2012年四川高考理科数学试题及答案.pdf

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1、20122012 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数数学（理工类）学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式()()()P ABP AP B+=+24SRp=如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径()()()P A BP A P B=球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么343VRp=在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(0,1,2,)kkn knnP kC ppkn-=-=第一部分第一部分（选择题（选择题 共共 60 分）分）注意事项：注意事项：1、选择题必须使用 2B 铅笔将答

2、案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。2、本部分共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、7(1)x的展开式中2x的系数是（）A、42B、35C、28D、212、复数2(1)2ii（）A、1B、1C、iD、i3、函数29,3()3ln(2),3xxf xxxx在3x 处的极限是（）A、不存在B、等于6C、等于3D、等于04、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE，连接EC、ED，则sinCED（）A、3 1010B、1010C、510D、5155

3、、函数1(0,1)xyaaaa的图象可能是（）ABCD6、下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使|abab成立的充分条件是（）A、ab B、/abC、2abD、/ab且|ab8、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点0(2,)My。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM（）A、2 2B、2 3C、4D、2 59、某公

4、司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗A原料 1 千克、B原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗A原料 2 千克，B原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800 元B、2400 元C、2800 元D、3100 元10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的 距 离 最 大 的

5、点 为B，该 交 线 上 的 一 点P满 足60BOP，则A、P两点间的球面距离为（）A、2arccos4RB、4RC、3arccos3RD、3R11、方程22ayb xc中的,3,2,0,1,2,3a b c，且,a b c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A、60 条B、62 条C、71 条D、80 条12、设函数()2cosf xxx，na是公差为8的等差数列，125()()()5f af af a，则2313()f aa a（）A、0B、2116C、218D、21316第二部分第二部分（非选择题（非选择题 共共 90 分）分）注意事项：注意事项：（1）必须使用

6、 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。（2）本部分共 10 个小题，共 90 分。二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分。把答案填在答题纸的相应位置上分。把答案填在答题纸的相应位置上。）13、设 全 集,Ua b c d，集 合,Aa b，,Bb c d，则()()UUAB 痧_。14、如图，在正方体1111ABCDABC D中，M、N分别是CD、1CC的中点，则异面直线1AM与DN所成角的大小是_。15、椭圆22143xy的

7、左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是_。16、记 x为不超过实数x的最大整数，例如，22，1.51，0.31。设a为正整数，数列nx满足1xa，1()2nnnaxxxnN，现有下列命题：当5a 时，数列nx的前 3 项依次为 5,3,2；对数列nx都存在正整数k，当nk时总有nkxx；当1n 时，1nxa；对某个正整数k，若1kkxx，则nxa。其中的真命题有_。（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 74 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步

8、骤。）17、(本小题满分 12 分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p。（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；（）设系统A在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E。18、(本小题满分 12 分)函数2()6cos3cos3(0)2xf xx在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形。（）求的值及函数()f x的值域；（）若08 3()5f x，且010 2(,)33x ，求0(1)f x 的值。19、(本

9、小题满分 12 分)如 图，在 三 棱 锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，平面PAB 平面ABC。（）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（）求二面角BAPC的大小。20、(本小题满分 12 分)已知数列na的前n项和为nS，且22nna aSS对一切正整数n都成立。（）求1a，2a的值；（）设10a，数列110lgnaa的前n项和为nT，当n为何值时，nT最大？并求出nT的最大值。21、(本小题满分 12 分)如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C。（）求轨迹C的方程；（）设直线2yxm 与y轴交于点P，与轨迹C相交于

10、点QR、，且|PQPR，求|PRPQ的取值范围。22、(本小题满分 14 分)已知a为正实数，n为自然数，抛物线22nayx 与x轴正半轴相交于点A，设()f n为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。（）用a和n表示()f n；（）求对所有n都有33()1()11f nnf nn成立的a的最小值；（）当01a时，比较11()(2)nkf kfk与27(1)()4(0)(1)ff nff的大小，并说明理由。参考答案参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。1.D2.B3.A4.B5.D6.C7.C8.B9.C10.A11.B12.D二、填空题：本题考查基础

11、知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。13.,a c d14.9015.316.三、解答题17.本小题主要考查相互独立事件、独立重复实验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。解：（I）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1491()11050P Cp 解得15p 4 分（II）由题意，03311(0)()101000PC1231127(1)()(1)10101000PC22311243(2)(1)10101000PC3331729(3)(1)101000PC所以，随机变量的概率分布列为故随机变量的数学期望：12724

12、3729270123100010001000100010E .12 分0123P110002710002431000729100018本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想。解：（I）由已知可得，()3cos3sin2 3sin()3f xxxx又正三角形ABC的高为2 3，从而4BC 所以函数()f x的周期4 28T，即28,4函数()f x的值域为 2 3,2 3.6 分（II）因为08 3()5f x，由（I）有008 3()2 3sin()435xf x，即04sin()4

13、35x由010 2(,)33x ，知0(,)432 2x 所以2043cos()1()4355x故00000(1)2 3sin()2 3sin()4434342 3sin()coscos()sin43443442327 62 3()52525xxf xxx12 分19.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（I）设AB的中点为D，AD的中点为O，连接POCOCD、，由已知，PAD为等边三角形，所以POAD又平面PAB 平面ABC，平面PAB平面ABCAD，所以PO 平面ABC所以OCP为直线PC与

14、平面ABC所成的角不妨设4AB，则2,2 3,1,3PDCDODPO在Rt OCD中，2213COODCD所以，在Rt POC中，339tan1313POOCPCO故直线PC与平面ABC所成的角的大小为39arctan13.6 分（II）过D作DEAP于E，连接CE由已知可得，CD 平面PAB根据三垂线定理知，CDPA所以CED为二面角BAPC的平面角由（I）知，3DE 在Rt CDE中，2 3tan23CDCEDDE故二面角BAPC的大小为arctan212 分解法二：（I）设 AB 的中点为 D，作POAB于点O，连结 CD因为平面PAB 平面ABC，平面PAB平面ABC=AD，所以PO

15、平面ABC所以POCD由ABBCCA，知CDAB设 E 为 AC 中点，则/EOCD，从而,OEPO OEAB如图，以O为坐标原点，OBOEOP、所在直线分别为xyz、轴建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设2PA，由已知可得，4,1,3,2 3ABOAODOPCD所以(0,0,0),(1,0,0),(1,2 3,0),(0,0,3)OACP所以(1,2 3,3)CP ，而(0,0,3)OP 为平面ABC的一个法向量设a为直线PC与平面ABC所成的角，则0033sin|4163CP OPaCP OP 故直线PC与平面ABC所成的角的大小为3arcsin4.6 分（II）由（I）有，(1,0,3),

16、(2,2 3,0)APAC 设平面APC的一个法向量为111(,)nx y z，则111111(,)(1,0,3)000(,)(2,2 3,0)0 x y znAPn APnACn ACx y z 从而11113022 30 xzxy取13x ，则111,1yz，所以(3,1,1)n 设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角而面ABP的一个法向量为(0,1,0)m，则15cos|53 1 1n mnm 故二面角BAPC的大小为5arccos5.12 分20.本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础只是，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力，考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思

17、想解：（I）取1n，得2121122a aSSaa取2n，得221222aaa由，得2212()a aaa（1）若20a，由知10a（2）若20a，由知211aa由、解得，1221,22aa；或1212,22aa 综上可得，120,0aa；或1221,22aa；或1212,22aa 5 分（II）当10a 时，由（I）知1221,22aa当2n 时，有2121(22),(22)nnnnaSSaSS，所以1(12)(22)nnaa，即12(2)nnaan，所以1112(21)(2)nnnaa令110lgnnaba，则11111001 lg(2)1(1)lg2lg222nnnbn 所以数列 nb是

18、单调递减的等差数列（公差为1lg22），从而12710.lglg108bbb当8n 时，811001lglg1021282nbb，故7n 时，nT取得最大值，且nT的最大值为1777()7(1 1 3lg2)217lg2222bbT.12 分21.本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函数、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性。解：（I）设 M 的坐标为(,)x y，显然有0 x，且0y 当90MBA时，点M的坐标为(2,3)当90MBA时，2x，由2MBAMAB，有22tantan1tanMABMBAMAB，即2|2|1|21()1yyxyxx

19、化简可得，22330 xy而点(2,3)在曲线22330 xy上综上可知，轨迹C的方程为22330(1)xyx5 分（II）由222,330yxmxy 消去y，可得22430 xmxm（*）由题意，方程（*）有两根且均在(1,)内，设22()43f xxmxm所以2222412(1)1430(4)4(3)0mfmmmm 解得，1m，且2m 设QR、的坐标分别为(,),(,)QQRRxyxy，由|PQPR有2223(1),23(1)RQxmmxmm所以22222123(1)23(1)|41|1123(1)23(1)23(1)RQmmxPRmPQxmmmm 由1m，且2m，有241174 3123

20、(1)m 且2417123(1)m 所以|PRPQ的取值范围是(1,7)(7,74 3).12 分22.本小题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法。解：（I）由已知得，交点A的坐标为(,0)2na，对212nyxa 求导得2yx ，则抛物线在点A处的切线方程为2()2nnayax，即2nnya xa，则()nf na3 分（II）由（I）知()nf na，则33()1()11f nnf nn成立的充要条件是321nan即知，321nan对所有n成立，特别地，取2n 得到17a 当1

21、7a，3n 时，122334(1 3)1333.nnnnnnaCCC 122331333nnnCCC 321125(2)(25)2nnnn 321n当0,1,2n 时，显然3(17)21nn故17a 时，33()1()11f nnf nn对所有自然数n都成立所以满足条件的a的最小值为17.8 分（III）由（I）知()kf ka，则21111(1)(),()(2)(0)(1)1nnnkkkkff naaf kfkaaffa下面证明：1127(1)()()(2)4(0)(1)nkff nf kfkff首先证明：当01x时，21274xxx设函数227()()1,014g xx xxx则812()()43g xx x当203x时，()0g x；当213x时，()0g x故()g x在区间(0,1)上的最小值min2()()03g xg所以，当01x时，()0g x，即得21274xxx由01a知*01()kakN，因此21274kkkaaa，从而21111()(2)nnkkkkf kfkaa1274nkka12741naaa2741naaa27(1)()4(0)(1)ff nff14 分