方法所作的正方形的面积依次为为正整数那么第个正方形的面积解析 用其一般规律求解所要解决的问题对于此题由勾股定理正方形的面积计算公式易求得照此规律可知观察数易知于是可知因此二考查阅读理解能力的材料分析题例临安阅读下列题目的解题过程已知为的三边且满足试判断的形状解是直 题是近年中考的热点命题其类型多种多样本题属于判断纠错型题目集中考查了因式分解勾股定理等知识在由得到等式没有错错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子若则有从而得这时为等腰三角形因此选没有考虑是直角三角 ABC 为直角三

24、角形 说明：充分利用勾股定理及其逆定理 者学习鉴赏一清新扮靓的规律探究题例成都市如图如果以正方形的对角线为边作第二个正方形再以对角线为边作第三个正方形如此下去已知正方形的面积为按上述方法所作的正方形的面积依次为为正整数那么第个正方形的面积解析 用其一般规律求解所要解决的问题对于此题由勾股定理正方形的面积计算公式易求得照此规律可知观察数易知于是可知因此二考查阅读理解能力的材料分析题例临安阅读下列题目的解题过程已知为的三边且满足试判断的形状解是直 题是近年中考的热点命题其类型多种多样本题属于判断纠错型题目集中考查了因式分解勾股定理等知识在由得到等式没有错错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子若则有从而得这时为等腰三角形因此选没有考虑是直角三角