2013年广东高考文科数学试题及答案.pdf

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1、20132013 年广东高考文科数学试题及答案年广东高考文科数学试题及答案本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟锥体的体积公式：13VSh其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1010 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 5050 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1设集合2|20,Sx xxxR，2|20,Tx xxxR，则ST A0B0,2C 2,0D 2,0,2【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选 A，5 分到手，妙！2函数lg(1

2、)()1xf xx的定义域是A(1,)B 1,)C(1,1)(1,)D 1,1)(1,)【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测 C！3若()34i xyii，,x yR，则复数xyi的模是A2B3C4D5【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3xy，模为 5，选 D.4已知51sin()25，那么cosA25B15C15D25【解析】：考查三角函数诱导公式，51sin()sin(2+)sincos2225，选 C.5执行如图 1 所示的程序框图，若输入n的值为 3，则输出s的值是A1B2C4D7【解析】选 C.本题只需细心按程序框图运行一下即可.6某三棱锥的三视图如图 2 所示，则该三

3、棱锥的体积是A16B13C23D1【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为 2，则1 11=1 1 2=3 23V ，选 B.7垂直于直线1yx且与圆221xy相切于第一象限的直线方程是A20 xyB10 xy C10 xy D20 xy【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r，排除 B、C；相切于第一象限排除 D，选 A.直接法可设所求的直线方程为：0yxk k ，再利用圆心到直线的距离等于1r，求得2k.8设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是A若/l，/l，则/B若l，l，则/C若l，/l，则/D若，/l，则l【解析】基础

4、题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选 B 了.9已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为(1,0)F，离心率等于21，则 C 的方程是A14322yxB13422yxC12422yxD13422yx【解析】基础题，1,2,3cab，选 D.10设a是已知的平面向量且 0a，关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc；上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A1B2C3D4【解析】解析】本题是选择题

5、中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.利用向量加法的三角形法则，易的是对的；利用平面向量的基本定理，易的是对的；以a的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量b有交点，这个不一定能满足，是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+bca，所以是假命题.综上，本题选 B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.【品味【品味选择题选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题 3322 再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题考生作答小题考生作答 4 4 小题每小

6、题小题每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分（一）必做题（一）必做题（11111313 题）题）11设数列na是首项为1，公比为2的等比数列，则1234|aaaa【解析】这题相当于直接给出答案了1512若曲线2lnyaxx在点(1,)a处的切线平行于x轴，则a【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意1112,210,2xyaxyaax 13已知变量,x y满足约束条件11103yxyx，则zxy的最大值是【解析】画出可行域如图，最优解为1,4，故填 5；（二）选做题（二）选做题（1414、1515 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）

7、已知曲线C的极坐标方程为2cos以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程2211xy，易的则曲线 C 的参数方程为1 cossinxy（为参数）15（几何证明选讲选做题）如图 3，在矩形ABCD中，3,AB 3BC，BEAC，垂足为E，则ED【解析】本题对数值要敏感，由3,AB 3BC，可知60BAC从而3,302AECAD，22212cos302DEAEADAE AD.【品味填空【品味填空题】题】选做题还是难了点，比理科还难些.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题

8、，满分小题，满分 8080 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分 12 分）已知函数()2cos,12f xxxR(1)求3f的值；(2)若33cos,252，求6f【解析】(1)2cos2cos133124f（2）33cos,252，24sin1 cos5 ，1=2cos2 coscossinsin64445f【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.17（本小题满分 13 分）从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）80,85)85,90)90,95)95,100)频数（个）

9、5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在80,85)和95,100)的苹果中共抽取 4 个，其中重量在80,85)的有几个？(3)在（2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在80,85)和95,100)中各有 1 个的概率【解析】（1）苹果的重量在 95,90的频率为20=0.450；（2）重量在 85,80的有54=15+15个；（3）设这 4 个苹果中 85,80分段的为 1，100,95分段的为 2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共 6 种；设任取 2

10、个，重量在 85,80和 100,95中各有 1 个的事件为 A，则事件 A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共 3 种，所以31(A)62P.【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！18（本小题满分 13 分）如图 4，在边长为 1 的等边三角形ABC中，,D E分别是,AB AC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图 5 所示的三棱锥ABCF，其中22BC(1)证明：DE/平面BCF；(2)证明：CF 平面ABF；(3)当23AD 时，求三棱锥FDEG的体积F DEGV【解析】（1）在等边三角形ABC中，ADAEADAEDBEC,在折叠后的

11、三棱锥ABCF中也成立，/DEBC,DE 平面BCF，BC 平面BCF，/DE平面BCF；（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AFBC，12BFCF.在三棱锥ABCF中，22BC，222BCBFCFCFBFBFCFFCFABF平面；（3）由（1）可知/GECF，结合（2）可得GEDFG 平面.1 11 1 113133 23 2 3323324F DEGE DFGVVDG FG GF【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19（本小题满分 14 分）设各项均为正数的数列 na的前n项和为nS，满足21441,nnSannN且25

12、14,a a a构成等比数列(1)证明：2145aa；(2)求数列 na的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1223111112nna aa aa a【解析】（1）当1n 时，22122145,45aaaa，21045naaa（2）当2n 时，214411nnSan，22114444nnnnnaSSaa2221442nnnnaaaa,102nnnaaa 当2n 时，na是公差2d 的等差数列.2514,a a a构成等比数列，25214aaa，2222824aaa，解得23a,由（1）可知，212145=4,1aaa213 12aa na是首项11a,公差2d 的等差数列.数列 na的通

13、项公式为21nan.（3）1223111111111 33 55 72121nna aa aa ann11111111123355721211111.2212nnn【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知nS求na，na是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n，2n 来做后，不会求1a，没有证明1a也满足通项公式.20（本小题满分 14 分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点0,0Fcc 到直线:20l xy的距离为3 22 设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线,PA PB，其中,A B为切点(1)求

14、抛物线C的方程；(2)当点00,P xy为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值【解析】（1）依题意023 222cd，解得1c（负根舍去）抛物线C的方程为24xy；（2）设点11(,)A xy,22(,)B xy，),(00yxP，由24xy,即214yx,得y12x.抛物线C在点A处的切线PA的方程为)(2111xxxyy，即2111212xyxxy.21141xy，112yxxy.点),(00yxP在切线1l上,10102yxxy.同理，20202yxxy.综合、得，点1122(,),(,)A x yB xy的坐标都满足方程yxxy002.经

15、过1122(,),(,)A x yB xy两点的直线是唯一的，直线AB的方程为yxxy002，即00220 x xyy；（3）由抛物线的定义可知121,1AFyBFy，所以121212111AFBFyyyyy y联立2004220 xyx xyy，消去x得22200020yyxyy，2212001202,yyxyy yy0020 xy222200000021=221AFBFyyxyyy2200019=22+5=2+22yyy当012y 时，AFBF取得最小值为92【解析】2013 广州模直接命中了这一题，广一模 20 题解法 2 正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致.紫霞

16、仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局形容这次高考，妙极！21（本小题满分 14 分）设函数xkxxxf23)(Rk(1)当1k时,求函数)(xf的单调区间；(2)当0k时,求函数)(xf在kk,上的最小值m和最大值M【解析】：2321fxxkx(1)当1k 时 2321,4 1280fxxx 0fx,f x在R上单调递增.（2）当0k 时，2321fxxkx，其开口向上，对称轴3kx，且过0 1，（i）当24124330kkk，即30k时，0fx，f x在,kk上单调递增，从而当xk时，f x取得最小值 mf kk,当xk 时，f x

17、取得最大值3332Mfkkkkkk .（ii）当24124330kkk，即3k 时，令 23210fxxkx 解得：221233,33kkkkxx,注意到210kxx,(注：可用韦达定理判断1213xx，1223kxxk,从而210kxx；或者由对称结合图像判断)12min,max,mf kf xMfkf x 32211111110f xf kxkxxkxkx f x的最小值 mf kk,232322222222=10f xfkxkxxkk kkxkxkk f x的最大值32Mfkkk 综上所述，当0k 时，f x的最小值 mf kk,最大值32Mfkkk 解法 2（2）当0k 时，对,xkk

18、，都有32332()()(1)()0f xf kxkxxkkkxxk，故 f xf k32332222()()()(221)()()10f xfkxkxxkkkxkxkxkxkxkk故 f xfk，而()0f kk，3()20fkkk 所以3max()()2f xfkkk，min()()f xf kk-kk3kx【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知xk时最小，xk 时最大，只需证 f kf xfk即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了 2012 年高考年报的“对中学教学的要求重视高一教学与初中课堂衔接课”.